第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
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√B.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元 D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
解析 因为经验回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80， 即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.
1234
x6
8
10
12
y23
5
6
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的经验回归方程y^
＝b^ x＋a^ ；
解 x ＝6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，
4
x2i ＝62＋82＋102＋122＝344，
i＝1
4
xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋14－10×8×2＝24，
i＝1
则b^ ＝8204＝0.3， a^ ＝ y －b^ x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求经验回归方程为y^ ＝0.3x－0.4.
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； 解 由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关.
随堂演练
一、一元线性回归模型与函数模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线_性__回__归__
模型，其中，Y称为 因变量 或 响应变量 ，x称为 自变量 或 解释变量 ；
a和b为模型的未知参数，a称为 截距参数，b称为 斜率 参数；e是Y与bx＋a
i＝1
b^ ＝15384－4－4×4×9×924＝2104＝0.7，a^ ＝ y －b^ x ＝4－0.7×9＝－2.3，
故经验回归方程为 y^ ＝0.7x－2.3.
(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.
n
xiyi－n x y
i＝1
参考公式：b^ ＝
，a^ ＝ y －b^ x
之间的随机 误差 .
例1 判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？ (1)某公司的销售收入和广告支出； (2)某城市写字楼的出租率和每平米月租金； (3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； (4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)； (5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； (6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； (7)正方形的面积与周长.
知识梳理
最小二乘法：我们将 y^＝b^ x＋a^称为Y关于x的 经验回归方程 ，也称经验 回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归 方程的方法叫做 最小二乘法，求得的，叫做 b^ ，a^ 的 最小二乘估计 ，
n
xi－ x yi－ y
i＝1
其中b^ ＝
，a^ ＝ y －b^ x .
1234
4.某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表： 广告费用x/万元 3 4 5 6 销售额y/万元 25 30 40 45
根据上表可得经验回归方程y^＝b^ x＋a^ 中的b^ 为 7，据此模型，若广告费用 为 10 万元，则预计销售额为___7_3_.5___万元.
(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄.
n
xiyi－n x y
i＝1
附：经验回归方程y^＝b^ x＋a^ 中，b^ ＝
，a^ ＝ y －b^ x ，其中 x ，y
n
x2i －n x 2
i＝1
为样本平均值. 解 将 x＝7 代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－
1234
解析 由题意得 x ＝3＋4＋4 5＋6＝4.5， y ＝25＋30＋4 40＋45＝35. ∵经验回归方程y^＝b^ x＋a^ 中b^ ＝7， ∴35＝7×4.5＋a^ ， 解得a^ ＝3.5， ∴y^ ＝7x＋3.5. ∴当 x＝10 时，y^＝7×10＋3.5＝73.5(万元).
1234
n
x2i －n x 2
i＝1
解 由(2)中经验回归方程可知，当 x＝9 时，y^＝0.7×9－2.3＝4，
即预测记忆力为9的同学的判断力为4.
跟踪训练 3 从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入
10
10
xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，
课堂小结
1.知识清单： (1)一元线性回归模型. (2)最小二乘法、经验回归方程的求法. 2.方法归纳：数形结合、转化化归. 3.常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归 方程致误.
求物理成绩y对数学成绩x的经验回归方程.
解 x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
5
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
i＝1
5
x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
n
n
(2)算：计算 x ， y ，x2i ，xiyi.
i＝1
i＝1
(3)代：代入公式计算a^ ，b^ 的值. (4)写：写出经验回归方程.
三、利用经验回归方程进行预测
例3 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如 表数据：
x6
8
10
12
y23
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
解 散点图如图所示.
求经验回归方程.
解 列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi 60 160 300 300 560
x2i
4
16 25 36 64
5
5
x ＝5， y ＝50，x2i ＝145，xiyi＝1 380
i＝1
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
则b^ ＝
5
＝138104－5－5×5×5×52 50＝6.5，
x2i －5 x 2
i＝1
a^ ＝ y －b^ x ＝50－6.5×5＝17.5. 故所求的经验回归方程是y^ ＝6.5x＋17.5.
