等差数列的基本性质专题

等差数列
一、等差数列的定义以及证明方法：
1、定义：若数列｛a n｝中，对于任意两项a n,a n-1均有：”-,1=~（d为常数），
则数列｛a｝为等差数列.
n
注意一些等差数列的变形形式，如：
---=d（d为常数，此时，数列｛-｝为等差数列）
aa
n+1n
11
--上=d（d为常数，此时，数列
nn+1'n
2、证明方法：
（1）定义法：若数列｛a n｝中，对于任意两项a n，a n-1均有：a n-a n-1=d（d为常
数），则数列｛a｝为等差数列.
n
（2）等差中项法：2a n+1=a n+a n+2
（3）通项公式法：若数列｛a n｝的通项公式为a n=pn+q的一次函数，则数列｛a n｝为等差数列.
（4）若数列｛a n｝的前n项和为S n=An2+Bn，则数列｛a n｝为等差数列.
【例题1】给定数列a1，a2，a3，……，a n，……，对i=1,2，……，nT,该数
列的前i项的最大值记为A i,后n—i项a i+1,a i+2,……,a n的最小值记为B i,d i=A i-B i.
⑴设数列｛a n｝为3,4,7,1,求d1,d2,d3的值.
（II）设d1,d2,……,d n-1是公差大于0的等差数列，且d1>0,证明：a1,a2,a3,a n-1是等差数列.
3、等差数列的通项公式：（1）等差数列的通项公式：a n =a 1+（n-1）d 累加法和逐项法：对于形如a -afn 的形式，我们一般情况下，可以考虑
nn-1
使用逐项法或者累加法，从而达到求堂的目的. 变形形式：
a n =a m +（n-m ）d
由以上公式可以得到：d —a ，
n-m
（2）等差数列通项公式的一些性质：
①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q 则：a +a —a +a ；特别的，若m+n=2p ,nmpq 则：a +a=2a ；
nmp
②若数列｛a ｝为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列；n
③若数列｛a ｝为等差数列，数列｛b ｝为等差数列，则数列｛pa+qb ｝还是等差数列;
④当d >0时，｛a ｝为递增数列；当d =0时，数列｛a ｝为常数列；当d <0时，数列
【例题1】在等差数列｛a ｝中，首项a i =0，公差d 丰0,若
（1）在等差数列｛a ｝中，S,，S-S n
k 2kk 3（S -S ）=S ；
2kk 3k
（2）奇偶项问题：在等差数列中，若项数为偶数项,即：也m （n ，4*）时,有：
S
偶-S 奇二md
nn n
｛a n ｝为递减数
列；
A .22
B .23
C .24 D.25
【变式训练】设等差数列｛a ｝的前n 项和为S
n
若a=1,S=15
15
则a 等于
6
A .8
B .7
D .5
4、等差数列的求和问题：
方法：倒序相加
S=n (a +a
n 2
1n
n
)
—— 211
(n-1)d ]=na +
1
n (n-1)
d 2
S-S
3k 2k
成等差数列；或者：
Sa
奇=-m-； Sa
偶m +1
如果项数为奇数，即当n=2m+1时，此时，S =2m ±1Q +a )=(2m +1)・a ；212m +1m +1 S +S 项数n=3一偶.
S -S
奇偶
(3)若两个数列｛a n ｝和
｛b n ｝均为等差数歹列,T m ,则有：
a 2m-1S
—n-—
'—2n —1,
b 2n -1T
m 2m -1
(4)等差数列前n 项和的最值问题:
n (n -1),d(d )
—na+d ——n 2+a —-n
122I 12)
抛物线的开口向上，此时有最小值；当d <0时，抛物线的开口向下，此时函数有最大值。

要注意的是不管是求最大值还是最小值,都不能忽视一个隐含条件,即：
n e N*.
(5)求绝对值和的两种情况：
情形一、奇偶项交替出现,绝对值数列为等差数列,此时,我们只要把负号去掉,直接按等差数列求和即可；
情形二、数列共n 项，前m (m<n )项的符号和后面n-m 的符号相反，此时，我们采取分组求和的方法求出数列的和.
ann —1a 1,n —1
S -S ,n >2
nn -1
【例题2】已知等差数列｛a ｝的前n 项和为S ，若a —18-a ，则S 。

