高考数学专题基础班第16讲 三角函数的图像和性质3JT

三角函数的图像与性质

【知识要点】

1．函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种主要途径

2．掌握三角函数的定义域、值域的求法；会求经过简单的恒等变sin()y A x ωϕ=+或tan()y A x ωϕ=+的三角函数的周期

3．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体

4．三角函数的最值的基本类型

(1)sin cos y a x b x c =++

(2)2sin sin y a x b x c =++

(3)sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+

(4)tan cot y a x b x =+ (5)sin sin a x b y c x d +=+与d

x c b x a ++=cos sin y 【经典例题】

1

．已知函数2()2cos sin()sin cos 23f x x x x x x π

=+++（x R ∈），该

函数的图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经过怎样的变换得到？ 。

2.已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差

4π，且图象经过点5(0,)2-，求 这个函数的解析式。

3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<

，x R ∈）的图象中的一段，根据图象 求它的解析式。

x y O – – – –

5 1 2 1- 2- 3

4.（1）求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最值

（2）已知(0,)x π∈，求函数213sin y θθ=

+的最大值 （3）求函数2cos (0)sin x y x x π-=

<<的最小值

5.化简)23

sin(32)2316cos()2316cos()(x x k x k x f ++--+++=πππ （Z ∈k ），并求函数)(x f 的值域和最小正周期

6.已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3sin(cos 2)(2+-+=π

。

（1）求)(x f 的最小正周期；

（2）求)(x f 的最小值及取得最小值时相应的x 值；

（3）若]12

7,12[ππ∈x ，求满足1)(=x f 的x 值。

三角函数性质课堂训练及作业

1.将函数5sin(3)y x =-的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3π，得到图象对应解析式是（ ）

A ．335sin()22x y π=- B.735sin()102

x y π=- C.5sin(6)6y x π=- D.35cos 2

x y =

2. 当]2,2[π

π-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的值域是（ ）

A.[-1,1]

B.21[-

，1] C.[－2, 2] D. [－1, 2]

3.下列四个命题①函数tan y x =在它的定义域内是增函数；②若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③函数sin()y A x ωϕ=+一定是奇函数；④函数|cos(2)|3y x π

=+的最小正周期为2

π，其中正确的命题是（ ） A.① B.④ C.①、② D.②、③

4.（05福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）

A ．4,2πϕπω==

B ．6,3πϕπω==

C ．4,4πϕπω==

D ．45,4πϕπω==

5.05全国卷Ⅱ）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是（ ） A.4π B.2

π C.π D.2π

6.函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6x π

=对称，则ϕ的最小值为（ ）

A.512π

B.116π

C.1112π

D.以上都不对

7.已知函数)0)(63sin(>+-=b x b a y π的最大值为23，最小值为2

1-，则=a ，=b

8.函数1

sin 23sin 4-+=x x y 的值域是 9.函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________.

10.如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π

=-对称，则a =

10.若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,02A ωϕπ>><<）的最小值为2-，周

期为23

π，且它的图象过点(0,，求此函数解析式．

11.已知函数25f (x )sin x cos x x x R )=-∈。 （1）求)(x f 的最小正周期；

（2）求)(x f 的单调区间；

（3）求)(x f 图象的对称轴和对称中心