中考数学 考点系统复习 第六章 圆 微专题(七) 与切线有关的常考五大模型

1．(2022·天津)已知 AB 为⊙O 的直径， AB＝6，C 为⊙O 上一点，连
接 CA，CB. (1)如图①，若 C 为A︵B的中点，则∠CAB＝4455 °，AC＝33 2； (2)如图②，若 AC＝2，OD 为⊙O 的半径，°且 OD⊥CB ，垂足为点 E ，过 点 D 作⊙O 的切线，与 AC 的延长线相交于点 F，求 FD 的长．



6－x

14＋x

∴OC＝OE－CE＝ 2 ，OP＝OE＋PE＝ 2 .

∵PA，PB 为⊙O 的切线，∴PA＝PB，PO 平分∠APB，∴PO⊥AB.

∵PA 为⊙O 的切线，∴AO⊥PA，

6＋x 14＋x

OA OP 2 2 ∴△OAC∽△OPA，∴OC＝OA，∴6－x＝ 6＋x ，

22

即 x2＋10x－24＝0.解得 x＝2 或－12(舍去)，∴CE＝2.

模型二：角平分线模型
已知：如图，AB 是直径，AC⊥EC 于点 C，BE⊥EC 于点 E，EC 是⊙O 的切 线． 【常见结论与方法】①AD 平分∠BAC；②BD＝DF，ED＝DC；③△ADC∽△ ABD(AD2＝AC·AB)；④△FDC∽△DAC(DC2＝CF·CA)；⑤△BED∽△DCA(ED2 ＝BE·AC＝14EC2)；⑥常见辅助线：连接 OD，过点 O 作 OG⊥AC，构造矩形．
微专题(七) 与切线有关 的常考五大模型

模型一：直角三角形模型 已知：如图，BC 是直径，AC⊥BC，DE 切⊙O 于点 D，交 AC 于点 E.
【常见结论与方法】①EA＝EC＝ED；②OE 綊12AB；③连接 CD，构造“双 垂”模型得 CD＝ACA·B BC，CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.

是△PAB 与△PCA 的相似比来转化．(例如 tan∠PAB＝12，BC＝4，则由△

PB PA AB

1

PAB∽△PCA，得PA＝PC＝AC＝tan∠PAB＝2.设 PB＝x，则 PA＝2x，PC＝

4x，故 BC＝4x－x＝4，从而求出其他线段长度)

4．★如图，在⊙O 中，AB 为直径，过圆上一点 C 作切线 CD 交 AB 的延长 44 33

(1)求证：∠ADE＝∠PAE；
证明：连接 OA， ∵PA 为⊙O 的切线， ∴AO⊥PA， ∴∠OAE＋∠PAE＝90°. ∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE.

(2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；

3．(2021·衢州)如图，在△ABC 中，CA＝CB，BC 与⊙A 相切于点 D，过 点 A 作 AC 的垂线交 CB 的延长线于点 E，交⊙A 于点 F，连接 BF.

(1)求证：BF 是⊙A 的切线； 证明：连接 AD， ∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC，∵AE⊥AC， ∴∠CAB＋∠EAB＝90°， 又∵⊙A 切 BC 于点 D， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝∠BAD. 又∵AB＝AB，AF＝AD，∴△ABF≌△ABD(SAS)， ∴∠AFB＝∠ADB＝90°，∴BF 是⊙A 的切线． (2)若 BE＝5，AC＝20，则 EF 的长为 33 ．
证明：由(1)知∠ADE＝∠PAE＝30°， ∵∠DAE＝90°， ∴∠AED＝90°－∠ADE＝60°. ∵∠AED＝∠PAE＋∠APE， ∴∠APE＝∠PAE＝30°， ∴AE＝PE.

(3)若 PE＝4，CD＝6，求 CE 的长．

6＋x

解：设 CE＝x，则 DE＝CD＋CE＝6＋x，∴OA＝OE＝ 2 ，

模型三：等腰三角形模型 类型 1：已知：如图①，AB＝AC，AB 是直径，DE⊥AC 于点 E，BF⊥CF 于 点 F.

【常见辅助线】连接 AD，在 Rt△ADC 中，DE 是斜边上的高，可构造双垂 直模型，连接 OD，反向延长交 BF 于点 G，则四边形 GDEF 为矩形． 【常见结论与方法】①由等腰三角形的“三线合一”得 BD＝CD；②由中 位线定理得 OD∥AC，从而得到 OD⊥DE，证得 DE 是⊙O 的切线；③由 BF ⊥CF，DE⊥CF 可得 DE∥BF，又因为 D 为 BC 中点，所以 DE 綊12BF. 类型 2：已知：如图②，AB 是直径，CE⊥AB，CD 切⊙O 于点 D. 【常见结论与方法】①CD＝CF；②△BEF∽△BDA(BE·BA＝BF·BD)．利 用∠BFE＝∠CFD 将等腰三角形 CDF 与 Rt△BAD 联系起来．
线于点 D.若∠BAC＝30°，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD＝4，则 CD 的长为3 3 .

模型五：双切线模型 已知：如图，PA，PC 与⊙O 分别相切于 A，C 两点． 【常见结论与方法】连接 OA，OC，OP，则有： ①∠PAO＝∠PCO＝90°； ②OP 平分∠APC；③PA＝PC； ④△OPA≌△OPC.

5．(2022·恩施州)如图，P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O 的切线，切点 分别为 A，B，直线 PO 交⊙O 于点 D，E，交 AB 于点 C.

2．(2022·桂林)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上的一点，CD⊥AD 于 点 D，AD 交⊙O 于点 F，连接 AC，若 AC 平分∠DAB，过点 F 作 FG⊥AB 于 点 G 交 AC 于点 H.

(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
证明：连接 OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线．

模型四：弦切角模型(切割线模型) 已知：如图，PA 切⊙O 于点 A，直线 PO 与⊙O 交于点 B，C.

【常见结论与方法】①∠PAB＝∠C；②△PAB∽△PCA(PA2＝PB·PC，PPBA＝

PA AB PC＝AC＝tan∠PAB)；③此图中若知道 PA，PB，PC，BC，AB，AC 中任意

AB 两个量可求出其余量．常用∠PAB＝∠C 转换角度，利用 tan C＝AC同时

解：(2)∵ FD 是⊙O 的切线， ∴OD⊥FD.即∠ODF＝90°.
1 ∵OD⊥CB，垂足为点 E ，∴∠CED＝90°，CE＝2CB. 由(1)可得∠ACB＝90°，有∠FCE＝90°. ∴∠FCE＝∠CED＝∠ODF＝90°. ∴四边形 ECFD 为矩形．∴FD＝CE.∴FD＝12CB. 在 Rt△ABC 中，由 AB＝6，AC＝2， 得 CB＝ AB2－AC2＝4 2.∴FD＝2 2.