2021届河北省石家庄市二中学高三上学期期中考试数学试卷
河北省石家庄市第二中学2020-2021年第一学期高三数学期中考试试卷及解析
石家庄二中高三数学期中考试模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则AB =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．22C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ） A ．55π B ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．3C ．2D ．27．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]428．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y+=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10 B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则3a b +=______.15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、现给出两个条件：①2c −√3b ＝2a cos B ，②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a =√3−1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，312n n a S -=. （1）求n a ；（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD＝1，AD ＝2，PB =，PA PC ==（Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20．已知定圆C ：()2218x y ++=，动圆M 过点()10B ,，且和圆C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明()2f x '≥；（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.石家庄二中高三数学期中考试模拟答案1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)AB x x =<<=．2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222i i i z i i i i i --=-====-+++-， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B..3．D 【详解】因为函数()441x x f x =-，44()()()4141xx x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =++，由勾股定理可得22225AB x y =+=，22236AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得()2222253649110x y z ++=++=，则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()224255S R R πππ==⨯=.故选：A6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()by x c a=--，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.7．B 【详解】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-， 所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754aa a-+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B .8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =． 由中位线定理可得212OM F N =． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得()()222220100021x PF x c y x c b a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭22200022c x cx a a ex a=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，42c =，所以22e =，故022OM x =，所以00222842x OM x OF ==． 因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b⋅，所以11a b<，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b +=+，故D 错误.故选：AC10．AC 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k k x k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误；选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,D 错误11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.选项A,222929201022a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确.选项B 由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a ==B 选项正确.选项C 22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2910a a ==成立， 所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误. 选项D 结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a aa a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则1144222EF PC ==⨯+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322zy x =-． 平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为14．61【详解】因为()()222223244344cos120361a b a b aa b b a a b b -⋅+=-⋅-=-︒-=,所以23830b b --=,解得3b =或13-（舍）,所以()222336961a b a b a a b b +=+=+⋅+=,故答案为15．(【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b cC ab +-===.又ABC为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又ABC 为锐角三角形，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，从而663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】等价于()1(1)ln kxkx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kx kx e e x x+>+令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x '=++，所以22111()x f x x x x-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()()kxf e f x >，所以kx e x >，所以ln xk x >，令ln ()x h x x=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e +∞.17、【解析】选择条件：①2c −√3b ＝2a cos B ， （1）由余弦定理可得2c −√3b ＝2a cos B ＝2a •a 2+c 2−b 22ac， 2分∴整理可得c 2+b 2﹣a 2=√3bc ，可得cos A =b 2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc=√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分 选择条件：②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．（1）由题意可得2b cos A =√3a cos C +√3c cos A ， 2分∴2sin B cos A =√3（sin A cos C +sin C cos A ）=√3sin （A +C ）=√3sin B ，∵sin B ≠0，∴可得cos A =√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分18．【详解】（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ①所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② 2分 ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1， 化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即 4分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －1． 6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④ 8分③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，3313n-=--10分所以， 12分19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵AB ＝BC ，PA ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ⊂平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴AC 3=，BM 12=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵PA ＝PC 3=，CM 132AC ==，∴PM 32=， ∵PB 13=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°， 7分以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0，3-，0），C （0，3，0），P （34-，0，33），D （﹣1，3，0）， 8分∴AD =（﹣1，3，0），AC =（0，3，0），AP =（34-，32，334），设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030424x y z =⎨-++=⎪⎩， 令x =n =，0，1）， 10分∴cos n ＜，n AD AD n AD⋅==-＞ 11分∴直线AD与平面APC 所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|4=． 12分20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径1r =设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MC rr =-， 2分即2MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B 为焦点，长轴长为圆. 4分 因为a =1c =，所以2221b a c =-=.于是E 的方程是2212x y +=.5分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩消去y 得到，222()20x kx m ++-=，即()222124220k x kmx m +++-=.则122412kmx x k +=-+，()121222212m y y k x x m k +=++=+， 6分弦AB 中点M 的坐标是222,1212km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>. 8分另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是112y x k =--. 点222,1212kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在此直线上， 得到2212112122m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 12分21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110x x x +>⎧∈-⎨->⎩，()()111111111f x x x x x '=-⋅-=++-+-， 2分 只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x'=+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立， 6分②当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+- -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有，令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()minln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝2lnln 2=+-， 8分令()()min 2ln ln 2h a g x g ===，()()20a h a -'==<，10分 ()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 11分综合①②③有，2a ≤. 12分22．【详解】（1）解：因为1C的离心率为3，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分联立①②，得21a =，213b =， 4分故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. 5分（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+. 7分 将y kx m =+代入椭圆2C 的方程得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 所以AB =2313k m ==+. 8分设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，9分 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅= 10分所以))1111223NAB S d AB m ∆=⋅= 3=，11分综上，NAB ∆3. 12分。
河北省石家庄市第二中学2020-2021年第一学期高三数学期中考试模拟(含答案)
