4.1平面向量的概念及其线性运算

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
2019考纲考题考情
1．向量的有关概念
2.向量的线性运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)
a
(2)
(
(
三角形法则
a
(1)|λa|＝|λ||a|；
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa。

1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP
→
＝
1
2(OA
→
＋OB
→
)。

2.OA →＝λOB →＋μOC →
(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1。

3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。

要特别注意零向量的特殊性。

一、走进教材
1．(必修4P 86例4改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于
点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →
＝________。

(用a ，b 表示)
解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →
－OB →
＝－a －b 。

答案 b －a －a －b
2．(必修4P 118A 组T 2(3)改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD
→
|＝|AB →－AD →
|，则四边形ABCD 的形状为________。

解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →
|。

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是
矩形。

答案 矩形
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为
AD 的中点，则EB →
＝( )
A ．34A
B →－14A
C → B ．14AB →－34AC →
C ．34AB →＋14AC →
D ．14AB →＋34AC →
解析 如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12
(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →
，故选A 。

解析：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12×(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →
，故选A 。

答案 A
4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________。

解析 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa
＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12。

答案 12
三、走出误区
微提醒：①对向量共线定理认识不准确；②向量线性运算不熟致错；③向量三角不等式认识不清致错。

5．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b 。

若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立。

故前者是后者的充分不必要条件。

答案 A
6．如图，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →
等于( )
A ．13OA →－43O
B → B ．13OA →＋43OB →
C ．－13OA →＋43OB →
D ．－13OA →－43OB →
解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →。

故选C 。

答案 C
7．已知向量a ，b ，若|a |＝2，|b |＝4，则|a －b |的取值范围为________。

解析 当a 与b 方向相同时，|a －b |＝2，当a 与b 方向相反时，|a －b |＝6，当a 与b 不共线时，2<|a －b |<6，所以|a －b |的取值范围为[2,6]。

此题易忽视a 与b 方向相同和a 与b 方向相反两种情况。

答案 [2,6]
考点一 向量的有关概念
【例1】 给出下列四个命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →
”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；
③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 。

其中正确命题的序号是( )
A ．②③
B ．①②
C ．③④
D ．②④
解析 ①不正确。

两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相
同。

②正确。

因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，
若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC
→
方向相同，因此AB →＝DC →。

③正确。

因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同，所以a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c 。

④不正确。

当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件。

综上所述，正确命题的序号是②③。

答案 A
1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。

2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关。

3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。

解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈。

4．非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量。

【变式训练】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一
定能使a |a |＋b |b |＝0成立的是( )
A ．a ＝2b
B ．a ∥b
C ．a ＝－13b
D ．a ⊥b
(2)给出下列说法：
①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件；
②若AB →与BC →
共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线。

其中错误说法的序号是________。

解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b |b |·|a |≠0，则a
与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，
能使a |a |＋b |b |＝0成立。

对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直。

故选C 。

(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当λ＝μ＝0时，a 与b 不一定共线，故④错误。

答案 (1)C (2)④
考点二 向量的线性运算
【例2】 (1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一
点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →
＝( )
A ．2OA →－O
B → B ．－OA →＋2OB →
C ．23OA →－13OB →
D ．－13OA →＋23OB →
(2)(2019·福建质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征。

正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，
E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT ＝5－12。

下列关系中正确
的是( )
A ．BP →－TS →＝5＋12RS →
B ．CQ →＋TP →＝5＋12TS →
C ．ES →－AP →＝5－12BQ →
D ．AT →＋BQ →＝5－12CR →
解析 (1)因为2AC →＋CB →＝0，所以A 为BC 的中点，所以2OA →
＝OC →＋OB →，故OC →＝2OA →－OB →。

(2)由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－12
＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ →＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →
，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →
，所以C 错误；AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，
5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－1
2CR →
，则SD →＝0，不
合题意，所以D 错误。

故选A 。

答案 (1)A (2)A
向量线性运算的应用技巧
1．灵活运用向量加、减法中的平行四边形法则和三角形法则。

2．充分利用平面几何知识，发掘直线的平行关系和线段的比例关系。

必要时，可添加辅助线。

【变式训练】 (1)已知三角形ABC 是等边三角形，D 为AB 的
中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0，则AE →
＝( )
A ．23A
B →－23CD → B ．23AB →＋23CD →
C ．23AB →－13C
D → D ．13AB →＋23CD →
(2)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个
三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →
＝( )
A ．a －12b
B ．12a －b
C ．a ＋12b
D ．12a ＋b
解析 (1)
由2CE →＋BE →＝0知CE →＝13CB →，BE →＝23BC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB
→＋23BC →＝AB →＋23(BD →＋DC →)＝AB →＋23⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－12AB →－CD →＝23AB →－23CD →。

(2)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB ，且CD
→
＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a 。

答案 (1)A (2)D
考点三 共线定理及应用微点小专题
方向1：共线定理
【例3】 已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝( )
A ．－12
B ．－2
C ．12
D ．2
解析 若向量a 与b 共线，则存在实数μ使得2e 1－e 2＝μ(e 1＋λe 2)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝2，λμ＝－1，解得λ＝－12。

