2021届河北省石家庄市二中学高三上学期期中考试数学试卷

河北省石家庄市二中学2021届 高三上学期期中考试试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单项选择题（每小题5分，共40分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、已知集合{}

2|450A x x x =--<，

{}

|10B x x =->，则A B =（ ）

A ．

(),1-∞ B ．(1,1)-

C ．

()1,5 D ．

()0,5

2、若函数sin y x =的图象与直线y x =-一个交点的坐标为

()00,x y ，则

2

20031cos 2x x π⎛⎫-++

=

⎪⎝

⎭( )

A ．1-

B ．1

C ．±1

D ．无法确定

3、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为

372πcm 的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆

的高度为（ ）

A ．3cm

B ．8cm

C ．6cm

D ．9cm 4、已知向量()

5,a m =，

()

2,2b =-，若

()a b b -⊥，则实数m =（ ）

A ．-1

B ．1

C ．2

D ．-2

5、已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n

B ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β

C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β

D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 6、函数

()()

sin f x A wx ϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中圆C 与

()

f x 的图像交于

M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）

A ．函数()f x 的最小正周期是2π

B ．函数()f x 的图像关于点4,03

π⎛⎫

⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2,36ππ⎛⎫

-- ⎪

⎝

⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图像向右平移512π个单位长度后关于原点成中心对称

7、将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯(p q ≤且p ､∈q N *)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数

()f n q p

=-，例如

()12431

f =-=，则数列

(){}3n

f 的前2020项和为（ ）

A ．101031-

B ．10103

C ．101131-

D ．1011

3

8、若函数

()()e ,01,1,0x

x f x af x x ⎧<≤⎪=⎨

+≤⎪⎩是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝

⎭ B ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,e ⎛⎤

⎥⎝⎦ D ．()0,1 二、多项选择题（每小题5分，共20

分。下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将

正确答案的序号填涂在答题卡上） 9、已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确

的是（ ） A ．数列

{}2n a 是等比数列

B ．数列1n a

⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列

C ．数列{}2log n a 是等差数列

D ．数列

{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列

10、x ∀∈R ，[

]

x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，

[]

y x =被“数学王子”高斯采用，因

此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） A ．

[]

1,0x ∀∈-，

[]1x =-

B ．x ∃∈R ，[]1

x x ≥+

C ．,x y ∀∈R ，

[][][]x y x y +≤+

D ．函数

[]()

y x x x =-∈R 的值域为

[)0,1

11、如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D .把

ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C .翻折过程中，其中正确的结论是（ ）

A ．

1DE A C

⊥；

B ．存在某个位置，使1A E BE

⊥；

C ．若

12CF FA =，则BF 的长是定值； D ．若

12CF

FA =，则四面体C EFB -

的体积最大值为

12、已知定义在(1,)+∞上的函数ln 32()1x x x f x x +-=

-，定义函数

(),()(),()f x f x m g x m f x m ≥⎧=⎨<⎩（其中m 为实数），若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m 可以为（ ） A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

第Ⅱ卷（共90分）

三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）

13、已知函数

()31,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨

>⎩，则()()8f f -=____________． 14、若直线l ：2(0,0)x y

a b a b +=>> 经过点(2,4)，则+a b 的最小值是_______．

15．已知在锐角ABC 中，

3A π

=

，

2

CA CB -=,则CA CB ⋅的取值范围是 .

16.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童

ABCD EFGH -有外接球，且6AB =，22AD =，15EH =

，EF =，平面ABCD

与平面EFGH 间的距离为1，则该刍童外接球的体积为_____.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分;第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、已知等差数列{}

n a 的公差为()d d ≠0，前n 项和为n S

，且满足_____. （从①

10105(1);

S a =+②

126

,,a a a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到

题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题） （1）求

n

a ；

（2）若1

2n n b =

，求数列{}n n a b +的前n 项和n

T .