石家庄二中高三数学期中考试模拟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则AB =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．22C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ） A ．55π B ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．3 C ．2 D ．27．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]428．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y+=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．(D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则3a b +=______.15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、现给出两个条件：①2c −√3b ＝2a cos B ，②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a =√3−1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，312n n a S -=. （1）求n a ，（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，132PB =，3PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20．已知定圆C ：()2218x y ++=，动圆M 过点()10B ,，且和圆C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明()2f x '≥；（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点22⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.石家庄二中高三数学期中考试模拟答案1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)AB x x =<<=．2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222i i i z i i i i i --=-====-+++-， 所以2211222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B..3．D 【详解】因为函数()441x x f x =-，44()()()4141xx x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =++，由勾股定理可得22225AB x y =+=，22236AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得()2222253649110x y z ++=++=，则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()224255S R R πππ==⨯=.故选：A6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()by x c a=--，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.7．B 【详解】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-，所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754aa a-+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B .8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =． 由中位线定理可得212OM F N =． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得()()222220100021x PF x c y x c b a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭22200022c x cx a a ex a=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，42c =，所以22e =，故022OM x =，所以00222842x OM x OF ==． 因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b⋅，所以11a b<，故A 正确； 选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b+=+，故D 错误. 故选：AC10．AC 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k k x k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误；选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,D 错误11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.选项A,222929201022a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确.选项B 由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a ==B 选项正确.选项C 22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2910a a ==时成立，所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误.选项D 结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a a a a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则1144222EF PC ==⨯+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322zy x =-．平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．14．61【详解】因为()()222223244344cos120361a b a b a a b b a a b b -⋅+=-⋅-=-︒-=,所以23830b b --=,解得3b =或13-（舍）,所以()222336961a b a ba ab b +=+=+⋅+=,故答案为15．(【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+-.所以222cos 2a b c Cab +-===.又ABC为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112sin cos 2cos 2sin 22226A A A A A A π⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又ABC 为锐角三角形，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，从而663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】等价于()1(1)ln kxkx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kx kx e e x x+>+①，令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x'=++，所以22111()x f x x x x -''=-+=，当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()()kxf e f x >，所以kx e x >，所以ln xk x >，令ln ()x h x x=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e +∞.17、【解析】选择条件：①2c −√3b ＝2a cos B ， （1）由余弦定理可得2c −√3b ＝2a cos B ＝2a •a 2+c 2−b 22ac， 2分∴整理可得c 2+b 2﹣a 2=√3bc ，可得cos A =b2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc=√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分选择条件：②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．（1）由题意可得2b cos A =√3a cos C +√3c cos A ， 2分 ∴2sin B cos A =√3（sin A cos C +sin C cos A ）=√3sin （A +C ）=√3sin B ，∵sin B ≠0，∴可得cos A =√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分 18．【详解】（1）由已知可得，2S n ，3a n ，1， ，所以2S n －1，3a n －1，1 ，n ≥2，， ， 2分 ①－②得，2(S n ，S n －1)，3a n ，3a n －1， 化简为a n ，3a n －1，n ≥2），即4分在①中，令n ＝1可得，a 1，1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ，3n －1， 6分 ，2，b n ，(n ，1)·3n －1，T n ，0·30，1·31，2·32，…，(n ，1)·3n －1， ，则3T n ，0·31，1·32，2·33，…，(n ，1)·3n ， ， 8分 ③－④得，－2T n ，31，32，33，…，3n －1，(n ，1)·3n ，3313n-=-- 10分所以， 12分19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵AB ＝BC ，P A ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ⊂平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴AC 3=，BM 12=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵P A ＝PC 3=，CM 1322AC ==，∴PM 32=， ∵PB 13=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°， 7分以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0，3-，0），C （0，3，0），P （34-，0，33），D （﹣1，3，0）， 8分∴AD =（﹣1，3，0），AC =（0，3，0），AP =（34-，32，334），设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030424x y z =⎨-++=⎪⎩， 令x =n =0，1）， 10分∴cos n ＜，n AD AD n AD⋅==-＞， 11分∴直线AD 与平面APC所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|=． 12分20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径1r =设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MCr r =-， 2分即2MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B为焦点，长轴长为圆. 4分 因为a =1c =，所以2221b a c =-=.于是E 的方程是2212x y +=. 5分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩消去y 得到，222()20x kx m ++-=，即()222124220kxkmx m +++-=.则122412kmx x k +=-+，()121222212m y y k x x m k+=++=+， 6分弦AB 中点M 的坐标是222,1212km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>. 8分另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是112y x k =--. 点222,1212kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在此直线上， 得到2212112122m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 12分21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110x x x +>⎧∈-⎨->⎩， ()()111111111f x x x x x'=-⋅-=++-+-， 2分 只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x'=+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，6分②当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+ -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有，令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()minln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝2lnln 2=+-， 8分令()()min 2ln ln 2h a g x g ===，()()20a h a -'==<，10分 ()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 11分综合①②③有，2a ≤. 12分22．【详解】（1）解：因为1C的离心率为3，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分联立①②，得21a =，213b =， 4分故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. 5分（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213xy +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+. 7分 将y kx m =+代入椭圆2C 的方程得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 所以AB =2313k m ==+. 8分设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，9分 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅= 10分所以))1111223NAB S d AB m ∆=⋅= 3=，11分综上，NAB ∆3. 12分。
2021届河北省石家庄市第二中学高三上学期第四期考试数学(理)试题Word版含答案
2021届河北省石家庄市第二中学高三上学期第四期考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合1{|,}36n M x x n Z ==+∈，1{|,}62n N x x n Z ==+∈，则（ ） A ．M N = B ．M N ⊂≠ C ．N M ⊂≠ D ．MN φ= 2.已知2a x =，则命题：“(0,),1y xy ∃∈+∞=”的否定为（ ）A ．(0,),1y xy ∀∈+∞≠B ．(,0),1y xy ∀∈-∞=C ．(0,),1y xy ∃∈+∞≠D ．(0,),1y xy ∃∈+∞=3.已知x y >，且,x y R +∈，则（ ）A ．lg lg 0x y +>B ．cos cos 0x y -<C ．11()()022x y -< D ．110x y-> 4.在坐标平面内已知向量(3,6)n =-，(1,1)x =-，(2,3)m =，则m 在n x -上的投影是（ ）A B 5.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．1π+B ．2π+ C. 33π++ D ．35π++6. ,x y 满足约束条件230260x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若z y kx =-取得最小值的最优解不唯一，则实数k 的值为（ ）A ．12或1B ．-2或12- C. 12-或1 D ．-2或1 7.已知2sin 1cos θθ=+，则tan θ=（ ）A ．43-或0 B ．43或0 C. 43- D ．438.若x A ∈的同时，还有1A x ∈，则称A 是“好搭档集合”，在集合11{,,1,2,3}32B =的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为（ ）A ．731B ．732 C. 14 D ．8319.《九章算术·商功》中有一道题这样的数学题目：“今有壍堵，下广二丈，裘一十八丈六尺，高二丈五尺，问体积几何？”这个问题的答案是（ ）【说明】（1）壍堵：古代数学名词，指两底面为直角三角形的直棱柱（2）广：东西的距离，裘：南北的距离，此处分别指直角三角形的两条直角边长（3）丈：长度单位，1丈=10尺A ．15500立方尺B ．46500立方尺 C. 23250立方尺 D ．9300立方尺10.现将函数2()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]3a 和7[4,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[,]32ππ B ．[,)63ππ C. 7[,)624ππ D ．3[,]48ππ 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，若112||||PF F F =，且2223PF F Q =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．75B ．43 C. 2 D ．10312.已知直线1l 与2l 垂直相交于点P ，且12,l l 分别与y 轴相交于点,A B ，若12,l l 正好分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x <<⎧=⎨->⎩图象上点12,P P 处的切线，则PAB ∆的面积的取值范围是（ ） A ． (1,)+∞ B ．(0,)+∞ C. (0,2) D ．(0,1)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若19a =，350a a +=，则8S = ．14.已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，且()()a b a b +⊥-，则m = ．15.已知：M 是x 轴的动点，N 是y 轴上的动点，若以MN 为直径的圆C 与直线240x y -+=相切，则圆C 周长的最小值为 ．16.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数()f x 对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()f x 在0[,)x +∞内有一个宽度为ε的通道，则称()f x 在正无穷处有永恒通道.下列函数①2()log f x x =；②sin ()x f x x=；③()f x =2()f x x =-；⑤()2x f x -=；⑥1()f x x=，其中存在正无穷处有永恒通道的函数序号是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知cos 2()3cos 1B C A ++=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积S =，b =sin sin B C 的值.18. （本小题满分12分）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且1(3)(1)4n n n S a a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n nn n n a a b a a ++=+，求数列{2}n b -的前n 项和为n S ． 