数字信号处理第三版第3章.ppt
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x1(n) x2 (n)
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
下面推导离散傅里叶变换逆变换公式
N 1
N 1 N 1
N 1 N 1
X (k)WN n k [ x(m)WN mk ]WN n k
x(m)WN (mn)k
k 0
k0 m0
k0 m0
N1 N1
x(n)WNk n
N 1
j 2 k n
x(n)e N
n0
n0
DTFT :
X (e j ) x(n)e j n n
2 k
N
ZT :
X (z) x(n)zn
z e j
n
结论： DFT是有限长序列x(n)的傅里叶变换在区间[0，2π]上 的N点等间隔采样；DFT是对有限长序列x(n) 进行Z变换后 在单位圆上进行等间隔采样的采样值 。
j 2 (nm)k N 1
N 1 j 2 (nm)k
x(m) e N
x(m) e N
m0 k0
j 2 N (nm)
N 1
1e N
x(m)
m0
j 2 (nm)
1e N
m0
k 0
式中m是哑变量，对每个 确定的n值，当m≠n时后项 分式值为0，当m=n时，后
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 傅里叶分析公式关系
CTAS-CTFT CTPS-FS DTPS-DFS DTAS-DTFT
x(t)
T0→∞ x(t)
t=nT x(n)
N→∞ x(n)
X(Ω)
nΩ0→Ω X(nΩ0)
ω=ΩT
X(kω0)
kω0→ω X(ω)
ω=2πk/N
DTAS-DFT
x(n)
X(k)
例 : 已知
3
X (k) 1
求其10点 I DFT。
k=0 1≤k≤9
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.2.2 循环移位性质 循环(圆周)移位：一个长为N的有限长序列的圆周移位定 义为： y(n) x((n m)) N RN (n) 将x(n)以N 为周期进行周期延拓，将得到的序列右移m位， 此时移出主值区间的序列值又依次从左侧进入主值区间。故 可想象为：将序列x(n)逆排在一个N 等分的圆周上，序列右
• 3.2.5 DFT的共轭对称性 共轭对称序列xep(n)定义为:
xep(n) xe*p(N n)
共轭反对称序列xop(n)定义为: xop (n) xo*p (N n)
任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对称分量xep(n)和共轭 反对称分量xop(n)之和：x(n)=xep(n)+xop(n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 四种傅里叶分析的公式
CTPS：
X
(n0
)
1 T0
T0 / 2 x(t)e jn0t dt
T0 / 2
x(t) X (n 0 ) e jn0 t n
CTAS： X () x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( )e jtd
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
目录
• 引言 • 离散傅里叶变换的定义及物理意义 • 离散傅里叶变换的基本性质 • 频率域采样 • DFT 的应用举例
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.0 引言
傅里叶(Fourier,1768年3月21日—1830年5月16日) 法国数学家和物理学家，他最著名的成就是研究了傅里 叶级数，傅里叶变换也以他命名。
• 四种傅里叶分析的图解（动画演示）
规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓； 一个域的连续必对应另一个域的非周期。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 离散傅里叶变换 傅里叶变换对的数据如果连续或无限，则不适合在计算
机上运算。从数值计算的角度出发，我们感兴趣的是时域及 频域都离散且有限的情况，这就是我们本章要研究的离散傅 里叶变换。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.2.3 循环卷积定理 循环(圆周)卷积：设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M ， 则 h(n)和x(n)的L点圆周卷积定义为：
L1
y(n) h(n) x(n) [ h(m)x((n m)) L ]RL (n)
式中 L ≥max(N，M ) m0
移，圆周逆转（同方向移动）。过程演示：圆周移位
时域圆周移位定理：时域圆周移位，则频域移相。 y(n) x((n m)) N RN (n) Y (k) WNkm X (k) 0 k N 1
频域圆周移位定理：频域圆周移位，则在时域调制。
X (k) DFT [x(n)] Y (k) X ((k l)) N RN (k) y(n) IDFT [Y (k)] WNnl x(n)
1 N X1(k) X 2(k)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.2.4 复共轭序列的DFT DFT[x(n)] X (N k) 0 k N 1 X (N) X (0)
