2021学年高中数学第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3直观图画法课件苏教版必修2

1．斜二测画法中“斜〞和“二测〞分别指 _“__原__图__中__与__x_轴__垂__直__的__直__线__在__直__观__图__中__与__x_′__轴__成__4__；__“__两__种__度__量__形__式__〞______________________ 解析：“斜〞是指在图形的xOy平面内与x轴垂直的线段 ，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测〞是指两 种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长 度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
斜二测画法，也就是使平行于 x 轴的线段的长度不变，而平行 于 y 轴的线段长度变为原来的 2 倍；其次要求出原图形中的高， 也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线
成 45°角且长度变为原来的一半的线段，即若设原实际图形的
高为
h，直观图的高为
h′，则
h′＝
2 4 h.
易错警示 因斜二测画法规则应用不当致误 (2014·温州高一检测)一梯形的直观图是一个如图所 示的等腰梯形，且梯形 OA′B′C′的面积为 2，求原梯 形的面积．
(2)画底面．按 x′轴，y′轴，画正六边形的直观图 ABCDEF. (3)画侧棱．过 A、B、C、D、E、F 各点分别作 z′轴的平行 线，在这些平行线上分别截取 AA′、BB′、CC′、DD′、 EE′、FF′都等于侧棱长． (4)成图．顺次连结 A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加 以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六 棱柱的直观图．
画水平放置平面图形的直观图 画出如图水平放置的等腰梯形的直观图．
(链接教材 P15 例 1)
[ 解 ] (1) 按 斜 二 测 画 法 画 出 水 平 放 置 的 平 面 直 角 坐 标 系 x′O′y′.
(2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′B′＝AB，在 y′轴上取 O′E′＝12OE，以 E′为中点画 C′D′∥x′轴，并使 C′D′ ＝CD. (3)连结 B′C′、D′A′，所得的四边形 A′B′C′D′就是 水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图．
方法归纳 利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的根本原那么： (1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角
度可适中选取． (2)画法规那么可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变
，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．
2．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm 的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图． 解：(1)画轴．如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
中的应用.
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2．空间几何体直观图的画法 (1)与平面图形的直观图画法相比多了一个______z______轴， 直观图中与之对应的是______z_′_______轴． (2)平面___x_′__O_′__y_′____表示水平平面，平面___y′__O__′__z_′___ 和___x_′__O__′__z′____表示竖直平面． (3)图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中 ____平__行__性______和______长__度______都不变． (4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的局部改为____虚__线______
(2)画底面．以点 O 为中心，在 x 轴上取线段 MN，使 MN＝4 cm； 在 y 轴上取线段 PQ，使 PQ＝32 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的 平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A， B，C，D，四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. (3)画侧棱．过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在 这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′，BB′，CC′， DD′. (4)成图．顺次连结 A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉 辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
轴，且 E′C′＝12EC. (3) 连 结 B′C′ ， C′D′ ， 去 掉 辅 助 线 ， 得 到 四 边 形 A′B′C′D′，即为四边形 ABCD 水平放置的直观图，如图 (3)所示．
画几何体的直观图 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直 观图． (链接教材P15例2) [ 解 ] 画 法 ： (1) 画 轴 ． 画 x′ 轴 、 y′ 轴 、 z′ 轴 ， 使 ∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
平面图形的直观图的复原 已知水平放置的直观图是一梯形(如图所示)，∠ D′A′B′＝45°，A′B′＝2D′C′＝2A′D′，请画出它 的原图形． (链接教材 P16 练习 T4)
[解] 画法：建立∠x′O′y′为 45°的坐标系，如图(1)所示， 然后按下面的步骤进行画图： (1)在水平放置的直观图中延长 D′A′，交 x′轴于 E′. (2)如图(2)所示，画互相垂直的轴 Ox，Oy，取 OE＝O′E′， 过 E 作 EF∥y 轴，在 EF 上截取 AE＝2A′E′，AD＝2A′D′， 再过 D 作 DC∥x 轴，过 A 作 AB∥x 轴，并且截取 DC＝D′C′， AB＝A′B′. (3)连结 BC，得直观图 A′B′C′D′的原图形，即直角梯形 ABCD 就是梯形 A′B′C′D′的原图形．
[错因与防范] 由于直观图中的等腰梯形只知道面积，不知 道高和上下底边的长，所以要求原梯形的面积，关键是根据 斜二测画法的规那么将图形复原，确定原梯形与直观图中的 梯形在高和上下底边长两方面的关系．在解答此题过程中易 得原直角梯形的高为h的错误，导致该种错误的原因是无视了 在直观图中平行于y轴的线段长是原图中线段长的一半．
4．假设用斜二测画法画出的直观图是△A′B′C′，且 ∠A′B′C′＝45°，A′B′＝1，B′C′＝2，那么原图形为 ___________两__直__角__边__都__为__2_的__等__腰__直__角__三__角__形_____． 解析： 按斜二测画法规那么，原图形△ABC满足∠ABC ＝90°，AB＝2A′B′＝2，BC＝B′C′＝2.