19. （本小题满分12分）已知直线1:10l x y +-=与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，线段AB 的中点M 恰在直线2:20l x y -=上．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 的焦点关于直线2l 的对称点在单位圆221x y +=上，求椭圆C 截直线2l 所得的弦长是多少？20. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点E ，D 为11B C 的中点．（1）求三棱锥1D A BC -的体积；（2）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值．21. （本小题满分12分）已知：抛物线24y x =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，点A 在第四象限，且有AF FB λ=（0λ>）．（1）请用λ表示点A 的坐标；（2）点M 是抛物线在,A B 两点处的两条切线的交点，求FM AB •的值；（3）试用λ表示ABM ∆的面积S ，并求S 的最小值．22. （本小题满分12分）已知函数2211()()ln ()22f x x a a x x a =---≤．（1）若函数()f x 在2x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设22()ln g x a x x =-，若()()f x g x >对1x ∀>恒成立，求实数a 的取值范围．2021届河北省石家庄市第二中学高三上学期第四期考试数学（理）试题参考答案一、选择题：1．B;2． A;3． C;4． C;5．D;6．D;7.B;8．A;9． B ；10．C ；11.A.；12．D12. ． 答案：D 解：设P 1（x 1，lnx 1），P 2（x 2，-lnx 2）（不妨设0<x 1<1，x 2>1），则由导数的几何意义得到切线l 1和切线l 2的斜率分别为：k 1=，k 2=-，由已知得k 1k 2=-1，∴x 1x 2=1，∴x 2=，所以切线l 1的方程为y-lnx 1=(x-x 1)，切线l 2的方程为y+lnx 2=-(x-x 2)， 即y-lnx 1=-x 1(x-)， 分别令x=0得A （0，-1+lnx 1），B （0，1+lnx 1），又l 1与l 2的交点为P （，lnx 1+），∴S △PAB==，∴0＜S △PAB ＜1.故选D.二.填空题：13. -12；；15.；16. ②③⑤⑥；16：解析：①()ln f x x =，随着x 的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ε的通道，故()x f 在正无穷处无永恒通道；②sin ()x f x x=，随着x 的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ε的通道，故()x f在正无穷处有永恒通道；③()f x =x 的增大，函数值也在增大，有两条渐近线x y ±=，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ε的通道，故()x f 在正无穷处有永恒通道；④2()f x x =，随着x 的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ɛ的通道，故()x f 在正无穷处无永恒通道；⑤()x f x e -=，随着x 的增大，函数值趋近于0，趋近于x 轴，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ε的通道，故()x f 在正无穷处有永恒通道．⑥1()f x x=为反比例函数，x 轴为渐近线，故答案为：②③⑤⑥.三.解答题：17.解:(1)由已知,可得2cos 2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得c os A=错误!未找到引用源。
河北省石家庄二中2021届高三上学期期中考试模拟数学试题 Word版含答案
石家庄二中高三数学期中考试模拟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则AB =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．22C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ） A ．55π B ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．3 C ．2 D ．27．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]428．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y+=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．(D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10 B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则3a b +=______.15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、现给出两个条件：①2cb ＝2a cos B ，②（2bc ）cos Aa cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a 1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，312n n a S -=. （1）求n a ，（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，13PB =，3PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20．已知定圆C ：()2218x y ++=，动圆M 过点()10B ,，且和圆C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--．（1）证明()2f x '≥；（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.石家庄二中高三数学期中考试模拟答案1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)AB x x =<<=．2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222i i i z i i i i i --=-====-+++-， 所以2211222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B..3．D 【详解】因为函数()441x x f x =-，44()()()4141xx x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =++，由勾股定理可得22225AB x y =+=，22236AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得()2222253649110x y z++=++=，则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()224255S R R πππ==⨯=.故选：A6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()by x c a=--，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.7．B 【详解】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-， 所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754a a a-+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B .8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =． 由中位线定理可得212OM F N =． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得()()222220100021x PF x c y x c b a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭22200022c x cx a a ex a=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，42c =，所以22e =，故022OM x =，所以00222842x OM x OF ==．因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ． 9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b⋅，所以11a b<，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b+=+，故D 错误. 故选：AC10．AC 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k k x k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误；选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,D 错误11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.选项A,222929201022a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确.选项B 由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a =B 选项正确.选项C 22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2910a a ==成立， 所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误. 选项D 结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a a a a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则1144222EF PC ==⨯+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322zy x =-． 平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案14．61【详解】因为()()222223244344cos120361a b a b a a b b a a b b -⋅+=-⋅-=-︒-=,所以23830b b --=,解得3b =或13-（舍）,所以()222336961a b a ba ab b +=+=+⋅+=,故答案为15．(【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b cC ab +-===.又ABC为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又ABC 为锐角三角形，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，从而663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：(16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】等价于()1(1)ln kxkx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kx kx e e x x+>+令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x '=++，所以22111()x f x x x x-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()()kxf e f x >，所以kx e x >，所以ln xk x >，令ln ()x h x x=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e +∞.17、【解析】选择条件：①2cb ＝2a cos B ，（1）由余弦定理可得2cb ＝2a cos B ＝2a •， 2分 ∴整理可得c 2+b 2﹣a 2bc ，可得cos A ， 4分∵A ∈（0，π），∴A ． 5分 （2）∵a 1，A ，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（1）2＝b 2+c 2﹣2bc •， 7分 ∴4﹣2b 2+c 2bc ≥2bcbc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC bc sin A ，即△ABC 面积的最大值为． 10分 选择条件：②（2bc ）cos Aa cos C ．（1）由题意可得2b cos Aa cos Cc cos A ， 2分 ∴2sin B cos A （sin A cos C +sin C cos A ）sin （A +C ）sin B ，∵sin B ≠0，∴可得cos A ， 4分∵A ∈（0，π），∴A ． 5分 （2）∵a 1，A ，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（1）2＝b 2+c 2﹣2bc •， 7分 ∴4﹣2b 2+c 2bc ≥2bcbc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC bc sin A ，即△ABC 面积的最大值为． 10分 18．【详解】（1）由已知可得，2S n ，3a n ，1， ，所以2S n －1，3a n －1，1 ，n ≥2，， ， 2分 ①－②得，2(S n ，S n －1)，3a n ，3a n －1， 化简为a n ，3a n －1，n ≥2），即4分在①中，令n ＝1可得，a 1，1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ，3n －1， 6分 ，2，b n ，(n ，1)·3n －1，T n ，0·30，1·31，2·32，…，(n ，1)·3n －1， ，则3T n ，0·31，1·32，2·33，…，(n ，1)·3n ， ， 8分 ③－④得，－2T n ，31，32，33，…，3n －1，(n ，1)·3n ，3313n-=-- 10分所以， 12分19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ，∵AB ＝BC ，P A ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ⊂平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴AC =BM 12=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵P A ＝PC =CM 12AC ==，∴PM 32=， ∵PB 2=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°， 7分以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0，0），C （0，0），P （34-，0），D （﹣10）， 8分∴AD =（﹣1，0），AC =（00），AP =（34-，2，4）， 设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0304x y z =⎨-++=⎪⎩， 令x =n =0，1）， 10分∴cos n ＜，n AD AD n AD⋅==-＞， 11分∴直线AD 与平面APC 所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|4=． 12分20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径1r =设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MC r r =-， 2分即2MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B 为焦点，长轴长为圆. 4分因为a =1c =，所以2221b a c =-=.于是E 的方程是2212x y +=. 5分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩消去y 得到，222()20x kx m ++-=，即()222124220kxkmx m +++-=.则122412kmx x k +=-+，()121222212m y y k x x m k +=++=+， 6分 弦AB 中点M 的坐标是222,1212kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>. 8分另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是112y x k =--. 点222,1212kmm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭在此直线上，得到2212112122m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 12分21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110x x x +>⎧∈-⎨->⎩，()()111111111f x x x x x '=-⋅-=++-+-， 2分 只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x'=+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立， 6分②当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+ -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有，令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()min ln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝2lnln 2=-， 8分令()()min 2ln ln 2h a g x g ===，()()20a h a -'==<，10分 ()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 11分综合①②③有，2a ≤. 12分22．【详解】（1）解：因为1C的离心率为3，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分联立①②，得21a =，213b =， 4分故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. 5分（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得3y =±，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅=3=. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k xkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km km∆=-+-=，整理得22313m k =+. 7分将y kx m =+代入椭圆2C 的方程得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 8分 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=， 9分 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N到直线l 的距离为)11m d ⋅=10分 所以))1111223NAB S d AB m ∆=⋅==，11分综上，NAB ∆分。
