河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-7解三角形应用举例》试题 新人教A版 2

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训
《4-7解三角形应用举例》试题 新人教A 版
1.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )
A ．a B.3a C.2a D ．2a
[答案] B
[解析] 由余弦定理可知，AB 2
＝a 2
＋a 2
－2a ·a ·cos120°＝3a 2
，得AB ＝3a ，故选B.
2．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )
A ．20⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋
33m B ．20⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋32m C ．20(1＋3)m D ．30m
[答案] A
[解析] 如图所示，四边形CBMD 为正方形，而CB ＝20m ，所以BM ＝20m. 又在Rt △AMD 中，
DM ＝20m ，∠ADM ＝30°，
∴AM ＝DM tan30°＝20
3
3(m)，
∴AB ＝AM ＋MB ＝2033＋20＝20⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋33m.
3．(2012·东北三校模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这艘船的速度是每小时( )
A ．5n mile
B ．53n mile
C ．10n mile
D ．103n mile
[答案] C
[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而
CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是
5
0.5
＝10(n mile/h)．
4．一艘海轮从A 处出发，以每小时40n mile 的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min
后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )
A ．102n mile
B ．103n mile
C ．202n mile
D ．203n mile
[答案] A
[解析] 如图，由条件可知△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，∠ACB ＝45°，
由正弦定理得BC sin30°＝20sin45°
，∴BC ＝102，故选A.
5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若
CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )
A.32
B ．2－ 3 C.3－1 D.
22
[答案] C
[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知，
BC ＝AB ·sin∠BAC sin ∠ACB ＝
100s in15°
－
＝50(6－2)，
在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin∠CBD
CD
＝
6－2
50
＝3－1.
由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.
6.如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )
A ．5n mile
B ．23n mile C.13n mile D ．32n mile
[答案] C
[解析] 连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.
7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )
A ．237
B ．227
C ．247
D ．257 [答案] A [解析]
如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝
DC ·sin45°
sin15°
，
∴AB ＝AC ·sin60° ＝
100·sin45°·sin60°
sin15°
＝
100×22×32
6－24
≈237.∴选A.
8．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔
M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
[答案] 30 2
[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°
，
解得BM ＝302(km)．
9．(文)如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达
B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达
C 处发现另一生命迹象，这时它
向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.
[答案]
106
3
[解析] 由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴
x
sin45°＝10sin60°，∴x ＝1063
.
(理)(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．
[答案]
3
2
[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OP
sin ∠ORP ，在△ORQ
中，1sin30°＝OQ sin ∠ORQ ，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝3
2
.
10．(文)(2011·广东江门市模拟)如图，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距680km 的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B 处．已知sin θ＝513
.
(1)求tan C ；
(2)求新的飞行路程比原路程多多少km.
(参考数据：2＝1.414，3＝1.732) [解析] (1)因为sin θ＝5
13，θ是锐角，
所以cos θ＝1213，所以tan θ＝5
12
，
tan C ＝tan[π－(θ＋45°)]＝－tan(θ＋45°) ＝－tan θ＋tan45°1－tan θ·tan45°＝－5
12＋11－512×1＝－17
7
.
(2)sin C ＝sin(θ＋45°)＝
172
26
， 由正弦定理AB sin C ＝AC sin45°＝BC
sin θ
得，
AC ＝
AB
sin C
×sin45°＝520，BC ＝2002， 新的飞行路程比原路程多
AC ＋BC －AB ＝520＋2002－680＝122.8(km)．
(理)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°、距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
[分析] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．
[解析] 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2
＝AC
2
＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即36t 2
－9t －10＝0，解
得t ＝23或t ＝－512(
舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23
h.
此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB
sin120°，
所以sin ∠CAB ＝6×
3214＝33
14
，
即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°. 所以舰艇以66.8°的方位角航行，需2
3
h 才能靠近渔轮.
能力拓展提升
11.设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→
＝0，
|PF 1→|·|PF 2→
|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )
A.
3－1
2
B.
3＋1
2 C ．2 D.
5＋1
2
[答案] D
[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2
－4ac ＝4c 2
－4ac ，
∴a 2
＋ac －c 2
＝0，∴1＋e －e 2
＝0， ∵e >1，∴e ＝
5＋1
2
. 12．如图，在△ABC 中，tan C 2＝12
，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →
)＝0，经过点B 以A 、H 为两
焦点的双曲线的离心率为( )
A.
5＋1
2
B.5－1
C.5＋1
D.
