包头市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

包头市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
2． 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 下列函数中，为偶函数的是（ ）
A ．y=x+1
B ．y=
C ．y=x 4
D ．y=x 5
4． 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
5． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．R
B ．[1，+∞）
C ．（﹣∞，1]
D ．[2，+∞）
6． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）
A ．(]0,2016
B ．[]0,2015
C ．(]1,2016
D ．[]1,2017
7． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则
+
+…+
=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 双曲线E 与椭圆C ：＋＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
x 29y 23
为π，则E 的方程为（ ）A.－＝1 B.－＝1x 23y 2
3x 24y 22
C.－y 2＝1
D.－＝1
x 2
5x 2
2y 24
9． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）A ．4
B ．2
C ．
D ．2
10．已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）是偶函数，且满足xf ′（x ）＜0， =0，则满足
的x 的范围为（
）
A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）
B ．（，1）∪（1，2）
C ．（，1）∪（2，+∞）
D ．（0，）∪（2，+∞
）
11．已知，若不等式对一切恒成立，则的最大值为
2,0
()2, 0
ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩(2)()f x f x -≥x R ∈a （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．7
16
-
916
-
12
-
14
-
12．下列说法正确的是（
）
A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；
B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；
C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；
D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.
二、填空题
13．若实数x ，y 满足x 2+y 2﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ．
14．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ．15．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．
16．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．
17．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的043=++m y x 0>m C 06222
2
=--++y x y x C 距离的2倍，则
.
=m 18．在平面直角坐标系中，，，记，其中为坐标原点，
(1,1)=-a (1,2)=b {}
(,)|M OM λμλμΩ==+
a b O 给出结论如下：
①若，则；
(1,4)(,)λμ-∈Ω1λμ==②对平面任意一点，都存在使得；M ,λμ(,)M λμ∈Ω③若，则表示一条直线；1λ=(,)λμΩ④；
{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=
⑤若，，且，则表示的一条线段且长度为0λ≥0μ≥2λμ+=(,)λμΩ其中所有正确结论的序号是
．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知向量，，(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a (cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b 设函数的图象关于点对称，且．
()()2
n f x x R =×+Îa b (,1)12
p
(1,2)w Î（I ）若，求函数的最小值；
1m =)(x f （II ）若对一切实数恒成立，求的单调递增区间．
()(4
f x f p
£)(x f y =【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
20．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；
（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．
21．（本小题满分12分）已知向量满足：，，.,a b ||1a = ||6b = ()2a b a ∙-=
（1）求向量与的夹角；
（2）求.
|2|a b -
22．已知椭圆：（），点在椭圆上，且椭圆的离心率为．
C 22221x y a b +=0a b >>3(1,)2C C 1
2
（1）求椭圆的方程；
C （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的右顶点，直线，分别C F C P Q A C PA QA 交直线：于、两点，求证：．
4x =M N FM FN ⊥23．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }满足：a 1=b 1=1，a 2=b 2，2a 3﹣b 3=1．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）记c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．
24．（本小题满分13分）
在四棱锥中，底面是梯形，，，
，
P ABCD -ABCD //AB DC 2
ABD π
∠=
AD =22AB DC ==为
的中点．
F PA （Ⅰ）在棱上确定一点，使得平面；PB E //CE PAD （Ⅱ）若的体积．
PA PB PD ===
P BDF -A
B
C
D
P
F
包头市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f （a）的最大值为，
故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，
∴母线长为，
圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．
故选A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
3．【答案】C
【解析】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数，
对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，
对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，
对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，
故选：C．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．
4．【答案】D
【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A 样本方差S 2= [（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B 样本方差S 2= [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D 正确
故选D ．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．　
5． 【答案】C
【解析】解：由于f （x ）=x 2﹣2ax 的对称轴是直线x=a ，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a ，+∞）上为增函数，又由函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则a ≤1．故答案为：C
6． 【答案】B 【解析】
7． 【答案】D
【解析】解：∵S n =n 2+2n （n ∈N *），∴当n=1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（n 2+2n ）﹣[（n ﹣1）2+2（n ﹣1）]=2n+1．
∴=
=
，
∴++…+
=
+
+…+
=
=﹣
．故选：D ．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
8． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为－＝1，x 2a 2y 2b 2
渐近线方程为y ＝±x ，即bx ±ay ＝0，
b a
由题意得E 的一个焦点坐标为（，0），圆的半径为1，
6∴焦点到渐近线的距离为1.即＝1，
|6b |
b 2＋a 2
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝，5∴E 的方程为－y 2＝1，故选C.
x 2
5
9． 【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），
∴AB 是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x ，则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A ．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．　
10．【答案】D
【解析】解：当x ＞0时，由xf ′（x ）＜0，得f ′（x ）＜0，即此时函数单调递减，∵函数f （x ）是偶函数，∴不等式等价为f （||）＜，
即|
|＞，即
＞或
＜﹣，
解得0＜x ＜或x ＞2，
故x 的取值范围是（0，）∪（2，+∞）故选：D
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．　
11．【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当（如图1）、（如图2）时，不等式不可能恒成立；当时，如图3，直线与0a >0a =0a <2(2)y x =--函数图象相切时，，切点横坐标为，函数图象经过点时，，2
y ax x =+916a =-832
y ax x =+(2,0)12
a =-观察图象可得，选C ．1
2
a ≤-
12．【答案】C
【解析】
考点：几何体的结构特征.