河北省石家庄市二中第一学期高三期中考试试卷
20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX-2021学年度河北省石家庄市二中第一学期高三期中考试试卷本试卷满分100分，考试时间90分钟。
Ⅰ卷一、单项选择题1．如图（1-1）四幅图中，经纬度位置相同的两点是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④2．有关本初子午线的叙述，错误的是（）A．东西半球的分界线B．东西经的分界线C．中时区的中央经线D．经过欧洲、非洲、南极洲3．读下面四幅图，哪一幅图中甲点位置符合（）①东半球②北半球③低纬度④热带⑤我国境内等五个条件4．关于日界线的叙述，正确的是（）A．日界线东侧是东十二时区，西侧是西十二时区B．东侧是东经度，西侧是西经度C．东侧时区与西侧时区的区时钟点相同，日其相差1天D．东侧时区比西侧时区日期早一天5．东十二区和西十二区（）A．前者在东半球，后者在西半球B．前者在西半球，后者在东半球C．都在东半球D．都在西半球读图1-3，回答6—8题。
6．图中阴影部分表示的实际面积的大小是（）A．甲等于乙B．甲大于乙C．甲小于乙D．无法确定7．甲地位于乙地的（）A．西北方B．东南方C．西南方D．东北方8．某年6月，有一旅游者先后观光了甲、乙两地，他的知如下见闻可信的是（）A．甲地草木一片枯黄，乙地葱绿一片，古树参天B．甲地日出时刻比乙地早C．甲地人影朝南，乙地人影朝北D．甲地午后雷雨倾，乙地阴雨连绵，难见太阳9．9月23日，当飞机达到135°E上空时，在舷窗边的乘客看到了海上日出，这时北京时间可能是（）A．接近7时B．5时多C．不到5时D．7时多10．当伦敦为中午12时（）A．美国处于黑夜，中、日三国都处于白天B．美国全国处于白天，即中、印、日三国都处于黑夜C．中、印、日三国日期比美国早一天D．中、印、日、美四国日期相同11．下列四幅图中，甲地在乙地西北，丙地在丁地东南的是（）12．从甲地（70°N、70°E）到乙地（70°N、160°E），若不考虑地形因素，最近的走法是（）A．一直向正东方向走B．先向东南，再向东，最后向东北走C．先向东北、再向东，最后向东南走D．先向东南，再向东北走据报道，中国已初步选定郎伊尔宾（北纬70°N、东经15°附近）为“中国北极科学家探险考察站”站址。
(全优试卷)河北省石家庄二中高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
2017-2018学年第一学期期中考试高三数学（理）一．选择题（每题5分，共计60分）1. .设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则=（）A．{x|0< x<2} B．{x|} C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|x>0}2.已知z∈C，若，则z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设p：在（2，+∞）内单调递增，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为（）A．B．4 C．2 D．35.S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，等比数列{b n}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于（）A．B．﹣C．±D．无法确定6.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B． C．D．7.设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A．1 B．C．D．8. 已知周期为2的函数在区间上的解析式为．若在区间[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．（1，2）9.如图，在四棱锥C﹣AB OD中，CO⊥平面AB OD，AB∥OD，O B⊥OD，且AB=2OD=12，A D=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．10.如图是函数y=A sin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜）在区间[－] 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cos x（x∈R）的图象上的所有的点（）A．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变11.已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数是奇函数，由下列四个命题中不正确的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）是偶函数D．函数f（x）的图象关于直线对称12.已知函数f（x），若对，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜2 C．D．二．填空题（每题5分，共计20分）13.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的_________14.若直线始终平分圆M：的周长，则的最小值为_________.15. 已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为______________16.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是_____________三．解答题（共6个题，共计70分）17.（满分10分）设.(1)求的单调递增区间；(2)锐角中，角的对边分别为，若，，，求的值.18.（满分12分）已知数列的前项和，且是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.（满分12分）如图和均为等腰直角三角形，，，平面平面，平面，，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.20.（满分12分）已知函数，（）. （1）若，恒成立，求实数的取值范围；（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围.21.（满分12分）已知椭圆过点，其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.22.（满分12分）设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意，都有．期中考试答案（理科数学）一．选择题（每题5分，共计60分）1---5 CABCC; 6--10 ADACC; 11--12 DA二．填空题（每题5分，共计20分）13.丁酉年14. 16; 15.; 16.三．（共计70分）17.解析：（1）由题意知，……………………………………………….3分由可得所以函数的单调递增区间是…………………5分（2）由得，又为锐角，所以……………6分由余弦定理得：，即，.………………….8分即，而，所以………………….10分18. 解析：（1）∵a n是2与S n的等差中项，∴2a n＝2＋S n，①∴2a n－1＝2＋S n－1，(n≥2) ②.………………….2分①－②得，2a n－2a n－1＝S n－S n－1＝a n，即＝2(n≥2)．.………………….4分在①式中，令n＝1得，a1＝2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，………………………………5分∴a n＝2n. . …………………………………………………………………………………………………. 6分（2）b n＝＝．所以T n＝＋＋＋…＋＋，①则T n＝＋＋＋…＋＋，②.………………….7分①－②得，T n＝＋＋＋＋…＋－…………………8分＝＋2(＋＋＋…＋)－＝＋2×－＝－．.………………….10分所以T n＝3－．.………………….12分19.解析：（1）证明：设的中点为，连结，因为为等腰直角三角形，，所以，又，所以平面.………………….2分因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面又平面，所以.所以可确定唯一确定的平面. .………………….4分又平面,. .…………………5分（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，. .………………….6分设平面的法向量，则，即，令，得，.…………………8分设平面的法向量，则，即，令，得， (10)分设二面角平面角为，则， (11)分所以二面角的余弦值为．.………………….12分20. （1）由题意，得的定义域为，. ….………………….2分，∴、随的变化情况如下表：所以. ….…………………4分在上恒成立，∴.….………………….5分（2）函数在上有两个零点，等价于方程在上有两个解.化简，得. ….………………….6分设. 则，，、随的变化情况如下表:………8分且，，，. ….………………….10分所以，当时，在上有两个解.故实数的取值范围是.….………………….12分21`.答案：解析（1）设椭圆的焦距为，由题意可得：解得，，，故椭圆方程为：.…………….4分（2）由椭圆的对称性，此定点必在轴上，…………….6分设定点，直线的方程：，由可得，又直线与椭圆有且只有一个公共点，故，即.……………8分由得，同理得.…………….9分则，，则以线段为直径的圆恒过定点或，即是椭圆的两个焦点.…….12分22.解析：（1），定义域为，．………………………………………………2分①当时，，故函数在上单调递减；②当时，令，得综上所述，当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．…………………………5分（2）当时，由第一问可知，函数在上单调递减，显然，，故，所以函数在上单调递减，………………7分因为对任意，都有，所以．所以，即，……………9分所以，即，所以，即，所以．…………………………………………12分。
河北省石家庄二中2021-2022学年高一上学期期中数学试题(含解析)
石家庄二中教育集团2021-2022学年度高一年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则()A B =R ð（）A.()2,2- B.()2,4- C.()2,4 D.(]2,2-2.命题“x R ∀∈，都有210x x -+>”的否定是（）A.x R ∃∈，使得210x x -+>B.x R ∀∈，都有210x x -+≤C.x R ∃∈，使得210x x -+< D.x R ∃∈，使得210x x -+≤3.已知a R ∈，则“2a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b > B.若a b >，则b a a b<C.若0a b <<，则22a ab b << D.若22ac bc >，则a b>5.若不等式210ax bx ++≥的解集为[1,2]-，则a b +=（）A.0B.2C.2- D.46.已知0x >，0y >，且28x y xy +=，则x y +的最小值是（）A.10B.15C.18D.237.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为（）A.34-B.34C.35-D.358.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为A.(],1-∞ B.[)1,+∞ C.(][],01,2-∞ D.[][)0,12,+∞ 二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分（全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分）．9.对于任意的,a b ∈R ，下列不等式一定成立的是（）A.222a b ab+≥ B.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C.2b a a b+≥ D.2a b +≤10.已知定义在R 上的偶函数()f x 是[)0,+∞上的减函数，若()()321f a f a ≥-，则实数a 的可能取值为（）A.2- B.1- C.2D.1511.关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是（）A.()f x 的定义域为)](1,00,1⎡-⋃⎣B.()f x 的值域为()1,1-C.()f x 在定义域上是增函数D.()f x 的图象关于y 轴对称12.设函数{}2()min |2|,,|2|f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者，下列说法正确的有（）A.函数()f x 为偶函数B.不等式()1f x <的解集为()3,3-C.当[1,)x ∈+∞时，(2)()f x f x -≤ D.当[4,4]x ∈-时，|()2|()f x f x -≥三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．14.若34,23x y <<<<，则xy的取值范围是___________．15.若关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0,2]上有解，则实数m 的取值范围是__________．16.已知函数24()||,()6f x x a g x x ax x=-+=-+，若对于任意的实数1x 和2x ，当1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题：共70分．（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设全集U =R ，集合{}{03},2A x x B x a x a =<<=≤≤+．（1）当2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．18.已知函数2()1f x mx mx =--．（1）若12m =，解不等式：()0f x <；（2）若m R ∈，解关于x 的不等式：2()(1)221f x m x x m <-+--．19.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-+.（l ）求函数()f x 的解析式；（2）求关于m 的不等式()()2110f m f m-+-≥的解集.20.受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年()n N *∈的材料费、维修费、人工工资等共为2552n n ⎛⎫+⎪⎝⎭万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．21.已知关于x 不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M ．（1）当M 为空集时，求225()1m m f m m ++=+的最小值；（2）当M 不为空集，且[1,4]M ⊆时，求实数m 的取值范围．22.已知函数()24ax bf x x +=+为定义在[]22-,的奇函数，且满足1(1)5f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并利用定义加以证明；（3）若对[]2,2x ∀∈-，都有()2124f x m am ≤-+对[]1,1a ∀∈-恒成立，求实数m 的取值范围．石家庄二中教育集团2021-2022学年度高一年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则()A B =R ð（）A.()2,2- B.()2,4- C.()2,4 D.(]2,2-【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交集、补集运算,即可求解.【详解】解：{}2R B x x =<ð，(){}22R A B x x ⋂=-<<ð,故选:A2.