2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：2.1 变化的快慢与变化率

的斜率为2,求Δx的值.
【解析】割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1+Δx的平均变化率 y.
x
因为Δy=f(1+Δx)-f(1)
=(1+Δx)2-(1+Δx)-(12-1)=Δx+(Δx)2,
所以割线PQ的斜率k=
y x
=1+Δx.
又因为割线PQ的斜率为2,所以1+Δx=2,所以Δx=1.
类型二 求函数的瞬时变化率
(4)函数的平均变化率刻画函数y=f(x)在区间[x1,x2]上变化的快慢.
【解题策略】 求平均变化率的注意点 (1)要注意Δx,Δy的值可正,可负,但Δx≠0,Δy可为零,若函数f(x)为常值函数， 则Δy=0.
(2)求点x0附近的平均变化率可用 f (x0＋x)－f x0 表示.
x
【跟踪训练】
【解析】当t从1 s变到3 s时,
功W从W(1)=13-2+1=0(J)变到W(3)=33-2×3+1=22(J),
则平均变化率为 W（3） W（1） 22 0 11（J / s）.
31
2
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间内,这个人平均每秒做功11 J.
【题后反思】
如何理解函数的平均变化率?
2.瞬时变化率
对于函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中 (1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为平均变化率记作:
y
f
x1
f
x0
=
f (x0 x) f x0 .
x
x1 x0
x
(2)在x0点的瞬时变化率:当Δx趋于0时,平均变化率趋于函数在x0点的瞬时变化 率.
【思考】
(1)瞬时速度与平均速度有怎样的区别与联系? 提示:平均速度 s 与路程和时间都有关系,它反映的是物体在一段时间内的平均
x
(2)函数y=f(x)的平均变化率为 y = f（x1） f（x2） = f（x2 x） f（x2）.
x
x1 x2
x
(3)当Δx趋于0时, y 就趋于函数在x1处的瞬时变化率.( )
x
() ()
提示:(1)√.由平均变化率的定义可知其正确.
(2)√.由平均变化率的定义可知其正确.
(3)√.因为 y
x
= f（x1 x） f（x1）,所以当Δx趋于0时,
x
xy就趋于函数在x1处的
瞬时变化率.
2.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足
A.Δx>0
B.Δx<0
C.Δx=0
D.Δx≠0
()
【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.
3.若质点A按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为 ( )
02=) (v0-gt0)Δt-
1 g(Δt)2,所以
2
s t
=v0-gt0-
1gΔt.
2
当Δt趋于0时, st趋于v0-gt0,故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
【典例】以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体,t秒时的高度s与t的函数关系为s=
v0t-
1 2
gt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度.
【思路导引】先计算Δs,求出平均变化率 s ,求出当Δt→0时的值即瞬时速度.
t
【解析】因为Δs=v0(t0+Δt)- 1g(t0+Δt)2-
2
(
v0
来自百度文库
t
0－
1 2
gt
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
对于函数y=f(x),当x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),若记Δx=x2-x1,
Δy=f(x2)-f(x1),则
(1)函数y=f(x)的平均变化率为 y = f x2 f x1 = f（x1 x） f（x1）.
x
x2 x1
函数y=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 ( )
A.x0+Δx
B.1+Δx
C.2+Δx
D.2
【解析】选D.由题可得函数y=f(x)=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
f（x0 x） f（x0） 2（x0 x） 2x0 =2.
x
x
【补偿训练】
过曲线y=f(x)=x2-x上的两点P(1,0)和Q(1+Δx,Δy)作曲线的割线,已知割线PQ
t
运动状态;瞬时速度是物体在某一时刻的速度,是在这一时刻附近时间差Δt趋于 0时平均速度的极限值.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f(x)的平均变
化率 y = f x2 f x1 的几何意义是什么?
x
x2 x1
提示:如图所示,表示割线AB的斜率.
第二章 变化率与导数 §1 变化的快慢与变化率
必备知识·自主学习
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)自变量的改变量为x2-x1,记作Δx.
(2)函数值的改变量为f(x2)-f(x1),记作Δy.
(3)平均变化率表示为 y = f x2 f x1
x
x2 x1
(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
【思考】 (1)在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx是否可以为任意实 数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负,但不能等于0;而Δy可以为 任意实数. (2)若两个函数在区间[x1,x2]上的平均变化率都是正数,平均变化率的大小对函 数的变化有什么影响? 提示:函数在区间[x1,x2]上的平均变化率刻画函数在区间上变化的快慢,变化率 越大变化越快.
提示:(1)在Δx=x2-x1中,x2=x1+Δx,此处Δx是自变量x1的一个增量,Δx可以为正也
可以为负,但不能等于0.
(2)在y
x
=
f（x 2） x2
fx（1 x1）中,注意Δy与Δx应对应一致,且x1≠x2.
(3)函数的平均变化率可正可负,变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的,且绝
对值越大,函数值变化得越快.
A.6 B.18 C.54 D.81
【解析】选B.因为 s = 3(3 t)2 332 = 18t 3(t)2 =18+3Δt,
t
t
t
所以当Δt趋于0时, s 趋于18.
t
关键能力·合作学习
类型一 求函数的平均变化率 【典例】某人拉一车前行,他所做的功(单位:J)是时间t(单位:s)的函数,其函数 关系式为W(t)=t3-2t+1. 求t从1 s变到3 s时,功W关于时间t的平均变化率,并解释其实际意义. 【思路导引】先求ΔW=W(3)-W(1),再利用平均变化率的定义求解.