【精准解析】黑龙江省大庆实验中学2020届高三下学期复习考试数学(文)试题

大庆实验中学2019—2020学年度第二学期高三年级
复学考试（数学）（文） 第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B 【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．
详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--=
==--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2.设全集U =R ，(2)
{|ln(2)},{|2
1}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ）
A. {|1}x x ≥
B. {|12}x x ≤<
C. {}1
D. {}0,1
【答案】D 【解析】 【分析】
由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.
【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2)
{|2
1}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤
所以02x ≤≤,故{}{0,1
},|02A B x x ==≤≤ , 所以{}0,1A
B =.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是
3
4
，则此椭圆的标准方程是（ ） A. 221167x y +=
B. 221716
x y +=
C. 2216428
x y +=
D.
22
12864
x y += 【答案】A 【解析】 【分析】
由椭圆的长轴长及离心率的值，可求出,,a b c ，进而结合椭圆的焦点在x 轴上，可得出椭圆的标准方程.
【
详解】由题意知，28a =，∴4a =，又3
4
e =
，∴3c =，则2227b a c =-=. 因为椭圆的焦点在x 轴上时，所以椭圆方程为221167
x y
+=.
故选：A .
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）
A.
116
B.
1124
C.
1324
D.
516
【答案】B
【分析】
根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.
【详解】图①小球落在阴影部分的概率为：212213
21446
4P πππ-⋅⋅=⋅=
⋅ 图②小球落在阴影部分的概率：21
3
P =
∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为31131111111632424⎛
⎫⎛⎫--⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
本题正确选项：B
【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用.
5.长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与
AE 所成角的余弦值为（ ）
A.
10
B.
3010
C.
215
D.
310
【答案】B 【解析】
建立坐标系如图所示．
则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，1BC ＝(－1,0,2)，AE ＝(－1，2,1)． cos 〈1BC ，AE 〉＝
30所以异面直线BC 1与AE 30 6.设2
(sin 56cos56)2
a =
-，cos50cos128cos 40cos38b =+，cos80c =,则a b c ，，的大小关系是（ ）
A. a b c >>
B. b a c >>
C. c a b >>
D. a c b >>
【答案】B 【解析】
2
56cos56)sin(5645)sin11a =
-=-= ，
cos(9040)cos(9038)cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos 78sin12
b =-++=-+== ，cos80sin10
c == ，
sin12sin11sin10,b a c >>∴>> ，选B.
7.已知A ，B 是圆22
4+=O: x y 上的两个动点，||2AB =，12
33
OC OA OB =
+，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（ ）. 3 B. 3 C. 2
D. 3
【答案】D 【解析】 【分析】
判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB 为基底表示出OM ，由此求得OC OM ⋅的值. 【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线
段
AB
的中点，所以
11
22
OM OA OB
=+.所以
OC OM
⋅12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫
+ ⎪
⎝ ⎪⎭⎝⎭22111
623
OA OA OB OB =+⋅⋅+
214
22cos603
323
=+⨯⨯⨯+=.
故选：D
【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
8.已知可导函数()
f x的定义域为(,0)
-∞，其导函数()
f x
'满足()2()1
xf x f x
'->，则不等式2
(2020)(2020)(1)0
f x x f
+-+-<的解集为（）
A. (,2021)
-∞- B. (2021,0)
- C. (2021,2020)
-- D. (2020,0)
-
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得当(,0)
x∈-∞时，2()2()
x f x xf x x
-
'<，进而构造函数
2
()
()
f x
g x
x
=，可判断()
g x 在(,0)
-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)
g x g
+<-，利用()
g x的单调性，
可求出不等式的解集.
【详解】由题意知，当(,0)
x∈-∞时，()2()1
xf x f x
'->，可得2()2()
x f x xf x x
-
'<，
设2()()f x g x x =，则24
3()2()1
()0x f x xf x g x x x
-=<''<，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减. 不等式2
(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，等价于
2
(2020)
(1)(1)(2020)f x f g x +<-=-+，
即为(2020)(1)g x g +<-，所以20201
20200x x +>-⎧⎨+<⎩
，解得20212020x -<<-.