命题“x R ∀∈，都有210x x -+>”的否定是（）A.x R ∃∈，使得210x x -+>B.x R ∀∈，都有210x x -+≤C.x R ∃∈，使得210x x -+<D.x R ∃∈，使得210x x -+≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“2,10x R x x ∀∈-+>”是全称命题，所以其否定为特称命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：D3.已知a R ∈，则“2a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式得出a 的范围，再由充分必要条件的定义得出结论即可.【详解】由2a a >，得1a >或0a <，所以“2a >”是“1a >或0a <”的子集，所以“2a >”能推出“1a >或0a <”，“1a >或0a <”不能推出“2a >”，所以“2a >”是2a a >的充分不必要条件，故选：A.4.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b > B.若a b >，则b a a b<C.若0a b <<，则22a ab b << D.若22ac bc >，则a b>【答案】D 【解析】【分析】取特殊值可判断ABC 不正确，由不等式性质可知D 正确.【详解】若1,2a b ==-，则22a b >不正确，故A 错误；若1,2a b =-=-，则12,2b a a b ==，故B 不正确；若2,1a b =-=-，则24a =，21b =，故C 不正确；若22ac bc >，则20c >，由不等式性质知a b >成立，故D 正确.故选：D5.若不等式210ax bx ++≥的解集为[1,2]-，则a b +=（）A.0B.2C.2- D.4【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系求得,a b ．【详解】由题意0a <，210ax bx ++=的解是1,2-，所以12112b a a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．0a b +=．故选：A ．6.已知0x >，0y >，且28x y xy +=，则x y +的最小值是（）A.10B.15C.18D.23【答案】C 【解析】【分析】把已知式变形为821x y+=，然后由基本不等式求得最小值．【详解】由x >0，y >0，且280x y xy +-=，得821x y+=，所以8282()(101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当82y xx y=，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值是18．故选：C ．7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为（）A.34-B.34C.35-D.35【答案】A 【解析】【分析】分别讨论0a >和0a <时，1a -，1a +与1的大小关系，进而可得()1f a -与()1f a +的表达式，解方程即可求解.【详解】因为0a ≠，当0a >时，111a a -<<+，此时()()11f a f a -=+等价于()()2112a a a a -+=-+-，所以213a a -=--，解得：32a =-，不满足0a >，舍去；当0a <时，111a a +<<-，此时()()11f a f a -=+等价于()()2112a a a a ++=---，所以231a a +=--，解得：34a =-，符合题意，综上可得：34a =-，故选：A ．8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为A.(],1-∞ B.[)1,+∞ C.(][],01,2-∞ D.[][)0,12,+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由题意得知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得出该函数在(),1-∞上单调递减，()()20f f =，由()()10x f x -≥可得出()100x f x -≤⎧⎨≤⎩或()100x f x ->⎧⎨≥⎩，解出即可.【详解】()()2f x f x =- ，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，该函数图象经过点()2,0，则()20f =，且有()00f =，对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可设12x x >，则120x x ->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得出该函数在(),1-∞上单调递减，当10x -≤时，即1x ≤时，则有()()00f x f ≤=，由于函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，由()()0f x f ≤，得0x ≥，此时01x ≤≤；当10x ->时，即1x >时，则有()()02f x f ≥=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由()()2f x f ≥，得2x ≥，此时2x ≥.综上所述，不等式()()10x f x -≥的解集为[][)0,12,+∞ .故选：D.【点睛】本题考查函数不等式的解法，同时也涉及了单调性与对称性的应用，本题的关键就是要对1x -的符号进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分（全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分）．9.对于任意的,a b ∈R ，下列不等式一定成立的是（）A.222a b ab+≥ B.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C.2b a a b+≥ D.2a b +≤【答案】ABD【解析】【分析】根据做差比较法可判断AB ，取特殊值可判断C ，根据不等式的性质可判断D.【详解】因为2222()0a b ab a b +-=-≥，所以222a b ab +≥成立，故A 正确；因为22()4()0a b ab a b +-=-≥，所以24()ab a b +≤，即22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故B 正确；当1,1a b =-=时，22b aa b+=-<，故C 不正确；因为222a b ab +≥，所以222()()2a b a b +≥+，即222((22a b a b ++≥，所以||2a b +≤2a b +≤，故D 正确.故选：ABD10.已知定义在R 上的偶函数()f x 是[)0,+∞上的减函数，若()()321f a f a ≥-，则实数a 的可能取值为（）A.2- B.1- C.2D.15【答案】BD 【解析】【分析】利用函数()f x 为偶函数，可得()()321fa f a ≥-，且()f x 在[)0,+∞上的减函数，可得321a a ≤-解不等式即可求解.【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =，所以不等式()()321f a f a ≥-等价于()()321fa f a ≥-因为()f x 是[)0,+∞上的减函数，故321a a ≤-，即229(21)a a ≤-，可得25410a a +-≤，即(51)(1)0a a -+≤解得：115a -≤≤，结合选项可得实数a 的可能取值为：1-或15，故选：BD.11.关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是（）A.()f x 的定义域为)](1,00,1⎡-⋃⎣B.()f x 的值域为()1,1-C.()f x 在定义域上是增函数D.()f x 的图象关于y 轴对称【答案】AB【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解.【详解】对于A 中，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得[)(]1,00,1x ∈- 即为函数的定义域，故A 正确；对于B 中，由定义域可化简函数得()101x f x x -≤<=<≤⎪⎩，当[)1,0x ∈-时，()[)0,1f x ∈；当(]0,1x ∈时，()(]1,0f z ∈﹣，所以()()1,1f x ∈-，故B 正确；对于C 中，因为13132222f f ⎛⎫⎛⎫-=>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不是增函数，故C 错误；对于D 中，因为定义域关于原点对称，且对任意(]0,1x ∈，()()f x f x ==--，所以函数是奇函数，故D 错误，故选：AB .12.设函数{}2()min |2|,,|2|f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者，下列说法正确的有（）A.函数()f x 为偶函数 B.不等式()1f x <的解集为()3,3-C.当[1,)x ∈+∞时，(2)()f x f x -≤ D.当[4,4]x ∈-时，|()2|()f x f x -≥【答案】AC【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，易判断AB ，然后分类讨论确定(2)f x -、()f x 和()2f x -的表达式，判断CD ．【详解】作出函数()f x 的图象，如图实线部分．由图可知其图象关于y 轴对称，函数为偶函数，A 正确；(1)(1)1f f -==，再计算得(3)(3)1f f -==，()1f x <解集为(3,1)(1,1)(1,3)--- ，B 错；12x ≤≤时，(2)()f x f x -≤即为2(2)2x x -≤-，即(1)(2)0x x --≤，成立23x <≤时，(2)()f x f x -≤即为2(2)2x x -≤-，即(2)(3)0x x --≤，成立，34x <≤时，(2)()f x f x -≤即为42x x -≤-，即3x ≥，成立，4x >时，22x ->，2x x -<，由()f x 在[1,)+∞上递增，得(2)()f x f x -≤成立．C 正确；由B 选项知33x -≤≤时，0()1f x ≤≤，()2()f x f x -≥成立，34x <≤时，()2224f x x x -=--=-，()2f x x =-，不等式|()2|()f x f x -≥为42x x -≥-，3x ≤，不成立．D 错误．故选：AC ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．【答案】-1【解析】【分析】令213x +=再代入()2212f x x x +=-求解即可.【详解】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.14.若34,23x y <<<<，则x y的取值范围是___________．【答案】(1,2)【解析】【分析】作出不等式组3423x y <<⎧⎨<<⎩所表示的平面区域，设x k y =，即100y k x -=-，结合斜率公式，即可求解.【详解】作出不等式组3423x y <<⎧⎨<<⎩所表示的平面区域，如图所示，可得(3,3),(4,2)A B ，设x k y =，即100y k x -=-，表示可行域内点(,)P x y 与原点(0,0)O 连线的斜率，当取点A 时，可得1OA k =，即k 的最小值为1；当取点B 时，可得12OB k =，即k 的最大值为2，即x y的取值范围是(1,2).故答案为：(1,2).15.若关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0,2]上有解，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到21x m x ≤-+，求出21x x+-在给定区间的最大值，进而可求出结果.【详解】因为(]0,2x ∈，所以，由210x mx ++≤得21x m x ≤-+，因为关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0，2]上有解，所以只需m 小于等于21x x+-的最大值，又2212x x x x-≤-=-+，当且仅当1x =时，等号成立，所以2m ≤-，即实数m 的取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.16.已知函数24()||,()6f x x a g x x ax x=-+=-+，若对于任意的实数1x 和2x ，当1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】5[,2]2-【解析】【分析】原问题可转化为()()max min f x g x ≤，再根据a 与区间[1,4]分类讨论，求出对应范围内min ()g x ，()max f x ,建立不等式求解即可.【详解】因为1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，所以()()max min f x g x ≤，当(1,4)a ∈，则1(,2)22a ∈，所以2min ()()624a a g x g ==-，此时4,44()4,1x a a x x f x x a x a x x a x ⎧+-≤≤⎪⎪=-+=⎨⎪-+≤<⎪⎩，当4a x ≤≤时，最大值必为5a -与4a中较大者，当1x a <≤时，最大值为3a +因为35a a +≥-，所以()max 4max{3,}f x a a =+，而当(1,4)a ∈时，243430a a a a a+-+-=>，所以()max 3f x a =+所以只需2364a a +≤-，解得62a -≤≤，而(1,4)a ∈，故(1,2]a ∈当1a ≤时，122a ≤，所以min 125()()242a g x g ==-，此时44()||f x x a x a x x =-+=+-，当1x =或4x =时，()max 5f x a =-，所以只需25542a a -≤-，解得52a ≥-，由1a ≤，故5[,1]2a ∈-当4a ≥时，22a ≥，所以min ()(2)102g x g a ==-，此时44()||f x x a a x x x=-+=-+，函数在[1,4]上递减，当1x =时，()max 3f x a =+，所以只需3102a a +≤-，解得73a ≤，又4a ≥，故无解.综上，5[,2]2a ∈-故答案为：5,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：共70分．（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设全集U =R ，集合{}{03},2A x x B x a x a =<<=≤≤+．（1）当2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|04A B x x =<≤ ，(){}|02U A B x x ⋂=<<ð（2）01a <<【解析】【分析】（1）先求出B ，进而根据交并补的定义即可解得答案；（2）根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，进而确定出两个集合的端点位置，最后解得答案.【小问1详解】2a =时，{}24B x x =≤≤，则{}|04A B x x =<≤ ，{|2U B x x =<ð或4}x >，所以(){}|02U A B x x ⋂=<<ð.【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，所以00123a a a >⎧⇒<<⎨+<⎩.18.已知函数2()1f x mx mx =--．（1）若12m =，解不等式：()0f x <；（2）若m R ∈，解关于x 的不等式：2()(1)221f x m x x m <-+--．【答案】（1）()12-，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当12m =时，不等式化为()()2+10x x -<，由此可求得不等式的解集；（2）原不等式等价于()()20x m x --<，分2m <，2m =，>2m 讨论求解可得不等式的解集.【小问1详解】解：当12m =时，211()122f x x x =--，不等式()0f x <化为2111022x x --<，即220x x --<，即()()2+10x x -<，解得12x -<<，所以不等式的解集为：()12-，.【小问2详解】解：因为2()1f x mx mx =--，所以不等式化为221(1)221mx mx m x x m --<-+--，即()2+2+20x m x m -<，即()()20x m x --<，所以，当2m <时，不等式的解集为()2m ，；当2m =时，不等式的解集为∅；当>2m 时，不等式的解集为()2m ，；19.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-+.（l ）求函数()f x 的解析式；（2）求关于m 的不等式()()2110f m f m -+-≥的解集.【答案】（1）()()()1,301,03x x x f x x x x ⎧--≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩；（2）{}[]21,2- .【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质得出()00f =，设[)3,0x ∈-，可得出(]0,3x -∈，求出()f x -的表达式，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =在区间[)3,0-上的解析式，综合可得出函数()y f x =的解析式；（2）作出函数()y f x =的图象，可知函数()y f x =是定义在区间[]3,3-上的减函数，由()()2110f m f m -+-≥可得出()()211f m f m -≤-，然后利用函数()y f x =的单调性和定义域列出关于实数m 的不等式组，解出即可.【详解】（1） 函数()y f x =是定义在[]3,3-上的奇函数，则()00f =，满足()()1f x x x =-+.设[)3,0x ∈-，则(]0,3x -∈，所以，()()()()11f x x x x x -=--⋅-+=--，此时，()()()1f x f x x x =--=-.