故选A 。

答案 A
两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反，因此共线包含两种情况：同向共线或反向共线。

一般地，若a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线：
(1)当λ>0时，a 与b 同向；
(2)当λ<0时，a 与b 反向。

方向2：共线定理的应用
【例4】 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD
分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →
，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →
，则λ的值为( )
A ．29
B ．27
C ．25
D ．23
解析 因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →。

由
向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，所以AK →＝λAC
→
＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可得52λ＋2λ＝1，可得λ＝29，故选A 。

答案 A
1．共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具
解题过程中常用到结论：“P ，A ，B 三点共线”等价于“对直线
AB 外任意一点O ，总存在非零实数λ，使OP →＝λOA →＋(1－λ)OB →
成立”。

2．含参共线问题的解法
解决含有参数的共线问题时，经常要用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数的值。

【题点对应练】
1．(方向1)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →
＝
k e 1＋e 2，CD →
＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________。

解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →。

又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →
＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →
＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94。

答案 －94
2．(方向2)(2019·辽宁五校协作体模拟)在△ABC 中，点P 满足BP
→
＝2PC →
，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →
(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．83
D ．103
解析 因为BP →＝2PC →，所以AP →－AB →＝2(AC →－AP →)，所以AP →＝13AB
→
＋23AC →
，又因为AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AP →＝13m AM →＋23n AN →。

因为M ，P ，N 三点共线，所以13m ＋23n ＝1，所以m ＋2n ＝(m ＋
2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥53＋23×2 n m ·m n ＝53＋43＝3，当
且仅当⎩⎨⎧ n m ＝m n ，
13m ＋2
3n ＝1，即m ＝n ＝1时等号成立。

所以m ＋2n 的最小值为3。

故选A 。

答案 A
教师备用题
1．(配合例2使用)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →
＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →
|＝2，则△ABC 的面积等于( )
A ．3
B ．2 3
C ．33
D ．4 3
解析 由|PB →|＝|PC →
|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点为D ，
则PD ⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，
所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角
三角形，由|PB →|＝2，PD ＝1可得|BD →|＝3，则|BC →|＝23，所以
△ABC 的面积为12×2×23＝23。

故选B 。

答案 B
2．(配合例3使用)如图所示，∠BAC ＝2π3，圆M 与AB ，AC 分
别相切于点D ，E ，AD ＝1，点P 是圆M 内任意一点(含边界)，且AP →＝xAD →＋yAE →
(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为( )
A ．[1,4＋23]
B ．[4－23，4＋23]
C ．[1,2＋23]
D ．[2－3，2＋3]
解析 连接AM 并延长，线段AM 及其延长线分别交圆M 于Q ，
T 两点，连接DE ，与AM 交于点R ，显然AR →＝12AD →＋12AE →
，此时
x ＋y ＝1。

由于AD ＝AE ＝1，∠BAC ＝2π3，所以AM ＝2，DM ＝3。

因为点P 是圆M 内任意一点(含边界)，所以2－3≤AP ≤2＋3，且当A ，P ，M 三点共线时x ＋y 取得最值。

当P 位于Q 点时，
AQ ＝2－3，AR ＝12，则AQ →＝2－312
AR →＝(4－23)AR →＝(2－
3)AD →＋(2－3)AE →
，此时x ＋y 取得最小值4－23；同理可得，
当点P 位于T 点时，AT →＝(2＋3)AD →＋(2＋
3)AE →
，此时x ＋y 取
得最大值4＋23。

故选B 。

答案 B
3．(配合例4使用)已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →
)，AD →＝tAC →
，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
解析 设E 是BC 边的中点，则12(OB →＋OC →
)＝OE →。

由题意得AO →＝OE →，所以AO →＝12AE →＝14(AB →＋AC →)＝14AB →＋14t AD →
，又因为B ，O ，
D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13。

故选B 。

答案 B
共线定理的推广
共线定理：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xP A
→
＋yPB →
，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1。

推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xP A →＋yPB →
(x ，y ∈R )。

当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因
为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λP A →
＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1。

由△P AB 与△PED 相似，知必存在
一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλP A →＋mμPB →。

又PC →＝xP A →＋yPB →
(x ，y ∈R )，
所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m 。

以上过程可逆。

因此得到结论：PC →＝xP A →＋yPB →
，
则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立。

【典例1】 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包
括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →
(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________。

【解析】 当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3,4]。

【答案】 [3,4]
【典例2】 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的
延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →
，则m ＋n 的取值范围是________。

【解析】 由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →
＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →。

因为C 、O 、D 三点共
线，令OD →＝－μOC →(μ>1)。

所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →
(λ>1，μ>1)。

因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)。

【答案】 (－1,0)
【变式训练】 如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB
上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →
，则x ＋3y 的取值范围是________。

解析 OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫OB →3，如图，作OB ′→＝OB →3，则 考虑以向量OA →，OB ′→
为基底。

显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1,3]。

答案 [1,3]。