故选：C.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()
()f x g x x
=是解决本题的关键，属于中档题.
9.已知函数()cos 33a x x f x ππ⎛⎫⎛
⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移
12
π
个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x ≤的解集是（ ）
A. ()5,124k k k Z ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦ B. ()3,12
4k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C. ()37,84k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦
D. ()52,262k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可．
【详解】因为()11cos sin 22a x x x x f x ⎛⎫⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
13
cos sin 2222a x a x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为偶函数，所以()()f x f x -=，0=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移
12
π
个单位长度后，得到曲线
2cos 2()2cos 2126y x x π
π⎛
⎫=-+
=-+ ⎪⎝
⎭， 则()2cos 26g x x π⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
.由()1g x ≤，得2cos 216x π⎛⎫
-+
≤ ⎪⎝
⎭，得1cos 262x π⎛
⎫+≥- ⎪⎝⎭
，则()22222363k x k k Z πππππ-
≤+≤+∈，得()5124
x k k k Z πππ
π≤≤+∈-. 不等式()1g x ≤的解集是()5,124k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦, 故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.
10.已知函数()ln f x ax x b =+在(1,1)处的
切线方程过(3,5)，则函数()f x 的最小值为（ ）
A. 2
1e
-
B. 1
C. 2e
-
D. 11e
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由()f x 过点(1,1)，可求出b ，进而对()f x 求导，可得到()f x 在(1,1)处的切线方程，再结合切线方程过(3,5)，可求出a 的值，从而可得到()f x 的表达式，进而判断单调性，可求出最小值.
【详解】∵()ln f x ax x b =+过点(1,1)，∴()1ln11f a b =+=，解得1b =， ∵()()ln 1f x a x '=+，
∴()()1ln11f a a '=+=，则()f x 在(1,1)处的切线方程为()11y a x =-+， ∵()11y a x =-+过(3,5)，∴2a =，
∴()2ln 1f x x x =+，∴()()2ln 1f x x '=+， 令0f
x
得1e x =，∴()f x 在10e ⎛⎫
⎪⎝⎭，上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
∴
()
f x的最小值为
1212
ln11
e e e e
f
⎛⎫
=+=-
⎪
⎝⎭
.
故选：A.
【点睛】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查利用函数的单调性求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
11.若实数,x y满足约束条件
340
340
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则32
z x y
=+的最大值是（）
A. 1
- B. 1
C. 10
D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2
z x y经过平面区域的点(2,2)时，
=3+2
z x y取最大值
max 322210
z=⨯+⨯=.
【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
12.设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为A ，右焦点为(c,0)F ，弦PQ 过F 且垂直于x
轴，过点P 、点Q 分别作为直线AQ 、AP 的垂直，两垂线交于点B ，若B 到直线PQ 的距离小于2()a c +，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C. 2)
D.
)+∞
【答案】B 【解析】
【详解】由题意,B 在x 轴上,22
,,,b b
P c Q c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2
AQ b a k a c
=-， ∴22
BP
a ac
k b
-=-， 直线BQ
的
方程为()222
b a ac
y x c a b
--=--， 令y =0,可得()
4
2
b x
c a a c =+-， ∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c )，
∴()
()4
2
2b a c a a c -<+-， ∴b <
，
∴c <， ∴e < ∵e >1， ∴1e <<
故选B.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，
要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在大题卡相应位置上. 13.甲、乙两支足球队进行一场比赛，,,A B C 三位球迷赛前在一起聊天.A 说：“甲队一定获胜.”B 说：“甲队不可能输.”C 说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 【答案】甲胜 【解析】 【分析】
分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
【详解】若甲队获胜，则A ，B 判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜. 故答案为：甲胜
【点睛】本题考查了推理和证明中的合情推理，考查了学生推理证明，综合分析的能力，属于基础题.
14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a
满足
3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是___.