综上所述，()()()1,301,03x x x f x x x x ⎧--≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩；（2）作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =在定义域[]3,3-上既为奇函数，又为减函数，由()()2110f m f m -+-≥可得()()()22111f m f m f m -≥--=-，所以2211313313m m m m ⎧-≥-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得2m =-或12m ≤≤，因此，关于m 的不等式()()2110f m f m -+-≥的解集为{}[]21,2- .【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性与单调性解不等式，考查运算求解能力，属于中等题.20.受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年()n N*∈的材料费、维修费、人工工资等共为2552n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．【答案】（1）25()50902f n n n =-+-，从第3年开始盈利.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意写出()f n 关于n 的函数式，由()0f n >求得n 的范围，再由n ∈+N ，即可得答案；（2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出()f n n的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论．【小问1详解】由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-．由()0f n >，得25509002n n -+->，即220360n n -+<，解得218n <<．由于n ∈+N ，故设备企业从第3年开始盈利；【小问2详解】方案一：总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时()160max f n =．故方案一总利润16010170+=，此时10n =；方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯= ，当且仅当6n =时等号成立．故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =．比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．21.已知关于x 不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M ．（1）当M 为空集时，求225()1m m f m m ++=+的最小值；（2）当M 不为空集，且[1,4]M ⊆时，求实数m 的取值范围．【答案】（1）4（2）182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据M 为空集，利用判别式法求得m 的范围，然后由2254()111m m f m m m m ++==++++，利用基本不等式求解；（2）根据M 不为空集，由[1,4]M ⊆，利用根的分布求解.【小问1详解】解：因为M 为空集，所以()24420m m ∆=-+<，即220m m --<，解得12m -<<，所以实数m 的取值范围是()1,2-，则2254()1411m m f m m m m ++==++≥++，当且仅当411m m +=+，即1m =时，等号成立，所以225()1m m f m m ++=+的最小值是4；【小问2详解】当M 不为空集，由[1,4]M ⊆，得：()()0104014f f m ∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎩，即()2442012201682014m m m m m m m ⎧-+≥⎪-++≥⎪⎨-++≥⎪⎪≤≤⎩，解得1827m ≤≤，所以实数m 的取值范围是182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22.已知函数()24ax b f x x +=+为定义在[]22-,的奇函数，且满足1(1)5f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并利用定义加以证明；（3）若对[]2,2x ∀∈-，都有()2124f x m am ≤-+对[]1,1a ∀∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()24xf x x =+（2）增函数，证明见解析（3）(]{}[),202,-∞-+∞U U .【解析】【分析】（1）根据()00f =，()115f =求出1a =，0b =，再检验是否满足奇函数的定义即得解；（2）函数()f x 在[]22-,为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；（3）分析得到220m am -≥对任意的[]1,1a ∈-恒成立，解不等式组222020m m m m ⎧+≥⎨-≥⎩即得解.【小问1详解】因为函数2()4ax b f x x +=+是定义在[]22-,上的奇函数，可得()00f =，即04b =，解得：0b =，又因为()114551a a f ===+，所以1a =，综上所述1a =，0b =，所以()24x f x x =+，因为定义域[]22-,关于原点对称，所以()()2244x x f x f x x x --==-=-++，所以()24x f x x =+为定义在[2,2]-的奇函数，所以()24x f x x =+.【小问2详解】函数()f x 在[]22-,为单调递增函数，证明如下：任取1222x x -≤<≤，则()()()()22121212121222221212444444x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()122121211222221212444444x x x x x x x x x x x x x x -----==++++因为1222x x -≤<≤，所以210x x ->，1240x x -<，可得()()()()211222124044x x x x x x --<++，即()()12f x f x <，故()24x f x x =+在[]22-,上为增函数.【小问3详解】由（2）可知，函数()y f x =在区间[]22-,上单调递增，则()()max 124f x f ==，由于()2124f x m am ≤-+对[]2,2x ∀∈-恒成立，则211244m am -+≥，即220m am -≥对任意的[]1,1a ∈-恒成立，构造函数()22g a am m =-+，其中[]1,1a ∈-，所以()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即222020m m m m ⎧+≥⎨-≥⎩，解得：2m ≤-或0m =或2m ≥，所以实数m 的取值范围是(]{}[),202,-∞-+∞U U .。
2021届河北省石家庄市第二中学高三上学期第四期考试数学(文)试题Word版含答案
2021届河北省石家庄市第二中学高三上学期第四期考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．{3} 2.已知复数112m iz i -=+-（i 是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ．33.某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的男生人数是（ ） A ． 6 B ． 10 C ． 12 D ． 154.下列选项错误的是（ ）A ．命题：“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C. 若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”D ．若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题5.给出一个算法的程序框图（如图所示），该程序框图的功能是（ ） A ．求输出,,a b c 三数的最大数 B ．求输出,,a b c 三数的最小数 C.将,,a b c 按从小到大排列 D ．将,,a b c 按从大到小排列6.满足不等式24120m m --≤的实数m 使关于x 的一元二次方程2240x x m -+=有实数根的概率是（ ）A ．12 B ．13 C. 14 D ．157.将函数()3sin cos 22x x f x =-的图象向右平移23π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调减区间是（ ）A ．(,)24ππ-- B ．(,)2ππ C. (,)42ππ- D ．3(,2)2ππ 8.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 263π+B ．83π+ C. 243π+ D ．43π+9.在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且224()S a b c =+-，则sin()4C π+=（ ） A ．1 B ．22 D 3 10.已知直线x y a +=与圆226x y +=交于,A B 两不同点，O 是坐标原点，向量,OA OB 满足0OA OB •=，则实数a 的值是（ ）A ．2±B ．6 C. 2 D ．-211.若函数()y f x =图象上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件||||x y >，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是（ ）A ．()sin f x x =B ．()ln(1)f x x =+ C. ()1xf x e =- D ．()tan f x x =12.若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1(0,)3 B ．15(,]34 C. 13(,]32 D ．53(,]42第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 0sin(150)-的值为 ．14.已知(,1)a m =，(2,1)b =-，若//()a b a -，则实数m = ．15.已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的3倍，则a 的值是 ．16.已知点F 是抛物线C ：24y x =的焦点，点B 在抛物线C 上，直线:540l kx y k +--=恒过定点A ，当ABF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1020a =，15240S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令112n nn n n a a b a a ++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是平行四边形，CD =1BC AC ==，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ； （2）证明：平面PAD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．19. （本小题满分12分）一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示，将月用电量落入该区间的频率作为概率，若每月的用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元，若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元，记X （单位：度，25325X ≤≤）为该用户下个月的用电量，T （单位：元）为下个月所缴纳的电费．（1）估计该用户的月电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）将T 表示为X 的函数；（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费[37.5,115)T ∈的概率．20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3，且过点3．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠，与该椭圆交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率依次为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21. （本小题满分12分） 设函数21()ln 22f x x ax bx =+-．（1）当3,1a b =-=时，求函数()f x 的最大值； （2）令211()()2(3)22a F x f x ax bx x x =-++≤≤，其图像上存在一点00(,)P x y ，使此处切线的斜率12k ≤，求实数a 的取值范围； （3）当10,2a b ==-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的直角坐标方程为22y ax =，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（1）写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若2||||||PA PB AB •=，求a 的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-．（1）是否存在实数a ，使得对于任意的[1,5]x ∈-，()2f x <恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）当2a =且02t ≤<时，解关于x 的不等式()(2)f x t f x +≥+．2021届河北省石家庄市第二中学高三上学期第四期考试数学（文）试题参考答案一．选择题：1.B.2.B.3.A.4. D ．5.A.6.A ．7.A ．8.C ．9.C ．10.B ．11.A ．12.B.12.题提示：设)1()(,53)(23+=+-=x a x h x x x g ，由存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，即存在唯一的正整数0x ，使)(x g 在)(x h 的下方，02002632<'<<>'≥∴-=')x (g x ;)x (g ,x ,x x )x (g 时时 ，结合图像可得⎩⎨⎧≤>)3()3()2()2(g h g h 解得4531≤<a 二．填空题：13. 21-; 14. 2-; 15. 97; 16. 2 16题过点B 作抛物线C 的准线1x =-的垂线，垂足为点1B ，因为周长L AF AB BF =++142AB BB =++，所以当A ，B ，1B 三点共线时ABF ∆的周长最小，此时点B 的坐标为(4,4)，ABF∆的面积11422S =⨯⨯=． 三．解答题：17.（1）设首项1a ，公差为d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+240214151520911d a d a 解得21==d a 所以18.连接BD 交AC 于O ，连接MO.在平行四边形ABCD 中，O 为AC 的中点，∴O 为BD 的中点.又M 为PD 的中点， （1）MO PB || ,ACM PB ACM MO 平面平面⊄⊂,,//PB ∴平面ACM ；．．．．．．．．．．．．．．3分（2）︒=∠∴===90,1,2DAC AC AD DC ，,,ABCD PO AC AD 平面又⊥⊥，AD PO ⊥∴所以AD ⊥平面PAC ,平面PAD ⊥平面PAC ；．．．．．．．．．7分（3）取DO 的中点N ，连接MN ，AN 可得PO MN ||，121==PO MN 由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， 所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角． 在Rt DAO ∆中，1AD =，12AO =，所以52DO =．从而1524AN DO ==．在Rt ANM ∆中，145tan 554MN MAN AN ∠===．即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455．．．．．．．．．．．12分19.（1）月用电量的平均值16106.030012.025022.02003.015018.010012.050=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X 度．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T ．．．．．．．．．．．．．．7分（3）)225,75[)115,5.37[∈⇔∈X T ，7.050)0044.00060.00036.0())225,75[())115,5.37[(=⨯++=∈=∈X P T P ．．．．．．．．．．．．．．12分 20.试题解析：（1）依题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+22222231431c b a a cb a 错误!未找到引用源。
河北省2021年高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