5－1
2
[答案] A
[解析] ∵AH →·BC →
＝0，∴AH ⊥BC ，
∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tan
C
2
1－tan
2C 2
＝43＝AH CH ，
又∵AB →·(CA →＋CB →
)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AH BH ，
设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝3
2x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2c ＝AH ＝2x,2a ＝AB －BH
＝(5－1)x ，
∴e ＝c a
＝
25－1
＝
5＋1
2
，故选A. 13．△ABC 的周长是20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长等于________． [答案] 7
[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋
c ＝20， ①
12
bc sin60°＝103， ②
cos60°＝b 2
＋c 2
－a
2
2bc
， ③
由③得b 2＋c 2－a 2
＝bc ，结合①知 (20－a )2
－2cb －a 2
＝bc ④
又由②得bc ＝40，代入④得a ＝7.
14.如图所示，海中小岛A 周围38n mile 内有暗礁，一轮船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30n mile 后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
[解析] 在△ABC 中，BC ＝30，
B ＝30°，∠ACB ＝135°，
∴∠BAC ＝15°.
由正弦定理知BC sin A ＝AC
sin B ，
即
30sin15°＝AC
sin30°
.
AC ＝
30sin30°
sin15°
＝60cos15°＝60cos(45°－30°)
＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)(n mile)． 于是，A 到BC 所在直线的距离为：
AC sin45°＝15(6＋2)×
2
2
＝15(3＋1)≈40.98(n mile)． 它大于38n mile ，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．
15．(2011·辽宁文，17)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2
A ＝2a .
(1)求b
a
；
(2)若c 2
＝b 2
＋3a 2
，求B .
[解析] (1)由正弦定理得，sin 2
A sin
B ＋sin B cos 2
A ＝2sin A ，即sin
B (sin 2
A ＋cos 2
A )＝2sin A .
故sin B ＝2sin A ，所以b a
＝ 2.
(2)由余弦定理知c 2
＝b 2
＋3a 2，得cos B ＝＋3a
2c
.
由(1)知b 2
＝2a 2
，故c 2
＝(2＋3)a 2
.
可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22
，所以B ＝45°. 16.货轮在海上自B 点以40 km/h 的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后，船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，问货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离．
[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×0.5＝20(km)，
∠ABC ＝140°－110°＝30°，
∠ACB ＝65°＋(180°－140°)＝105°，
∠BAC ＝45°，
根据正弦定理，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ， AC ＝BC ·sin∠ABC sin ∠BAC ＝20·sin30°sin45°＝102， 货轮到达C 点时与灯塔的距离是102km.
1．(2011·辽宁铁岭六校联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )且在[－3，－2]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是
( )
A ．f (sin α)>f (cos β)
B ．f (sin α)<f (cos β)
C ．f (sin α)＝f (cos β)
D ．f (sin α)与f (cos β)的大小关系不确定
[答案] A
[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，
∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2，
∵f (x )在[－3，－2]上是减函数，
∴f (x )在[－1,0]上是减函数，
∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上是增函数，
∵α、β是锐角三角形内角，∴π2<α＋β<π，∴π2>α>π2
－β>0，∴1>sin α>sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－β＝cos β>0， ∴f (sin α)>f (cos β)．
2.如图，为了解某海塔海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为________．
[答案] 1665
[解析] 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .
DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，
DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，
EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202
＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，
cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 2
2DE ×EF
＝1302＋1502－102
×2982×130×150＝1665
. 3．(2011·广东肇庆模拟)在△ABC 中，B ＝
π3，且BA →·BC →＝43，则△ABC 的面积是________．
[答案] 6
[解析] 由已知得BA →·BC →＝ac cos π3
＝43， 所以ac ＝83，
所以△ABC 的面积 S ＝12ac sin B ＝12×83×32
＝6. 4．(2011·温州五校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知点D
是BC 边的中点，且AD →·BC →＝12
(a 2－3ac )，则角B ＝________. [答案] 30° [解析] ∵AD →·BC →＝(BD →－BA →)·BC →＝BD →·BC →－BA →·BC → ＝a 2·a －a ·c ·cos B ＝12
a 2－ac ·cos B ， 又AD →·BC →＝12
(a 2－3ac )， ∴cos B ＝32
，∴B ＝30°. 5．(2011·茂名期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .
(1)若c ＝2，C ＝π3
，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．
[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3
， ∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.
又∵△ABC 的面积为3，∴12
ab sin C ＝3，∴ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.
(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，
得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，
即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，
∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，
当cos A ＝0时，∵0<A <π，
∴A ＝π2
，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，
即△ABC 为等腰三角形．
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
6.如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？
[解析]
由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB 中，由正弦定理得，
DB
sin ∠DAB ＝AB
sin ∠ADB
∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝＋3
sin105° ＝＋3sin45°·cos60°＋sin60°·cos45° ＝533＋
3＋12
＝103(n mile)．
又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，
在△DBC 中，由余弦定理得，
CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC
＝300＋1200－2×103×203×1
2＝900，
∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝30
30＝1(h)．
答：救援船到达D 点需要1h.。