应用：如果x(n)是实序列，则X(k)圆周共轭对称，求X(k)时只 要知道一半数目的X(k)即可。
其中：X(k)的共轭对称分量 X ep (k) DFT [xr (n)] X(k)的共轭反对称分量 X op (k) DFT [ jxi (n)]
如果 x(n) = xep(n) + xop(n)
则： X (k) DFT[x(n)] X R (k) jX I (k)
其中： X R (k) Re[ X (k)] DFT[xep (n)] jX I (k) j Im[ X (k)] DFT[xop (n)]
本章内容：离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，简称 DFT)是数字信号处理中非常重要的一种数学变换，除了在理 论上相当重要之外，因其存在有效的快速算法，故在各种数 字信号处理的算法中起核心作用。本章主要讨论DFT的定义 和物理意义、DFT的基本性质、频率域采样和DFT的应用举 例。
• 3.2 离散傅里叶变换的基本性质
• 3.2.1 线性性质 设有两个有限长序列，长度分别为N1和N2，若： y(n) ax1(n) bx2 (n) 则y(n)的N点（N ≥max(N1，N2 ) ）DFT为：
Y (k) DFT [ y(n)] aX1(k) bX2 (k) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
2
k
N
N 1
j 2 k n
x(n)e N
n0
X (k)
定义：指数因子（又称旋转因子或加权因子）
j 2
WN e N
N 1
X (k) DF T [x(n)] x(n)WN k n
n0
例：已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。
已知序列
x(n)
1 N
RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
离散傅里叶变换定义为：对有限长序列的傅里叶变换进行
等频率间隔取样。
有限长序列 DTFT
离散非周期
周期连续 2 k 非周期离散
数字频谱
N
数字频谱
X
(
)
|
2
k
N
x(n)e jn
n一反；反排顺转；相 乘相加。 分别取 n = 0, 1, 2, … 即得全部y(n)值。
循环卷积的计算的过程演示：圆周卷积与线性卷积
说明：圆周卷积本身并无实际的物理意义，但满足卷积定 理。当满足一定条件时可以用圆周卷积实现线性卷积，故 在计算机中，借助圆周卷积可提高线性卷积的运算速度。
Continuous Time Aperiodic Signals ——Continuous Time Fourier Transform Continuous Time Periodic Signals ——Continuous Time Fourier Series Discrete Time Periodic Signals ——Discrete Time Fourier Series Discrete Time Aperiodic Signals ——Discrete Time Fourier Transform
2
DTPS：
X (k0 )
1 N
N 1 n0
x(n)e jk0n
N 1
x(n) X (k 0 ) e jk0 n k 0
DTAS： X () x(n)e jn n
x(n) 1 2 X ( )e jnd
2 0
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
结论： DFT中x(n)与X(k)都是长为N点的有限长序列，存在 一一对应关系。 DFT中各有限长序列可作为周期序列的一 个周期，隐含周期性。 DFT变换实现了信号在时域和频域 中的离散与有限，开辟了数字技术在频域处理信号的新途径， 推进了信号处理向更深更广的领域发展。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
循环卷积定理
x1(n) N•DFT X1(k )
Y (k) X1(k) X 2(k) y(n) IDFT[Y (k)]
N 1
x1(m)x2 ((n m))N RN (n) m0 N 1
x2 (m)x1((n m))N RN (n) m0
N 1
X (k mN ) x(n)WNn(kmN) x(n)WNnk X (k)
n0
n0
X(k)的周期性是WN k具有周期性。X(k)的周期性可理解为对 X(z)在Z平面单位圆上进行等间隔采样的循环。
根据傅里叶分析的周期离散性或非周期连续性可知：一个 域的离散对应另一个域的周期延拓。
N x(n)
项分式值为N
N 1
X (k) DF T [x(n)] x(n)WN k n n0
x(n)
IDF
T
[X (k)]
1 N
N 1
X (k)WN nk
k 0
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与DTFT和Z变换的关系
DFT :
X (k)
N 1
xep (n)
1 2
[x(n)
x*(N
n)]
xop
( n)
1 2
[x(n)
x*(N
n)]
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
DFT的共轭对称性 若x(n)的实部及虚部是xr(n)及xi(n) ，即：x(n)= xr(n)+jxi(n)