河北省2021年高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）直线x+（b﹣2）y+1=0与直线a2x+（b+2）y+3=0互相垂直，a，b∈R，则ab的最大值为（）A . 1B . 2C . 4D . 52. （2分） (2019高三上·江西月考) 下列判断正确的是（）A . “若则”的逆否命题为真命题B . ，总有C . 二次函数在R上恒大于0的充要条件是D . 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为13. （2分） (2018高二上·延边月考) 设其中满足，若的最大值是9，则的最小值为（）A . 1B .C .D . 64. （2分）给出以下三个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好；③对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；④统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，则|r|的值越接近1，相关性越弱．其中正确的说法是（）A . ③④B . ②③C . ①③D . ②④5. （2分）设全集，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·普宁月考) 函数是（）A . 周期为的奇函数B . 周期为的偶函数C . 周期为的奇函数D . 周期为的偶函数7. （2分）设A={x∈Z||x|≤3}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B中元素的个数是（）A . 5B . 4C . 3D . 无数个8. （2分）复数的的共轭复数是（）A .B . -C . iD . -i9. （2分）(2018·南充模拟) 如图,正方形中，点，分别是，的中点，那么（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设a=log30.3，b=20.3 ， c=0.32则（）A . c＞b＞aB . c＞a＞bC . b＞c＞aD . b＞a＞c11. （2分） (2019高三上·上高月考) 若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·长春期末) 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A . 4B . 4C . 4D . 8二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一上·华安月考) 定义在R上的奇函数满足：当，则________．14. （1分） (2017高二上·南昌月考) 设有两个命题， :关于的不等式（ ,且）的解集是； :函数的定义域为 .如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是________.15. （2分） (2020高三上·台州期末) 有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则对应的排法有________种； ________；16. （1分）(2019·青浦模拟) 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________三、解答题 (共4题；共40分)17. （10分） (2016高二上·洛阳期中) 已知f（x）= （m∈R，x＞m）．（1）若f（x）+m≥0恒成立，求m的取值范围；（2）若f（x）的最小值为6，求m的值．18. （10分） (2017高一下·定西期中) 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率．19. （10分） (2017高一下·新余期末) 大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：月份7891011销售单价x元99.51010.511销售量y件1110865（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？参考公式：回归直线方程 =b +a，其中b= ．参考数据： =392， =502.5．20. （10分） (2018高三上·荆门月考) 随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。
河北省石家庄二中2021届高三数学上学期第三次联考试题 理(含解析).doc
河北省石家庄二中2021届高三数学上学期第三次联考试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. (,1]-∞-B. (,1)-∞-C. [1,)+∞D.(1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据A B ⊆，得到1a ≤-，即可求解实数a 的取值范围，得到答案。
【详解】由题意，集合{}11A x x =-<<，{}{}0B x x a x x a =->=， 因为A B ⊆，则1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-。
故选：A 。
【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2.己知命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝为（ ）A. ,21000nn N ∀∈< B. ,21000nn N ∀∉< C. ,21000nn N ∀∈≤ D. ,21000nn N ∀∉≤【答案】C 【解析】 【分析】先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】p ⌝:,21000nn N ∀∈≤.故选C.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 解题方法:先改量词,再否定结论. 3.己知复数z 满足2019(1)i z i-=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A.12C. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据i 的幂运算性质可得2019i i =-，再由复数的除法运算可求得z ，从而求出||z . 【详解】2019(1)i i z i-=-=，则(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以，||2z ==. 所以本题答案为B.【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A. 24里 B. 48里C. 96里D. 192里【答案】D 【解析】 【分析】每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得. 【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =,因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,所以12345378111111()()()()22222a =+++++ 6378378192111()2(1)264112===--- , 所以第一天走了192里. 故选D【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式中的基本量的计算,属于基础题. 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）A. b a c <<B. c a b <<C. c b a <<D.a cb <<【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据偶函数化简()()0.10.122f f ---=，然后比较2，3log 7，0.12-的大小，比较,,a b c 的大小关系.【详解】若()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则函数在()0,∞+是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足()()f x f x -=， 即()()0.10.122f f ---=，0.1021-<<，31log 72<<()f x 在()0,∞+单调递增，()()()0.132log 72f f f -∴<<，即c b a <<. 故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.6.若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ） A.3 B. 3 C. 3-D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于y 轴对称列式,再求最小值.【详解】将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后,得到函数sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-,因为其图像关于y 轴对称,所以262k ππϕπ-=+,k Z ∈,即23k ππϕ=+,k Z ∈, 因为0ϕ>,所以0k =时,ϕ取得最小值3π,此时tan tan 33πϕ==. 故选B .【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题. 7.已知函数21()cos 4f x x x =+的图象在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】 求得1()sin 2f x x x '=-，得到函数在点()t f t （，）处的切线的斜率为1()sin 2k f t t t ='=-，得出函数()1sin 2t g t t -=，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。
河北省石家庄市二中高三级第一学期期中试卷
20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX-2021学年度河北省石家庄市二中高三年级第一学期期中试卷第Ⅰ卷（选择题共48分）1．如图所示，吊车M 和磅秤N 共重500N ，物体G=300N ，当装置处于静止时，磅砰的示数是 （ ） A ．500N B ．400NC ．300ND ．100N2．下列说法正确的（ ） A ．一质点受两个力作用且处于平衡状态，这两个力在同一段时间内的冲量一定相同B ．一质点受两个力作用且处于平衡状态，这两个力在同一段时间内做的功或者都为0，或都大小相等符号相反C ．在同样时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反D ．在同样时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，正负号也不一定相反3．物体在受到几个恒定外力作用下作匀速直线运动，某时刻突然撤掉其中的某个力，则物体不可能作的运动是 （ ） A ．匀速圆周运动B ．匀加速直线运动C ．匀减速直线运动D ．匀变速曲线运动4．有两个行星A 和B （A 和B 之间的相互作用不计），它们各有一颗靠近其表面的卫星，若这两颗卫星的周期相等，由此可知 （ ） A ．行星A 、B 表面重力加速度之比等于它们的半径之比 B ．两颗卫星的线速度一定相等 C ．行星A 、B 的质量一定相等 D ．行星A 、B 的密度一定相等5．如图所示，质量为M 的木块静止在光滑水平面上。
两颗相同的子弹，以相同的水平速率先后射入木块中。
第一颗子弹从左从左边射入木块，钻入木块的深度是d 1；它和木块相对静止后，第二颗子弹从右边射入木块，钻入木块的深度是d 2。
设两颗子弹与木块间的作用力大小相同。
当两颗子弹都和木块相对静止时，下列说法中正确的是 （ ）A ．最终木块是静止的，21d d =B ．最终木块向右运动，21d d >C ．最终木块是静止的，21d d <D ．最终木块向左运动，21d d =6．如图所示，在倾角为α的固定光滑斜面上，有一用绳子拴着的长木板，木板上站着一个人，已知人的质量是木板质量的2倍。
石家庄二中2021届高三数学上学期期中模拟试题
河北省石家庄二中2021届高三数学上学期期中模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
其中1—8题为单选题，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得3分。
1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28x B x R =∈<，则A B =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞ 2．设11iz i=-+（i 为虚数单位),则||z =（ ）A ．1B ．22C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观,形缺数时难入微，数形结合百般好,隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441xx f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ）A ．53-或35B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34-5．蹴鞠(如图所示），又名蹴球,蹴圆，筑球,踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴,蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ,满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ） A ．55πB ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．3C ．2D ．27．若存在唯一的正整数0x ,使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立,则实数a 的取值范围是 ( ）A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]422216432x y +=的左、8．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：右焦点,过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．11b b a a +>+C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称,则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则( )A ．29a a 的最大值为10B ．29aa +的最大值为210C ．222911a a +的最大值为15D ．4429aa +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ )A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄二中2021届高三上学期期中模拟数学试题(西校区) Word版含答案
石家庄二中西校区高三年级数学期中模拟试题（考试时间：120分钟，满分：150 分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角α的终边过点P （﹣4，3），则sin α+cos α的值是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，4}C ．{2，4}D ．{2，3，4}3．设复数z 满足|z ﹣3+4i |＝2，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ） A ．（x ﹣3）2+（y +4）2＝2 B ．（x +3）2+（y +4）2＝2 C ．（x +3）2+（y ﹣4）2＝4 D ．（x ﹣3）2+（y +4）2＝44．设26，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a5．已知正方形ABCD 的边长为3，（ ）A ．3B ．﹣3C ．6D ．﹣6 6．函数y的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知O ，A ，B ，C 为平面α内的四点，其中A ，B ，C 三点共线，点O 在直线AB 外，且满足．其中x ＞0，y ＞0，则x +8y 的最小值为（ ）A ．21B ．25C ．27D ．348．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为b ．高都为a （a ＞b ）的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目班级 姓名 学号要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知双曲线，则不因θ改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程10．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A．渐近线方程为4x±3y＝0B．渐近线方程为3x±4y＝0C ．离心率为D ．离心率为11．已知函数f（x）＝（a sin x+cos x）cos x的图象的一条对称轴为x，则下列结论中正确的是（）A．f（x）是最小正周期为π的奇函数B．（，0）是f（x）图象的一个对称中心C．f（x）在[，]上单调递增D．先将函数y＝2sin2x 图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数f（x）的图象12．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点，则下列结论正确的是（）A．点M存在无数个位置满足CM⊥AD1B．若正方体的棱长为1，三棱锥B﹣C1MD 的体积最大值为C．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30°D．点M存在无数个位置满足到直线AD和直线C1D1的距离相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．14．已知点A，B，C，D均在球O的球面上，AB＝BC＝1，AC，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是，则球O的表面积为．15．动圆E与圆M（x﹣1）+y2外切，并与直线x相切，则动圆圆心E的轨迹方程为，过点P（1，2）作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线AB的斜，率为．16．设f（x）是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x）在区间[﹣n，n]（其中n∈N*）上的零点的个数的最小值为a n，则a n＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，___，求△ABC的周长L和面积S．。
2021届河北省石家庄市二中学高三上学期期中考试物理试卷(解析版)
河北省石家庄市二中学2021届高三上学期期中考试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共6页100分。