A′B′C′是边长为 a 的正三角形，求△ABC 的面积．
[解] △A′B′C′的高 A′D′＝ 23a，4 分 ∴O′A′＝ 2A′D′＝ 26a.8 分 ∴OA＝2O′A′＝ 6a.12 分 ∴S△ABC＝12·BC·OA＝ 26a2.14 分
[规范与警示] 解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置 的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用
方法归纳 (1)在图中建立直角坐标系时尽量利用原有图形的对称性和垂
直关系． (2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的 顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴 平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上 且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴
平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．
2．如下图的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线 的左上角而绘制的，其中正确的选项是_①_______．
解析：根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并 且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知① 正确．
3．假设正方形的边长为2，以正方形相邻两边所在直线分 别作为x轴、y轴，那么用斜二测画法画出的直观图是边长 分别2为,2_,1_,_1_____的四边形． 解析： 如图为原图形OABC，那么用斜二测画法画出的 直观图为如下图的O′A′B′C′，其边长分别为O′A′＝C′B′＝ 2，O′C′＝A′B′＝1.
1．用斜二测画法画出如下图的水平放置的四边形ABCD的 直观图．
解：(1)建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2) 所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图(1)中，过点 C 作 CE⊥x 轴，垂足为 E.图(2)中，在 x′ 轴上取点 B′，E′，使得 O′B′＝OB，O′E′＝OE；在 y′ 轴上取点 D′，使得 O′D′＝12OD；过 E′作 E′C′∥y′
3．△ABC为边长为a的正三角形，求直观图△A′B′C′的面积 ． 解：如图所示的实物图和直观图．
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝ 43a，在图中作
C′D′⊥A′B′于
D′，则
C′D′＝
22O′C′＝
6 8 a.
∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a× 86a＝166a2.
方法归纳 解此类题目的方法是找与 x′轴、y′轴平行的直线或线段，且 平行于 x′轴的线段还原时长度不变，平行于 y′轴的线段还 原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍，由此确定图形的各个 顶点，顺次连结即可．
规范解答
水平放置的平面图形与其直观图 面积的关系
( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 △ ABC 的 平 面 直 观 图 △
第1章 立体几何初步
1．1.3 直观图画法
学习导航
第1章 立体几何初步
学习 目标
1.了解斜二测画法的基本特征． 2．理解斜二测画法的规则．(难点) 3．掌握斜二测画法的基本步骤．(重点)
通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何 学法 体的直观图，提高空间想象力与直观感受，体会 指导 对比在学习中的作用，感受几何作图在生产活动
[解] 如图，由斜二测画法原理知，
原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的 是两个梯形的高，原梯形的高 OC 是直观图中 OC′长度的 2 倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的 2倍， 由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 2倍，故 其面积是梯形 OA′B′C′面积的 2 2倍，梯形 OA′B′C′ 的面积为 2，所以原梯形的面积是 4.