【答案】( 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性以及在区间(],0-∞上的单调性确定出()0,∞+上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出a 的范围即可.
【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减，
又因为(
)(3log 2a
f f >
，所以3log 20
a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩，
所以31log 2220a a ⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以3
1log 20
a a ⎧<⎪⎨
⎪>⎩
，所以(a ∈.
故答案为：(.
【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.
15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.=
，则222
a c
b a
c +-的取值范围为______.
【答案】()
()0,2
【解析】 【分析】
把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2
B π
≠
，由余弦定理可得结论．
=
，所以()
()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，
所以()
2sin cos cos A B C C B =，
即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A >，所以cos 2
C =
， 则6
C π
=
，因为cos 0B ≠，所以50,
,226B πππ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
而2222cos a c b B ac +-=，故()
()2220,2a c b ac
+-∈.
故答案为：()
()0,2．
【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.
16.如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥
M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积．若1(),2,2f M x y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值是_____
【答案】642-【解析】 【分析】
由垂直关系可知PC ⊥平面PAB ，进而求得三棱锥P ABC -体积，通过体积桥可得
421x y +=；利用
()1142a a x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
可构造出符合基本不等式的形式，得到14242a
a a x y
+≥++，由恒成立关系可得关于a 的不等式，解不等式求得最小值. 【详解】
,,PA PB PC 两两垂直 PC ∴⊥平面PAB
1113211332P ABC C PAB PAB V V S PC --∆∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=，即1
212
x y ++= 421x y ∴+=
()11242442424224242a a y ax y ax
x y a a a a x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=+++≥++⋅=++ ⎪⎝⎭（当且仅当
24y ax
x y
=，即2y ax =时取等号） 又18a
x y +≥恒成立，42428a a ∴++≥，解得：642a ≥- ∴正实数a 的最小值为642-【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“1”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.
17.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点.
（1）求证：//PA 平面MDB ； （2）求点P 到平面BDM 的距离. 【答案】（1）详见解析；（2）15
5
【解析】 【分析】
（1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，易知//MO PA ，进而可证明//PA 平面MDB ； （2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，易知PE ⊥平面ABCD ，由//PA 平面MDB ，可知
111
223
P BDM A BDM M ABD P ABD BAD V V V V S PE ----∆====⨯⋅，设P 到平面BDM 的距离为h ，
则111
323
BMD BAD S h S PE ∆∆⋅=⨯⋅，进而由题中关系，分别求出,,BMD BAD S S PE ∆∆，即可求出P 到平面BDM 的距离.
【详解】（1）连结AC ，交BD 于O ，则O 为AC 中点，连接MO ， ∵M 为PC 的中点，∴//MO PA ，
又MO ⊂平面MDB ，PA ⊄平面MDB ，∴//PA 平面MDB .
（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，可知E 为AD 的中点， ∵侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂侧面PAD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，
连结BE ，∵AD PE ⊥，AD PB ⊥，PE
PB P =，
∴AD ⊥平面PEB ，而EB ⊂平面PEB ， ∴AD EB ⊥， 在直角ABE △中，1
cos 2
EA EAB AB ∠=
=，∴60EAB ∠=︒，∴2BD =，3BE = 连结CE ，因为1DE =，2CD =，120CDE ∠=︒，由余弦定理得
2222cos120CE ED CD ED CD =+-⋅︒，计算可得7CE =
在直角PCE ∆中，223710PC PE EC =+=+
=，
又因为PCD ∆为等腰三角形，M 为PC 的中点，所以
2
2
2
11064222DM PD PC ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因
22336PB PE EB =+=+=，2BC =，10PC =，所以222
PB BC PC +=，
所以90PBC ∠=︒，
又因为M 是PC 的中点，所以10BM =
， 所以222BM MD BD +=，即90BMD ∠=︒， 所以115
24
BMD S BM MD ∆=
⋅=
，13
22322
BAD
S =
⨯⨯⨯=， 因为//PA 平面MDB ，所以
111111
33223232
P BDM A BDM M ABD P ABD BAD V V V V S PE ----∆====⨯⋅=⨯⨯⨯=，
设P 到平面BDM 的距离为h ，则1
13
2BMD S h ∆⋅=
，则321215
55h =⨯=， 故P 到平面BDM 的距离为
215
.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离，考查三棱椎体积的计算，利用等体积法是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
18.已知数列{}n a 满足112
a =，121n
n n a a a +=+()*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：222
2
12312
n a a a a ++++<.