考试时间90分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
）1. 一质量m ＝1.0kg 的物块静止在粗糙水平面上，在t ＝0时，对物块施加一恒力F ，恒力F 大小为25N ，方向与水平成37°斜向右下方，物块在恒力F 的作用下由静止开始运动。
物块运动过程中还受到水平方向的空气阻力，其大小随速度的增大而增大。
物块速度为0时，空气阻力也为零，物块的加速度a 与时间t 的关系如图乙所示。
已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g 取10m/s 2。
以下判断正确的是（ ）A. 物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4B. 2s 到4s 内合外力对物块做的功为8.75JC. t ＝3s 时物块受到的空气阻力为7.5ND. 前4s 内合外力对物块做的功为0『答案』A『详解』A ．t =0时刻，v =0，空气阻力为零，根据牛顿第二定律()1cos37sin37F mg F ma μ︒-+︒=代入数据解得μ=0.4故A 正确；B ．a -t 图线围成的面积表示速度的变化量，根据几何关系得，0-2s 内图线围成的面积为15，则0-2s 内的速度变化量为15m/s ，2s 末的速度为15m/s ，同理当t =4s 时，加速度a =0，图线与时间轴围成的面积为20，则速度为20m/s ，根据动能定理可得2s 到4s 内合外力对物块做的功为2222421111=120115=87.5J 2222W mv mv =-⨯⨯-⨯⨯合 故B 错误；C ．根据几何关系得，t =3s 时图线围成的面积为18.75，可知t =3s 时，速度为18.75m/s ，当t =4s 时，加速度a =0，图线与时间轴围成的面积为20，则速度为20m/s ，有()cos37sin370F mg F kv μ︒-+︒-=解得k =0.5则3s 时空气阻力9.375N f =故C 错误；D ．当t =4s 时，加速度a =0，图线与时间轴围成的面积为20，则速度为20m/s ，根据动能定理22411=120200J 22W mv =⨯⨯=合 故D 错误。
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河北省石家庄市二中学2021届 高三上学期期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分，共40分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、已知集合{}2|450A x x x =--<，{}|10B x x =->，则A B =（ ）A ．(),1-∞ B ．(1,1)-C ．()1,5 D ．()0,52、若函数sin y x =的图象与直线y x =-一个交点的坐标为()00,x y ，则220031cos 2x x π⎛⎫-++=⎪⎝⎭( )A ．1-B ．1C ．±1D ．无法确定3、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为372πcm 的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm 4、已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-25、已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 6、函数()()sin f x A wx ϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图像交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图像向右平移512π个单位长度后关于原点成中心对称7、将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯(p q ≤且p ､∈q N *)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p=-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为（ ）A ．101031-B ．10103C ．101131-D ．101138、若函数()()e ,01,1,0xx f x af x x ⎧<≤⎪=⎨+≤⎪⎩是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．()0,1 二、多项选择题（每小题5分，共20分。
下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 9、已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列10、x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） A ．[]1,0x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∃∈R ，[]1x x ≥+C ．,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+D ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,111、如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D .把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C .翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A ．1DE A C⊥；B ．存在某个位置，使1A E BE⊥；C ．若12CF FA =，则BF 的长是定值； D ．若12CFFA =，则四面体C EFB -的体积最大值为12、已知定义在(1,)+∞上的函数ln 32()1x x x f x x +-=-，定义函数(),()(),()f x f x m g x m f x m ≥⎧=⎨<⎩（其中m 为实数），若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m 可以为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13、已知函数()31,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，则()()8f f -=____________． 14、若直线l ：2(0,0)x ya b a b +=>> 经过点(2,4)，则+a b 的最小值是_______．15．已知在锐角ABC 中，3A π=，2CA CB -=,则CA CB ⋅的取值范围是 .16.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且6AB =，22AD =，15EH =，EF =，平面ABCD与平面EFGH 间的距离为1，则该刍童外接球的体积为_____.四、解答题：（本大题共6小题，共70分;第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、已知等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，前n 项和为n S，且满足_____. （从①10105(1);S a =+②126,,a a a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题） （1）求na ；（2）若12n n b =，求数列{}n n a b +的前n 项和nT .18、在ABC 中，角、、AB C 所对的边分别为a b c 、、， 2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC 为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值．19、如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点.（1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值.20、为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过810时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%.（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天) （2）若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.（注：301.02lg ≈）21、在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD ∆为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求二面角P EC D --的余弦值；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使异面直线DM 和PE 所成角的余弦值为？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由.22、已知函数()2214ln3xaf x xx+=++-，()4lng x x=．（1）求证：()211f x ax⎛⎫≥-+⎪⎝⎭；（2）用{}max,p q表示p，q中的最大值，记()()(){}max,h x f x g x=，讨论函数()h x零点的个数．——★ 参 考 答 案 ★——一、 单项选择题1-4 C B C B 6-8 DBAC 二、多项选择题9. AC 10. CD 11. ACD 12.AB 三、填空题13、2 14、3+ 15、（0，,12） 16、36π. 四、解答题17、解：（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =；②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d++=+，即13d a =﹔③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=；选择①②、①③、②③条件组合，均得13a =、3d =，即32n a n =-﹔（2）由（I ）得3221n n n n a b -=++，则231111[147(32)]()2222n n T n =++++-+++++11(1)(132)221212n n n -+-=+-232122n n n -+=-， 即232122n nn n T -+=- 18、 解：（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc +-⋅+=；化简得：222b c bc +=,所以()2b c -=即b c =， 故ABC 为等腰三角形．（2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠， 1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，得2229b c +=， 由（1）可知b c =，得b =解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===， 2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，2AE ∴===，b AC ∴====．19、解：（1）如图，连接AM 、MC ，因为AB AD =，M 是BD 的中点，所以AM BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，所以AM MC ⊥．因为ABD △为边长为2的正三角形，所以AM = 又2AC =，所以由勾股定理可得1MC ==，又1MC MD MB ===，MCB MBC ∴∠=∠，MCD MDC ∠=∠，180MBC MDC BCD ∠+∠+∠=，则2180BCD ∠=，90BCD ∴∠=，所以BCD 为直角三角形，且BC CD ⊥，又M 、N 分别是BD 、CD 的中点，所以//MN BC ，所以MN CD ⊥；（2）如图，连接AN 、PN ，因为三棱锥C APD -与三棱锥P ACD -为同一个三棱锥，且ACD △的面积为定值， 所以当三棱锥P ACD -的体积最大时，则平面PCD ⊥平面ACD ，AC AD =，则PC PD =，N 为CD 的中点，则PN CD ⊥，平面PCD ⊥平面ACD ，平面PCD平面ACD CD =，PN ⊂平面PCD ，PN ∴⊥平面ACD ，此时点P 到平面ACD的距离为2PN AN ===，在ACD △中，因为2AC AD ==，1CD =，所以11122ACD S CD AN =⋅=⨯=△， 所以P ACD V -的最大值为115338ACD S PN ⋅==△， 所以三棱锥C APD -的体积的最大值为58．20、解：（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为12t t a -=，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式18210t -≤.∴82log 10127.58t ≤+≈，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为na ，则()912198%a =-，且()1012198%n na a +=-.∴()1012198%nn n a -=-∴()3103132198%a ⨯-=-，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为3232100.∴到第38天小白鼠体内这种癌细胞个数为32878322 1.11010100⨯≈⨯<，∴第38天小白鼠仍然存活.21、解：设O 是AD 中点，PAD ∆为正三角形，则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥面ABCD ，又∵2AD AE ==，60DAB ∠=︒，所以ADE 为正三角形，OE AD ⊥， 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则((),PE ()(),1,0,0C D --，于是(2,3,3),(0,3,PC PE=--=，DP =，(1)设平面PEC 的法向量为1(,,)n x y z =，由120,0PC n PE n ⋅=⋅=得一个法向量为1(0,1,1)n =，平面EDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =，设二面角PEC D --的平面角为θ，则12|cos |cos ,n n θ=<>== 由图知为θ锐角，所以，二面角P EC D --的余弦值为.(2) 设(01)PM PC λλ=，则(2,)PM λ=-，(12,3,33),(0,3,DM DP PM PE λλλ=+=--=，所以cos ,8||6DM PE DM PE DM PE ⋅<>===‖解得13λ=或23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点.22、解：（1）设()2221114ln 314ln 1x x a a x x x x x ϕ+⎛⎫⎛⎫=++----=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其定义域为()0,∞+，()()2241114x xx x x ϕ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'．当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>．故()x ϕ在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点，即()()()min10x x ϕϕϕ≥==，故()211f x ax ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭成立．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()3232211422x x x x x f x x +-=--='，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>；所以()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，即()()min 1f x f a==．（ⅰ）若0a =，()()()()22131213x x x x x x x f g -++=-=--．当01x <<时，()()f xg x >；当1x =时，()()f xg x =；当1x >时，()()f xg x <，所以()()(),01,,1,f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩此时，()h x 只有一个零点1x =；（ⅱ）若0a >，()()()()2131x x f x g x ax -+-=-+， 当01x <≤时，()()f xg x >，则()()0h x f x a =≥>；当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，则()0h x >．此时()h x 没有零点；（ⅲ）若0a <，当01x <<时，根据（1）知，()211f x ax ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭．而01<<，所以)2110f a >-+=，又()()min 10f x f a ==<，所以()f x 在()0,1上只有一个零点0x，从而一定存在()0,1c x ∈，使得()()f c g c =，即22130c a c ++-=，即2213c a c +-=． 当x c >时，()()222212121320x x c x c c x a x x c g x f cx c x x +++-+⎛⎫=--+=-+=+> ⎪⎝⎭-，所以()()g x f x >，从而()()(),0,,f x x c h x g x x c ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩从而()h x 在()0,c 上有一个零点0x ，在(),c +∞上有一个零点1．此时，当0a <时，()h x 有两个零点．综上，当0a =时，()h x 有一个零点；当0a >时，()h x 没有零点；当0a <时，()h x 有两个零点．。