中考数学一轮复习：和圆有关的计算

类型一
弧长、扇形的面积
如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝90° ，半径 OA＝6.将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折
叠，点 O 恰好落在 AB 上点 D 处，折痕交 OA 于点 C，O → → S阴影＝S扇形OAB－2S△BCD
AC＋CD＋BD → AB 的长 → 阴影部分的周长 ＝AO＋BO
中考数学一轮复习
和圆有关的计算
知识点一
弧长、扇形的面积
nπr 1．如果弧长为 l，圆心角为 n° ，圆的半径为 r，那么弧长的计算公式为：l＝ . 180 2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为 nπr2 1 n° ，所在圆半径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 S＝ ，或 S＝ lr. 360 2 注：公式中的 n 表示 1° 的圆心角的倍数，所以不带单位．
1 答案：3－ π 3
类型二
圆锥的侧面展开图
将一个底面半径为 5 cm，母线长为 12 cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平， 此侧面展开图的圆心角是________度．
展开图的 【思路点拨】 展开扇形的弧长 → 扇形半径 → 圆心角
10π 【解析】150 展开扇形的弧长是 2πr＝10π，扇形半径 R＝12， 则展开图的圆心角为 2πR ×360° ＝150° .
知识点二
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长 c，半径等于圆锥的母 r 1 线长 l.若圆锥的底面半径为 r，这个扇形的圆心角为 α，则 α＝ · 360° ，S 圆锥侧＝ cl＝πrl， l 2 S 圆锥全＝ πrl＋πr2.
知识点三
阴影部分的面积
1．规则图形 按规则图形的面积公式去求． 2．不规则图形 采用“转化”的数学思想方法． 把不规则图形的面积采用“割补法”“等积变形法”“平移 法”“旋转法”等转化为规则图形的面积.
【思路点拨】 连结OB，OC → 证S△ABC＝S△BOC → S阴影＝S扇形BOC → 求∠BOC的大小 → 计算面积
【解析】
如图， 连结 OB， OC， ∵BC∥OA， ∴S△ ABC＝S△BOC.∵AB 是⊙ O 的切线， ∴∠OBA ＝90° . 1 ∵OB＝ OA，∴∠BAO＝30° ，∠BOA＝60° . 2 ∵BC∥OA，∴∠CBO ＝∠BOA＝60° .∵OC＝OB ，∴△OBC 为等边三角形．∴∠COB ＝60° . 60 π ∴S 阴影＝S 扇形 BOC＝ π×12＝ . 360 6
若一个圆锥的侧面积是 18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径是 3. 已知圆锥的底面半径是 3 cm，母线长为 6 cm，则侧面积为 18π cm2.(结果保 留 π)
类型三
不规则图形面积的计算
如图所示，A 是半径为 1 的⊙O 外一点，OA＝2，AB 是⊙O 的切线，B 为切点， 弦 BC∥OA，连结 AC，求阴影部分的面积．
【解析】由折叠性质，得△BCD≌△BCO.∴CD＝CO，BD＝BO＝6.∴AC＋CD＋BD＝ 90 AC＋CO＋BO＝AO＋BO＝12.又 AB 的长为 π×6＝3π，∴阴影部分的周长为 12＋3π. 180 如图，连结 OD.∵OB＝BD＝OD，
∴△OBD 为等边三角形． ∴∠DBO＝60° .∵△BCO ≌△BCD， ∴∠CBO＝∠CBD＝30° . OC 3 ∵tan 30° ＝ ，∴OC＝OB· tan 30° ＝6× ＝2 3. OB 3 1 1 ∴S△BCD＝S△BCO＝ OC· OB＝ ×2 3×6＝6 3. 2 2 90 ∴S 阴影＝S 扇形 OAB－2S△BCD＝ π×62－2×6 3＝9π－12 3. 360
求不规则图形阴影部分的面积时对阴影部分结构特点不理解． 如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60° ，此时点 B 旋转到了点 B′， 则图中阴影部分的面积是( )
A．6π
B．5π
C．4π
D．3π
【错因分析】 图中的阴影部分是不规则图形， 所以要将其转化为与其面积相等的规则图 形． 在等积转化中：(1)可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等 高)的三角形面积相等进行转化．
60π×62 【解析】A S 阴影＝S 扇形 BAB′＝ ＝6π，故选 A. 360
1．若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个 圆锥的底面半径是( ) A．1.5 B．2 C．3 D．6
答案：C
2．已知圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的侧面积是( A．20 cm2 答案：D B．20π cm2 C．15 cm2 D．15π cm2 )
如图，在▱ABCD 中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30° ，以点 A 为圆心，AD 的长 为半径画弧交 AB 于点 E，连结 CE，则阴影部分的面积是________．(结果保留 π)
解析：作 DF⊥AB 于点 F，在 Rt△DAF 中，DF＝AD· sin∠A＝2×sin 30° ＝1. 30π 1 1 1 ∴S 阴影＝S▱ABCD－S 扇形 DAE－S△BCE＝AB· DF－ ×22－ BE· DF＝4×1－ π－ ×2×1＝3 360 2 3 2 1 － π. 3
如图所示，在▱ABCD 中，AB＝10，∠ABC＝60° ，以 AB 为直径作⊙O，边 CD 切⊙O 于点 E. (1)圆心 O 到 CD 的距离是______； (2)求由弧 AE，线段 AD、DE 所围成的阴影部分的面积．(结果保留 π 和根号)
解：(1)5
(2)如图，连结 OE，过点 A 作 AF⊥DC 于点 F. ∵DC 切⊙O 于点 E， ∴OE⊥DC.又∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴DC∥AB，∠D＝∠B. AF 5 5 3 ∴在 Rt△ADF 中，AF＝OE＝5，DF＝ ＝ ＝ . tan∠D tan 60° 3 90π×52 1 5 3 25 3 25π ∴S 阴影＝S 梯形 ADEO－S 扇形 OAE＝ (5＋5＋ )×5－ ＝25＋ － . 2 3 360 6 4