【答案】（1）12n a n
=；（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）由121n n n a a a +=
+，两边取倒数可得1112n n a a +-=，可知数列1
n
a 为等差数列，从而可求出
1
n
a 的表达式，进而可得到n a 的表达式； （2）利用放缩法，可得2
211111441n a n n n ⎛⎫=
⋅<- ⎪-⎝⎭
（2n ≥，*N n ∈），进而可证明结论. 【详解】（1）由112a =
，121n
n n
a a a +=+，可知0n a >，
对121
n n n a a a +=
+的等号两端同时取倒数得
111
2n n a a +=+， 则
1112n n a a +-=，所以数列1
n a 为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n
n a =， 所以1
2n a n
=
. （2）依题可知2
2
2111111111244141n a n n
n n n n ⎛⎫⎛⎫==⋅<⋅⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2n ≥，*N n ∈）
， 所以
222
2
12311111
11144223
1n a a a a n n ⎛⎫+++
+<
+-+-++
- ⎪-⎝⎭1111114424n n
⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 故222
2
12312
n a a a a +++
+<.
【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用放缩法证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.
19.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽数之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了明天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，求事件“,m n 均不小于25”的概率； （2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5填中
的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，ˆˆˆy
bx a =+. （参考公式：1
1
222
1
1
()()
()n n
i i
i
i
i i n
n
i i i i x y nxy x x y y b x nx x x ====---=
=
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-）. 【答案】（1）3()10P A =（2）5
32
y x =- 【解析】
分析：（1）用数组m n （，）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m n ，的所有取值情况，分析可得m n ，均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；
（2）根据所给的数据，先做出x y ，的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程． 详解：
（1）所有的基本事件为()()()()23,25,23,30,23,26,23,16;()()25,30,25,26，
()25,16;()()30,26,30,16;()26,16，共10个．
设“,m n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为()25,30，()25,26，
()30,26，共3个．
故由古典概型公式得()3
10
P A =
. （2）由数据得，另3天的平均数12,27,3972x y xy ===，
33
2
211
3432,977,434i i i i i x x y x =====∑∑，所以977972543443ˆ22b
-==-，
5271232ˆa
=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ5
32
y x =-. 点睛：本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．
20.已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,则1F AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=； （2）1F AB ∆的面积取得最大值3, 1x =.
【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可；
（2）很明显直线l 的斜率不为零，设出直线方程的x 轴截距形式，得到面积函数，结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.
【详解】（1）设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>
因为1
2
c e a =
=，1a c -= 所以2,1a c == 即椭圆C ：22
143
x y += .