=()nn 458 A .18B .36C .54D .72
【变式训练】4.设｛a ｝是首项为-1,公差为d (d 丰0)的等差数列，S 为其前n n
2n
项和，若S 1,S 2,S 4成等比数列，则d =
111
A .-1
B .-1C.1D.1
282
【例题3】等差数列L ｝中，a 『-1,公差d 丰0且a ,a ,a 成等比数列，前n 项
n 1236
｛
Sm +1 j=, Sm
其前n 项和和前m 项和分别为S n 和
当m 二n 时，则:
S
2n -1
T
2n -1
以及二次函数的知识可知，当d >0时，
的和为S .n (1)求a 及S ；nn
1
(2)设b =,T =b +b +A+b ，求T .
n aa n 12nn
nn +1
【变式训练】已知数列｛a ｝的前n 项和S =（n +
a ，且a=1.n
n 21
（1）求数列｛
a ｝的通项公式；n
（2）令b=ln a ，是否存在k （k>2,k e N ），使得b 、b 、b 成等比数列.若
nnkk +1k +2
存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.
【例题4】数列｛
a ｝，满足对任意的n e N ，均有a+a+a 为定值.若
n +nn +1n +2
a =2,a =3,a =4，则数列｛
a ｝的前100项的和S=
7998n 100
A .132
B .299
C .68
D .99
【变式训练】已知等差数列｛
a ｝且3(a +a )+2(a+a+a )=48，则数列｛
a ｝的
n 3571013n
前13项和为
A .24
B .39
C .52
D .104
公差为d ,首项a =3,前n 项和为S .令1n
b=2(a —2)d n -2+2n -1,a e R .n
(I)求数列｛a ｝的通项公式；n
(II)若b&b ,n e *，求a 的取值范围.n +1n
【例题5】已知｛a ｝是等差数列，
n
c =(-1)n S (n eN *)nn
｛c ｝的前20项和T=330 n 20
数列｛b ｝满足
n
【变式训练】数列^a｝满足a+a=4n-3(n e N).
nn+1n+
(I)若^a｝是等差数列，求其通项公式；n
(II)若^a｝满足a=2,S为^a｝的前n项和，求S n1nn2n+1
【课时作业】
1、等差数列｛a｝的前n项和为S，且a=8,S=6，则a等于n n539
A.12
B.8
C.16
D.24
2、已知函数f (x )=cos x ,x e (0,2冗)有两个不同的零点x ,x ,且方程
12
f (x )=m (m 丰0)有两个不同的实根x ,x ，若把这四个数按从小到大排列构成等34
3、已知等差数列L ｝中，a =1,前10项的和等于前5的和，若a +a=0贝U m=n 1m 6
A .10
B .9
C .8
D .2
4、已知等差数列\a ｝且3(a +a )+2(a +a +a )=48，则数列\a ｝的前13项
n 3571013n
和为
A .24
B .39
C .52
D .104
5、等差数列｛a ｝的通项是a =1-2n ，前n 项和为S,则数列］S n ］的前11项和
n
n n
［n J
为
A ．—45
B ．—50
C ．—55
D ．—66
6、在等差数列｛a ｝中，S 为其前n 项和(n e N *)，且a=3,S=16nn 24 (I)求数列｛
a ｝的通项公式;
n
(II)设b =，求数列｛
b ｝的前n 项和T .
n
aa
nn
nn +1
7、在等差数列｛
a ｝中，S 为其前n 项和(n e N *)，且a=3,S=16nn 24
(I)求数列｛
a ｝的通项公式；
n
(II)设b =，求数列｛
b ｝的前n 项和T .
n
aa
nn
nn +1
8、若数列｛a ｝的前n 项和为S ，且满足：S +S +S=6n 2-2（neN *）.n n nn +1n +2 （I ）若数列｛a ｝是等差数列，求｛a ｝的通项公式.nn （II ）若a =a =1，求S .1250
则
1・
2
.
考
A
D ．
9、等差数列｛a｝的前n项和为S，满足：S=15M+a=30.n n359
（I）求a及S；nn
（II）数列｛b｝满足b（S-n）=2（n e N），数列｛b｝的前n项和为T，求证
nnn+n n
:T<2.n
10、已知等差数列｛a｝的前S项和为S，n nn
a=3,｛b｝为等比数列，且b=1，1n1 b>0,b+S=10，S=5b+3a,n e N*.n22532
（1）求数列｛a｝，｛b｝的通项公式；nn
（2）求数列｛a•b｝的前n项和T.nn n。