二、填空题
13．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y 过图形上的点A的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，
即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，
最大值为：10．
故答案为：10．
14．【答案】　{2，3，4}　．
【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，
∴C U A={3，4}，
又B={2，3}，
∴（C U A）∪B={2，3，4}，
故答案为：{2，3，4}
15．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r
令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵tanβ=，α，β均为锐角，
∴tan（α﹣β）===，解得：tanα=1，
∴α=．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
17．【答案】9
【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可
做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.
222d R l -=18．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．
由得，∴，①错误；(1,4)λμ+=-a b 124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩21
λμ=⎧⎨=⎩与不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；a b 记，由得，∴点在过点与平行的直线上，③正确；
OA = a OM μ=+ a b AM μ= b M A b 由得，，∵与不共线，∴，∴，∴④2μλ+=+a b a b (1)(2)λμ-+-=0a b a b 12λμ=⎧⎨=⎩
2(1,5)μλ+=+=a b a b 正确；
设，则有，∴，∴且，∴表示的一(,)M x y 2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩21331133x y x y λμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩260x y -+=(,)λμΩ条线段且线段的两个端点分别为、，其长度为
，∴⑤错误．
(2,4)(2,2)-三、解答题
19．【答案】
20．【答案】
【解析】（1）证明：设BD 交AC 于M ，连接ME ．
∵ABCD 为正方形，∴M 为AC 中点，
又∵E 为A ′A 的中点，
∴ME 为△A ′AC 的中位线，
∴ME ∥A ′C ．
又∵ME ⊂平面BDE ，A ′C ⊄平面BDE ，
∴A ′C ∥平面BDE ．
（2）解：∵V E ﹣ABD =
===V A ′﹣ABCD ．
∴V A ′﹣ABCD ：V E ﹣ABD =4：1．　
21．【答案】（1）
；（2）．3
π【解析】试题分析：（1）要求向量的夹角，只要求得这两向量的数量积，而由已知，结合数量,a b a b ⋅ ()2a b a ∙-= 积的运算法则可得，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式，把a b ⋅
22a a = 考点：向量的数量积，向量的夹角与模．
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式求得这两个cos ,a b a b a b
⋅<>= 向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在内及余弦值求出两向量的夹角．
[0,]π22．【答案】（１） ；（２）证明见解析．22
143
x y +=【解析】
试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中的等式关系可得的值，求得椭圆的方程；c b a ,,b a ,（２）可设直线的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得，，得P Q 122634m y y m -+=+122934y y m -=+直线，直线，求得点 、坐标，利用得．
PA l QA l M N 0=⋅FN FM FM FN ⊥试题解析： （1）由题意得解得22222191,
41,2,a b c a a b
c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆的方程为．C 22
143
x y +=
又，，
111x my =+221x my =+∴，，则，，112(4,)1y M my -222(4,)1y N my -112(3,1y FM my =- 222(3,1
y FN my =- 1212212121222499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++ 22222363499906913434
m m m m m -+=+=-=---+++∴FM FN
⊥考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．
23．【答案】
【解析】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ：∵a 1=b 1=1，a 2=b 2，2a 3﹣b 3=1．∴1+d=q ，2（1+2d ）﹣q 2=1，解得或．∴a n =1，b n =1；
或a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，b n =3n ﹣1．
（II ）当
时，c n =a n b n =1，S n =n ．当时，c n =a n b n =（2n ﹣1）3n ﹣1，
∴S n =1+3×3+5×32+…+（2n ﹣1）3n ﹣1，
3S n =3+3×32+…+（2n ﹣3）3n ﹣1+（2n ﹣1）3n ，
∴﹣2S n =1+2（3+32+…+3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）3n =
﹣1﹣（2n ﹣1）3n =（2﹣2n ）3n ﹣2，∴S n =（n ﹣1）3n +1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当为的中点时，平面． （1分）
E PB //CE PAD 连结、，那么，． E
F EC //EF AB 12EF AB =
∵，，∴，，∴． （3分）//DC AB 12
DC AB =//EF DC EF DC =//EC FD 又∵平面， 平面，∴平面． （5分）
CE ⊄PAD FD ⊂PAD //CE PAD （Ⅱ）设为的中点，连结、，∵，∴，
O AD OP OB PA PD =OP AD ⊥在直角三角形中，, 又∵，∴，∴,∴ABD 12
OB AD OA ==PA PB =PAO PBO ∆≅∆POA POB ∠=∠，
OP OB ⊥∴平面． （10分）
OP ⊥ABD
，2PO ==
=2
BD ==∴三棱锥的体积． （13分）P BDF -1112222233
P BDF P ABD V V --==⨯⨯⨯=A B
C
D P
O
E
F。