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设 120,0y y ><
由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，
由221
14
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，
则1212
2269
,3434
m y y y y m m --+==++ ， ∴(
)1
121212F AB
S F F y y ∆=-=
令21m t +=，可知1t ≥则221m t =-，
∴121212
1313F AB t S t t t
∆=
+
++
令()13f t t t =+，则()21
3t f t =-＇，
当1t ≥时，()>0f t ＇，即()f t 在区间[
)1,+∞上单调递增， ∴()()14f t f ≥=，∴13F AB S ∆≤，
即当1,0t m ==时，1F AB ∆的面积取得最大值3， 此时直线的方程为1x =．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21.已知a 为常数，函数2()ln .f x x ax x =+-
（1）过坐标原点作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x ； （2）令()
()x f x F x e
=
，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）01x =；（2）2a ≤. 【解析】 【分析】
（1）求出0(),()f x f x ''，求出切线的点斜式方程，原点坐标代入，得到关于0x 的方程，求解
即可；（2）22
1
(2)ln ln (),(),
x x
x a x a x
x ax x x F x F x e e -+-+-++-'==设21
()(2)ln h x x a x a x x
=-+-+-+，由()h x '在(0,1)是减函数，()(1)2h x h a ''≥=-，通过
研究2a -的正负可判断()h x 的单调性，进而可得函数()F x 的单调性，可求参数的取值范围. 【详解】（1）1
()2f x x a x
'
=+-
，
所以切线的斜率为000
1()2f x x a x '=+-
， 切线方程为0000
1
(2)()y y x a x x x -=+-
-。

将(0,0)O 代入得22
00000ln 21x ax x x ax +-=+-，
即2
00ln 10x x +-=，显然01x =是方程的解，
又
2ln 1y x x =+-在(0,)+∞上是增函数，
∴方程2
00ln 10x x +-=只有唯一解，故01x =；
（2）22
1
(2)ln ln (),(),
x x
x a x a x
x ax x x F x F x e e -+-+-++-'== 设2
1()(2)ln h x x a x a x x
=-+-+-+，
211
()22h x x a x x
'=-+++-在(0,1]上是减函数，
()(1)2h x h a '∴≥=-，
当20a -≥时，即2a ≤时，()0h x '
≥，
()h x ∴在(0,1)是增函数，又(1)0h =，
()0≤h x 在(0,1]恒成立，即()0F x '≤在(0,1]恒成立，
()F x ∴在(0,1]上单调递减函数，所以2a ≤，满足题意，
当20a -<时，即2a >，0,()x h x '→→+∞，
函数()h x '
有唯一的零点，设为0x ，则()h x 在0(0,)x 上单调递增， 在0(),1x 单调递减，又
0(1)0,()0h h x =∴>，
又()0,()a h e h x -<∴在(0,1)内唯一零点m ， 当(0,)x m ∈时，()0,()0h x F x '<<， 当(,1)x m ∈时，()0,()0h x F x '>>，
从而()F x 在(0,)m 单调递减，在(,1)m 单调递增，
不合题意，
所以a 的取值范围是2a ≤.
【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、零点，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
12sin cos ρθθρ⎛
⎫=++
⎪⎝
⎭
. （1）写出曲线C 的参数方程；
（2）在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴，y 轴的垂直，垂足分别为A ，B ，求矩形OAPB 的面积的最大值.
【答案】(1)12cos 12sin x y θ
θ=+⎧⎨=+⎩
.
(2)max 3S =+. 【解析】
分析：（1）先根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出圆的参数方程，（2）根据题意得()()12cos 12sin S θθ=++，再根据同角三角
函数关系得2
13
222S t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，sin 4t cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，最后根据二次函数性质求最值.
详解：（1）由12sin cos ρθθρ⎛⎫=++
⎪⎝⎭
得()2
2sin cos 1ρρθρθ=++，所以22222x y x y +=++，即()()2
2
114x y -+-=，
故曲线C 的参数方程1212x cos y sin θ
θ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）；
（2）由（1）可设点P 的坐标为()12cos ,12sin θθ++，[
)0,2θπ∈，则矩形OAPB 的面积
为
()()12cos 12sin S θθ=++ 12sin 2cos 4sin cos θθθθ=+++.
令sin 4t cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝
⎭，212sin t cos θθ=+， 22
131222222S t t t ⎛⎫=++-=+- ⎪⎝⎭
，故当t =
时，max 3S =+点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：cos (sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数）， 圆参数方程：cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩
为参数），直线参数方程：00cos (sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩
为参数） 23.已知函数()|1|||f x x x a =+-+.
（1）若1a =-，求不等式()1f x -的解集；
（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.
【答案】（1）1,2⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭ （2）[]2,0-
【解析】
【分析】
（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集.
（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，只需满足()max |21|f x a +即可.
【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩
由()1f x -，得12
x .
故不等式()1f x -的解集为1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭.
（2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，
所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，
所以()max |21|f x a +.
因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，
所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+，所以()()22121a a -+， 即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。