则： X (k) DFT[x(n)] X ep(k) X op (k)
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
下面推导离散傅里叶变换逆变换公式
N 1
N 1 N 1
N 1 N 1
X (k)WN n k [ x(m)WN mk ]WN n k
x(m)WN (mn)k
k 0
k0 m0
k0 m0
N1 N1
x(n)WNk n
N 1
j 2 k n
x(n)e N
n0
n0
DTFT :
X (e j ) x(n)e j n n
2 k
N
ZT :
X (z) x(n)zn
z e j
n
结论： DFT是有限长序列x(n)的傅里叶变换在区间[0，2π]上 的N点等间隔采样；DFT是对有限长序列x(n) 进行Z变换后 在单位圆上进行等间隔采样的采样值 。
j 2 (nm)k N 1
N 1 j 2 (nm)k
x(m) e N
x(m) e N
m0 k0
j 2 N (nm)
N 1
1e N
x(m)
m0
j 2 (nm)
1e N
m0
k 0
式中m是哑变量，对每个 确定的n值，当m≠n时后项 分式值为0，当m=n时，后
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 傅里叶分析公式关系
CTAS-CTFT CTPS-FS DTPS-DFS DTAS-DTFT
x(t)
T0→∞ x(t)
t=nT x(n)
N→∞ x(n)
X(Ω)
nΩ0→Ω X(nΩ0)
ω=ΩT
X(kω0)
kω0→ω X(ω)
ω=2πk/N
DTAS-DFT
x(n)
X(k)
例 : 已知
3
X (k) 1
求其10点 I DFT。
k=0 1≤k≤9
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.2.2 循环移位性质 循环(圆周)移位：一个长为N的有限长序列的圆周移位定 义为： y(n) x((n m)) N RN (n) 将x(n)以N 为周期进行周期延拓，将得到的序列右移m位， 此时移出主值区间的序列值又依次从左侧进入主值区间。故 可想象为：将序列x(n)逆排在一个N 等分的圆周上，序列右
• 3.2.5 DFT的共轭对称性 共轭对称序列xep(n)定义为:
xep(n) xe*p(N n)
共轭反对称序列xop(n)定义为: xop (n) xo*p (N n)
任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对称分量xep(n)和共轭 反对称分量xop(n)之和：x(n)=xep(n)+xop(n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 四种傅里叶分析的公式
CTPS：
X
(n0
)
1 T0
T0 / 2 x(t)e jn0t dt
T0 / 2
x(t) X (n 0 ) e jn0 t n
CTAS： X () x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( )e jtd
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
目录
• 引言 • 离散傅里叶变换的定义及物理意义 • 离散傅里叶变换的基本性质 • 频率域采样 • DFT 的应用举例
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.0 引言
傅里叶(Fourier,1768年3月21日—1830年5月16日) 法国数学家和物理学家，他最著名的成就是研究了傅里 叶级数，傅里叶变换也以他命名。
• 四种傅里叶分析的图解（动画演示）
规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓； 一个域的连续必对应另一个域的非周期。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 离散傅里叶变换 傅里叶变换对的数据如果连续或无限，则不适合在计算
机上运算。从数值计算的角度出发，我们感兴趣的是时域及 频域都离散且有限的情况，这就是我们本章要研究的离散傅 里叶变换。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.2.3 循环卷积定理 循环(圆周)卷积：设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M ， 则 h(n)和x(n)的L点圆周卷积定义为：
L1
y(n) h(n) x(n) [ h(m)x((n m)) L ]RL (n)
式中 L ≥max(N，M ) m0
移，圆周逆转（同方向移动）。过程演示：圆周移位
时域圆周移位定理：时域圆周移位，则频域移相。 y(n) x((n m)) N RN (n) Y (k) WNkm X (k) 0 k N 1
频域圆周移位定理：频域圆周移位，则在时域调制。
X (k) DFT [x(n)] Y (k) X ((k l)) N RN (k) y(n) IDFT [Y (k)] WNnl x(n)
1 N X1(k) X 2(k)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.2.4 复共轭序列的DFT DFT[x(n)] X (N k) 0 k N 1 X (N) X (0)