跟踪训练2 某班5名学生的数学和物理成绩如表：
学生 学科
数学成绩(x) 物理成绩(y)
A B CDE
88 76 73 66 63 78 65 71 64 61
i＝1
i＝1
10
10
xiyi＝184，x2i ＝720.
i＝1
i＝1
(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的经验回归方程y^＝b^ x＋a^ ；
解 由题意知
n＝10， x ＝1ni＝n1xi＝1800＝8，
y ＝1ni＝n1yi＝2100＝2，
n
又x2i －n x 2＝720－10×82＝80，
解 (1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
跟踪训练1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a
＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收
入10亿元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
B.9.5亿元
√D.10.5亿元
第八章 §8.2 一元线性回归模型及其应用
学习目标
1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计 意义.
2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计 方法.
3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
内容索引
一、一元线性回归模型与函数模型 二、最小二乘法和经验回归方程 三、利用经验回归方程进行预测
0.4＝1.7(千元).
反思感悟 (1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以 画散点图. (2)求经验回归方程，注意运算的正确性. (3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有 一定的误差.
随堂演练
1.工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为 y^ ＝ 50＋80x，下列判断正确的是 A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
n
xi－ x 2
i＝1
注意点： (1)经验回归方程y^＝b^ x＋a^ 必过点( x ， y ).
n
xiyi－n x y
i＝1
(2)b^ 的常用公式b^ ＝
.
n
x2i －n x 2
i＝1
例2 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元) 之间有如下对应数据：
x2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
解析 因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中 b＝0.7，a＝3， 所以y＝0.7x＋3＋e. 当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e， 又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5， 所以年支出预计不会超过10.5亿元，故选D.
二、最小二乘法和经验回归方程
2.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系. 根据成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回 归方程为 y^ ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.经验回归直线过点( x ， y ) C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
√D.若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg
解析 当 x＝170 时，y^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为 58.79 kg.
1234
3.若y与x之间的成对样本数据为
x01234 y13556
则y对x的经验回归直线一定经过的点是_(_2_,_4_) _. 解析 由表中数据得 x ＝0＋1＋25＋3＋4＝2， y ＝1＋3＋55＋5＋6＝4. 因经验回归直线必过点( x ， y )，所以 y 与 x 的经验回归直线一定经过的 点是(2,4).
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以b^ ＝
5
＝25 207541－745－×57×3.723×.2627.8≈0.625，
x2i －5 x 2
i＝1
a^ ＝ y －b^ x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以所求经验回归方程是y^ ＝0.625x＋22.05.
反思感悟 求经验回归方程的步骤 (1)列：列表表示 xi，yi，x2i ，xiyi.
C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元 D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
解析 因为经验回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80， 即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.
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(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的经验回归方程y^
＝b^ x＋a^ ；
解 x ＝6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，
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x2i ＝62＋82＋102＋122＝344，
i＝1
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xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋14－10×8×2＝24，
i＝1
则b^ ＝8204＝0.3， a^ ＝ y －b^ x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求经验回归方程为y^ ＝0.3x－0.4.
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； 解 由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关.
随堂演练
一、一元线性回归模型与函数模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线_性__回__归__
模型，其中，Y称为 因变量 或 响应变量 ，x称为 自变量 或 解释变量 ；
a和b为模型的未知参数，a称为 截距参数，b称为 斜率 参数；e是Y与bx＋a
i＝1
b^ ＝15384－4－4×4×9×924＝2104＝0.7，a^ ＝ y －b^ x ＝4－0.7×9＝－2.3，
故经验回归方程为 y^ ＝0.7x－2.3.
(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.
n
xiyi－n x y
i＝1
参考公式：b^ ＝
，a^ ＝ y －b^ x
之间的随机 误差 .
例1 判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？ (1)某公司的销售收入和广告支出； (2)某城市写字楼的出租率和每平米月租金； (3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； (4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)； (5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； (6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； (7)正方形的面积与周长.
知识梳理
最小二乘法：我们将 y^＝b^ x＋a^称为Y关于x的 经验回归方程 ，也称经验 回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归 方程的方法叫做 最小二乘法，求得的，叫做 b^ ，a^ 的 最小二乘估计 ，
n
xi－ x yi－ y
i＝1
其中b^ ＝
，a^ ＝ y －b^ x .
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4.某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表： 广告费用x/万元 3 4 5 6 销售额y/万元 25 30 40 45
根据上表可得经验回归方程y^＝b^ x＋a^ 中的b^ 为 7，据此模型，若广告费用 为 10 万元，则预计销售额为___7_3_.5___万元.
