第二十六章二次函数重点难点解析

第二十六章 二次函数 重点难点解析

第一节 知识点

4、二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax 2+bx+c ，当y=0时，抛物线转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0， 即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根； 当抛物线与x 轴有一个交点时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根； 当抛物线与x 轴没有交点时，方程ax 2+bx+c=0没有实根。

3、待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地，在所给的三个条件是任意三点（或任意三对x ，y 的值），可设解析式为 y=ax 2+bx+c ，然后组成三元一次方程组求解

在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设解析式为y=a （x ﹣h ）2+k ； 在所给条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标或者已知抛物线与x 轴一交点坐标和对 称轴，则可设解析式为y=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）求解2、理解二次函数的性质

抛物线的开口方向和大小由a 的符号来确定，a ＞0时，开口向上，a ＜0时，开口向下， a 的绝对值越大，开口越大

当a ＞0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小

在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，简记：左减右增 这时，当x=﹣

b 2a

时，y 最小值=

4ac ﹣b 24a

；

反之当a ＜0时，简记左增右减 当x=﹣

b 2a

时，y 最大值=

4ac ﹣b 24a

1、二次函数图像

在画二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像时，通常先通过配方配成y=a （x+

b 2a ）2

+4ac ﹣b 24a

的形式，先确定顶点（﹣b 2a

，4ac ﹣b 24a

），然后对称找点列表并画图，

或直接代用顶点公式来求得顶点坐标

8、抛物线与x 轴两交点之间的距离

若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两交点为A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个根，故x 1+x 2=﹣b a ，x 1·x 2=

c

a AB=x 1﹣x 2=（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1·

x 2=

7、抛物线的平移简记为：正减负加替换

向x 轴正方向移动a 个单位，就记为x ﹣a ，并用它替换原来解析式中的x ；向y 轴正方向移动a 个单位，就记为y ﹣a ，并用它替换原来解析式中的y ；

向x 轴负方向移动a 个单位，就记为x+a ，并用它替换原来解析式中的x ；向y 轴负方向移动a 个单位，就记为y+a ，并用它替换原来解析式中的y 。

需要强调的是：最好不要按照上加下减，左加右减来记忆，进入高中以后，有些图像的平移就和这点有冲突，比如直角坐标系中圆的平移。6、二次函数最值问题

对于一个二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）来说，我们不能简单的记为：a ＞0时，当x=﹣

b 2a 时，y 最小值=

4ac ﹣b 24a a ＜0时，当x=﹣

b 2a

时，y 最大值=

4ac ﹣b 24a

对于一个函数来说，包含的元素有定义域和值域，要确定所求的最大值或最小值是否在函数的值域内，或者说这个最大值或最小值所对应的自变量的值是否在函数的定义域内

5、抛物线y=ax 2+bx+c 符号的确定

a 的符号由抛物线开口方向决定，a ＞0时，开口向上，a ＜0时，开口向下c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定，当c ＞0时，交于y 轴正半轴，c ＜0时，交于y 轴负半轴

b 的符号由对称轴来决定，当对称轴在y 轴左侧时，b 的符号与a 相同，当对称轴在y 轴右侧时，b 的符号和a 相反，简记：左同右异

第二节 典型题

二次函数·基础

、3个 D 、4个

3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像经过点（﹣1,2），与y 轴交于点（0,2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1,0＜x 2＜1，下列结论正确的有①4a ﹣2b+c ＜0,；②2a ﹣b ＜0；③a ＜﹣1；④b 2+8a ＞4ac

解析：（1）先以一次函数图像为基准，判断出a 、c 的符号，再来判断二次函数图像的开口和在y 轴上的交点；（2）从函数解析式看，它们在y 轴上的截距相等，易得出答案答案：D

解析：抛物线的开口大小由 a 大小来决定， a 越大，开口越小， a 越小，开口越大答案：C

2、已知一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），它们在同一直角坐标系中的大致图像是

1、已知二次函数y 1=﹣3x

2、y 2=﹣13

x 2、y 3=

32

x 2，它们的图像开口由小到大的顺序是

A 、y 1＜y 2＜y 3

B 、y 3＜y 2＜y 1

C 、y 1＜y 3＜y 2

D 、y 2＜y 3＜y 1

解析：关键是充分利用已知条件，并且灵活运用已知条件，比如第④个，可能需要用含有一个字母来表示另一个字母并替换

答案：D 由已知条件有：

开口向下⇒ a＜0

经过点（﹣1,2）⇒ a﹣b+c=2

与y轴交于点（0,2）⇒ c=2 ⇒ a=b＜0

x=1时，y＜0 ⇒ a+b+c＜0 ⇒ 2a+2＜0 a＜﹣1

x=﹣2时，y＜0 ⇒ 4a﹣2b+c＜0

2a﹣b=a＜0

b2+8a﹣4ac=a2+8a﹣8a=a2＞0 ⇒ b2+8a＞4ac

4、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，图像经过点（﹣1,2）和（1,0），且与y轴相交于负半轴，给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0,；④a+b+c=0，其中正确的序号是_____________

解析：充分利用已知条件即可解答

答案：①④

开口向上 a＞0

对称轴在y轴右侧，a，b异号 b＜0

抛物线交于y轴负半轴 c＜0

函数过点（1,0） a+b+c=0

5、如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分，图像过点（﹣3,0），对称轴x=﹣1.

给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b。其中正确结论是

A、②④

B、①④

C、②③

D、①③