应用：如果x(n)是实序列，则X(k)圆周共轭对称，求X(k)时只 要知道一半数目的X(k)即可。
其中：X(k)的共轭对称分量 X ep (k) DFT [xr (n)] X(k)的共轭反对称分量 X op (k) DFT [ jxi (n)]
如果 x(n) = xep(n) + xop(n)
则： X (k) DFT[x(n)] X R (k) jX I (k)
其中： X R (k) Re[ X (k)] DFT[xep (n)] jX I (k) j Im[ X (k)] DFT[xop (n)]
本章内容：离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，简称 DFT)是数字信号处理中非常重要的一种数学变换，除了在理 论上相当重要之外，因其存在有效的快速算法，故在各种数 字信号处理的算法中起核心作用。本章主要讨论DFT的定义 和物理意义、DFT的基本性质、频率域采样和DFT的应用举 例。
• 3.2 离散傅里叶变换的基本性质
• 3.2.1 线性性质 设有两个有限长序列，长度分别为N1和N2，若： y(n) ax1(n) bx2 (n) 则y(n)的N点（N ≥max(N1，N2 ) ）DFT为：
Y (k) DFT [ y(n)] aX1(k) bX2 (k) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
2
k
N
N 1
j 2 k n
x(n)e N
n0
X (k)
定义：指数因子（又称旋转因子或加权因子）
j 2
WN e N
N 1
X (k) DF T [x(n)] x(n)WN k n
n0
例：已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。
已知序列
x(n)
1 N
RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
离散傅里叶变换定义为：对有限长序列的傅里叶变换进行
等频率间隔取样。
有限长序列 DTFT
离散非周期
周期连续 2 k 非周期离散
数字频谱
N
数字频谱
X
(
)
|
2
k
N
x(n)e jn
n一反；反排顺转；相 乘相加。 分别取 n = 0, 1, 2, … 即得全部y(n)值。
循环卷积的计算的过程演示：圆周卷积与线性卷积
说明：圆周卷积本身并无实际的物理意义，但满足卷积定 理。当满足一定条件时可以用圆周卷积实现线性卷积，故 在计算机中，借助圆周卷积可提高线性卷积的运算速度。
Continuous Time Aperiodic Signals ——Continuous Time Fourier Transform Continuous Time Periodic Signals ——Continuous Time Fourier Series Discrete Time Periodic Signals ——Discrete Time Fourier Series Discrete Time Aperiodic Signals ——Discrete Time Fourier Transform
2
DTPS：
X (k0 )
1 N
N 1 n0
x(n)e jk0n
N 1
x(n) X (k 0 ) e jk0 n k 0
DTAS： X () x(n)e jn n
x(n) 1 2 X ( )e jnd
2 0
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
结论： DFT中x(n)与X(k)都是长为N点的有限长序列，存在 一一对应关系。 DFT中各有限长序列可作为周期序列的一 个周期，隐含周期性。 DFT变换实现了信号在时域和频域 中的离散与有限，开辟了数字技术在频域处理信号的新途径， 推进了信号处理向更深更广的领域发展。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
循环卷积定理
x1(n) N•DFT X1(k )
Y (k) X1(k) X 2(k) y(n) IDFT[Y (k)]
N 1
x1(m)x2 ((n m))N RN (n) m0 N 1
x2 (m)x1((n m))N RN (n) m0
N 1
X (k mN ) x(n)WNn(kmN) x(n)WNnk X (k)
n0
n0
X(k)的周期性是WN k具有周期性。X(k)的周期性可理解为对 X(z)在Z平面单位圆上进行等间隔采样的循环。
根据傅里叶分析的周期离散性或非周期连续性可知：一个 域的离散对应另一个域的周期延拓。
N x(n)
项分式值为N
N 1
X (k) DF T [x(n)] x(n)WN k n n0
x(n)
IDF
T
[X (k)]
1 N
N 1
X (k)WN nk
k 0
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与DTFT和Z变换的关系
DFT :
X (k)
N 1
xep (n)
1 2
[x(n)
x*(N
n)]
xop
( n)
1 2
[x(n)
x*(N
n)]
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
DFT的共轭对称性 若x(n)的实部及虚部是xr(n)及xi(n) ，即：x(n)= xr(n)+jxi(n)
则： X (k) DFT[x(n)] X ep(k) X op (k)