(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄.
n
xiyi－n x y
i＝1
附：经验回归方程y^＝b^ x＋a^ 中，b^ ＝
，a^ ＝ y －b^ x ，其中 x ，y
n
x2i －n x 2
i＝1
为样本平均值. 解 将 x＝7 代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－
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解析 由题意得 x ＝3＋4＋4 5＋6＝4.5， y ＝25＋30＋4 40＋45＝35. ∵经验回归方程y^＝b^ x＋a^ 中b^ ＝7， ∴35＝7×4.5＋a^ ， 解得a^ ＝3.5， ∴y^ ＝7x＋3.5. ∴当 x＝10 时，y^＝7×10＋3.5＝73.5(万元).
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x2i －n x 2
i＝1
解 由(2)中经验回归方程可知，当 x＝9 时，y^＝0.7×9－2.3＝4，
即预测记忆力为9的同学的判断力为4.
跟踪训练 3 从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入
10
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xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，
课堂小结
1.知识清单： (1)一元线性回归模型. (2)最小二乘法、经验回归方程的求法. 2.方法归纳：数形结合、转化化归. 3.常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归 方程致误.
求物理成绩y对数学成绩x的经验回归方程.
解 x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
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xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
i＝1
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x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
n
n
(2)算：计算 x ， y ，x2i ，xiyi.
i＝1
i＝1
(3)代：代入公式计算a^ ，b^ 的值. (4)写：写出经验回归方程.
三、利用经验回归方程进行预测
例3 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如 表数据：
x6
8
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12
y23
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
解 散点图如图所示.
求经验回归方程.
解 列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
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xiyi 60 160 300 300 560
x2i
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x ＝5， y ＝50，x2i ＝145，xiyi＝1 380
i＝1
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xiyi－5 x y
i＝1
则b^ ＝
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＝138104－5－5×5×5×52 50＝6.5，
x2i －5 x 2
i＝1
a^ ＝ y －b^ x ＝50－6.5×5＝17.5. 故所求的经验回归方程是y^ ＝6.5x＋17.5.
跟踪训练2 某班5名学生的数学和物理成绩如表：
学生 学科
数学成绩(x) 物理成绩(y)
A B CDE
88 76 73 66 63 78 65 71 64 61
i＝1
i＝1
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xiyi＝184，x2i ＝720.
i＝1
i＝1
(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的经验回归方程y^＝b^ x＋a^ ；
解 由题意知
n＝10， x ＝1ni＝n1xi＝1800＝8，
y ＝1ni＝n1yi＝2100＝2，
n
又x2i －n x 2＝720－10×82＝80，
解 (1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
跟踪训练1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a
＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收
入10亿元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
B.9.5亿元
√D.10.5亿元
第八章 §8.2 一元线性回归模型及其应用
学习目标
1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计 意义.
2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计 方法.
3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
内容索引
一、一元线性回归模型与函数模型 二、最小二乘法和经验回归方程 三、利用经验回归方程进行预测
0.4＝1.7(千元).
反思感悟 (1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以 画散点图. (2)求经验回归方程，注意运算的正确性. (3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有 一定的误差.
随堂演练
1.工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为 y^ ＝ 50＋80x，下列判断正确的是 A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
n
xi－ x 2
i＝1
注意点： (1)经验回归方程y^＝b^ x＋a^ 必过点( x ， y ).
n
xiyi－n x y
i＝1
(2)b^ 的常用公式b^ ＝
.
n
x2i －n x 2
i＝1
例2 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元) 之间有如下对应数据：
x2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
解析 因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中 b＝0.7，a＝3， 所以y＝0.7x＋3＋e. 当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e， 又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5， 所以年支出预计不会超过10.5亿元，故选D.
二、最小二乘法和经验回归方程
2.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系. 根据成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回 归方程为 y^ ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.经验回归直线过点( x ， y ) C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
√D.若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg
解析 当 x＝170 时，y^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为 58.79 kg.
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3.若y与x之间的成对样本数据为
x01234 y13556
则y对x的经验回归直线一定经过的点是_(_2_,_4_) _. 解析 由表中数据得 x ＝0＋1＋25＋3＋4＝2， y ＝1＋3＋55＋5＋6＝4. 因经验回归直线必过点( x ， y )，所以 y 与 x 的经验回归直线一定经过的 点是(2,4).
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以b^ ＝
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＝25 207541－745－×57×3.723×.2627.8≈0.625，
x2i －5 x 2
i＝1
a^ ＝ y －b^ x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以所求经验回归方程是y^ ＝0.625x＋22.05.
反思感悟 求经验回归方程的步骤 (1)列：列表表示 xi，yi，x2i ，xiyi.