【新人教版】九年级数学上册：《实际问题与一元二次方程》教案

21.3 实质问题与一元二次方程（1）
【教课目的】
知识与技术： 1. 能依据详细问题中的数目关系，列出一元二次方程，领会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能依据详细问题的实质意义，查验结果能否合理．
过程与方法：经历将实质问题抽象为代数问题的过程，研究问题中的数目关系，并能运用一元二次方程对之进行描绘
感情态度价值观：经过用一元二次方程解决身旁的问题，领会数学知识应用的价值，提升学生学习数学的兴趣，认识数学对促使社会进步和发展人类理性精神的作
用．
【教课重难点】
教课要点：列一元二次方程解相关流传问题的应用题
教课难点：发现流传问题中的等量关系
【教课过程】
一、复习引入
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③
找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
说明：为持续学习成立一元二次方程的数学模型解实质问题作好铺垫．
二、研究新知
【研究 1】
有一人患了流感，经过两轮传染后，有 121 人患了流感，每轮传染中均匀一个人传染了几个人？
思虑：（ 1）此题中有哪些数目关系？
（2）如何理解“两轮传染”？
（3）如何利用已知的数目关系选用未知数并列出方程？
设每轮传染中均匀一个人传染x 个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传
/
在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.
（ 4）依据等量关系列方程并求解
解：设每轮传染中均匀一个人传染了x 个人，则依题意第一轮传染后有x+1 人患了流感，第二轮传染后有x(1+x) 人患了流感 . 于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121
解方程得
x1=10，x 2 =-12( 不合题意舍去 )
所以每轮传染中均匀一个人传染了10 个人．
(5)为何要舍去一解？
（6）假如依照这样的流传速度，三轮传染后，有多少人患流感？
说明：使学生经过多种方法解流传问题，考证多种方法的正确性；经过解题过程的
对照，领会对已知数目关系的适合变形对解题的影响，丰富解题经验．
【研究 2】
两年前生产 1 吨甲种药品的成本是5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是6000 元，跟着生产技术的进步，此刻生产 1 吨甲种药品的成本是3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪一种药品成本的年均匀降落率较大？
思虑：（1）如何理解降落额和降落率的关系？
（ 2）若设甲种药品均匀降落率为x，则一年后，甲种药品的成本降落了元，此时成本为元；两年后，甲种药品降落了元，此时成本为元。

（3）对甲种药品而言依据等量关系列方程并求解、选择根？
解：设甲种药品成本的年均匀降落率为 x，
则一年后甲种药品成本为 5000（1-x ）元，两年后甲种药品成本为 5000（1-x ）元．依题意，得 5000（ 1-x ）2=3000
解得： x1≈0.225 ， x2≈1.775 （不合题意，舍去）
（4）相同的方法请同学们试试计算乙种药品的均匀降落率 , 并比较哪一种药品成本的均匀
降落率较大。

设乙种药品成本的均匀降落率为y．
则： 6000（1-y ）2=3600
2
整理，得：（1-y ） =0.6
解得： y≈0.225
答：两种药品成本的年均匀降落率相同大
（5）思虑经过计算，你能得出什么结论？成本降落额较大的药品，它的降落率必定也较大吗？应如何全面地比较几个对象的变化状况？
三、稳固练习
说明：经过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路
四、小结作业
小结： 1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。

最后要查验根能否切合实质意义。

2.用“流传问题”成立数学模型，并利用它解决一些详细问题．
3.关于变化率问题，若均匀增加（降低）率为x，增加（或降低）前的基数是 a，增加（或降低） n 次后的量是 b, 则有：a(1x)n b （常有n=2）作业：
21.3 实质问题与一元二次方程(2)
【教课目的】
知识与技术： 1. 能依据详细问题中的数目关系，列出一元二次方程，领会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能依据详细问题的实质意义，查验结果能否合理．
过程与方法：经过解决封面设计与草坪规划的实质问题，学会将实质应用问题转变
为数学识题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应意图识．
感情态度价值观：经过用一元二次方程解决身旁的问题，领会数学知识应用的价值，提升学生学习数学的兴趣，认识数学对促使社会进步和发展人类理性精神的作用．【教课重难点】
教课要点：依据面积与面积之间的等量关系成立一元二元方程的数学模型并运用
它解决实质问题．
教课难点：发现问题中的等量关系
【教课过程】
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3.平行四边形的面积公式是什么？二、
研究新知
【研究 3】
如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，?正中央是一个与整个封面长宽比率相同的矩形， ?假如要使周围的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、
下面衬等宽，左、右侧衬等宽，?应如何设计周围边衬的宽度（结果保存小数点后一位）？
问题：（1）此题中有哪些数目关系？
（ 2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比率相同的矩形”？
（ 3）如何利用已知的数目关系选用未知数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对照几种方法各有什么特色？
解：依照题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝
9：7，?由此能够判
定：上下面衬宽与左右侧衬宽之比为
9：7，设上、下面衬的宽均为 9xcm ，?则左、右侧
衬的宽均为 7xcm ，依题意，得：中央矩形的长为（ 27-18x ） cm ，宽为（ 21-14x ）
cm ．
1
4
所以（ 27-18x ）（ 21-14x ）= 3
×27× 21
4
整理，得： 16x 2-48x+9=0
解方程，得： x= 6 3 3
，
4
x
1
≈2.8cm ， x 2 ≈0.2
所以： 9x 1=25.2cm （舍去），9x 2 =1.8cm ， 7x 2=1.4cm
所以，上下面衬的宽均为 1.8cm ，左、右侧衬的宽均为 1.4cm ．
注意关注学生：
（1）对几何图形的剖析能力；
（2）在未知数的选择上，可否依据状况，灵巧办理；
（ 3）在议论中可否相互合作；
（ 4）解答一元二次方程的能力；
（5）回答下列问题时的语言表达能否正确．
说明：使学生领会列方程与解方程的完好联合，经过多种方法解得相同结论，考证
多种方法的正确性； 经过解题过程的对照， 领会对已知数目关系的适合变形对解题的影
响，丰富解题经验．
【研究 4】
如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小道，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是本来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
问题：
（1）此题中有哪些数目关系？
（2）节余草坪的面积，能否就是原草坪的面积减去四条路的面积？
（3）由这些数目关系如何列方程？
三、稳固练习
有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精准到 0．1 尺）说明：经过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路
四、小结作业
本节课应掌握：
小结：利用已学的特别图形的面积公式成立一元二次方程的数学模型并运用它解
决实质问题．
作业：。