专题06 《平面直角坐标系》(解析版)七年级下学期数学(人教版)

专题06 平面直角坐标系
考点一、平面直角坐标系
例1、（2020·山东威海市·中考真题）如图①，某广场地面是用A．B．C三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：
m n位置恰第一行的第一块（A型）地砖记作(1,1)，第二块（B型）地时记作(2,1)…若(,)
好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】
几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【详解】
解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n 同为偶数，
故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】
本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
考点二、坐标方法的简单应用
例2、（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆的顶点A ，B 的
坐标分别为，(4,0)，把OAB ∆沿x 轴向右平移得到CDE ∆，如果点D 的坐标为
，则点E 的坐标为__________．
【答案】(7,0)
【分析】
根据B 点横坐标与A 点横坐标之差和E 点横坐标与D 点横坐标之差相等即可求解．
【详解】
解：由题意知：A 、B 两点之间的横坐标差为：431-=，
由平移性质可知：E 、D 两点横坐标之差与B 、A 两点横坐标之差相等，
设E 点横坐标为a ，
则a -6=1，∴a=7，
∴E 点坐标为(7,0) ．
故答案为：(7,0) ．
【点睛】
本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键.
达标检测
1．点(﹣4，2)所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
【分析】
根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．
【详解】
解：点（-4，2）所在的象限是第二象限．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2．已知点P 的坐标为(3,4)--，则点P 到y 的距离为（ ）
A ．3-
B ．3
C ．4
D ．4-
【答案】B
【分析】
根据点到y 轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
解：∴点P 的坐标为（-3，-4），
∴点P 到y 轴的距离为3．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记点到y 轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）
A ．(0,3)
B ．(2,1)-
C ．(1,2)-
D ．(1,1)-- 【答案】D
【分析】
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A 、(0，3)在y 轴上，故本选项不符合题意；
B 、(−2，1)在第二象限，故本选项不符合题意；
C 、(1，−2)在第四象限，故本选项不符合题意；
D 、(-1，-1)在第三象限，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．下列语句正确的是（ ）
A ．在平面直角坐标系中，(3,5)-与(5,3)-表示两个不同的点
B ．平行于x 轴的直线上所有点的横坐标都相同、
C ．若点(,)P a b 在y 轴上，则0b =
D ．点(3,4)P -到x 轴的距离为3
【答案】A
【分析】
根据平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点逐一判断即可得.
【详解】
A.在平面直角坐标系中， (−3，5) 与 (5，−3) 表示两个不同的点，此选项正确；
B.平行于 x 轴的直线上所有点的纵坐标都相同，此选项错误；
C.若点 P (a ，b ) 在 y 轴上，则a =0 ，此选项错误；
D.点 P (−3，4) 到 x 轴的距离为4，此选项错误；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点.
5．将点A （2，1）向下平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是（ ）
A ．（0，1）
B ．（2，﹣1）
C ．（4，1）
D ．（2，3） 【答案】B
【分析】
让点A 的横坐标不变，纵坐标减2即可得到平移后点A ′的坐标．
【详解】
解：将点A （2，1）向下平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是（2，1-2），即（2，-1）．
故选：B．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，关键是要熟记：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．6．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）
A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）
【答案】D
【分析】
根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．
【详解】
解：过点B作BD∴AC，
∴∴1=∴A=40°
∴港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），
故选：D．
【点睛】
本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．
7．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）
A．（2，5）B．（0，﹣3）C．（﹣2，5）D．（5，﹣3）
【答案】B
【分析】
根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可．
【详解】
解：∴点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，
∴x﹣3＝﹣3，y+5＝2，
解得x＝0，y＝﹣3，
所以，点A的坐标是（0，﹣3）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了坐标平移变化规律；明白向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加是关键．8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，若表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（3，2），（﹣3，0），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）
A．（1，2）B．（0，2）C．（2，1）D．（2，0）
【答案】B
【分析】
根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．
【详解】
根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可建立直角坐标系，如图所示：
故棋子“炮”的点的坐标为：(0，2)．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置建立直角坐标系是解题关键． 9．在直角坐标系中，点P （m ，2—2m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则P 点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【分析】
根据m +2-2m =0计算m 的值，后判定横坐标，纵坐标的正负求解即可
【详解】
∴点P （m ，2—2m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴m +2-2m =0，
∴m =2，
∴2-2m =-2，
∴点P 位于第四象限，
故选D
【点睛】
本题考查了坐标与象限的关系，利用相反数的性质构造等式计算m 的值是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点()2,1M ，()1,1N -，平移线段MN ，使点M 落在点()1,2M '-处，则点N 对应的点N '的坐标为（ ）
A ．()2,0-
B ．()0,2-
C ．()1,1-
D ．()3,1--
【答案】A
【分析】 根据()2,1M 平移后得到()1,2M '-，确定其平移规律是向左平移3个单位，后向上平移1个单位，根据规律确定点N 的平移坐标即可．
【详解】
∴()2,1M 平移后得到()1,2M '-，
∴其平移规律是向左平移3个单位，后向上平移1个单位，
∴()1,1N -，
∴平移后的坐标为（1-3，-1+1）即()2,0-，
故选A ．
【点睛】
本题考查了坐标系中点的坐标平移，准确确定平移方向和平移距离，并熟记左减右加，上加下减的计算法则是解题的关键．
二、填空题
11．己知(82,1)P m m -+点在x 轴上，则点P 的坐标为___．
【答案】(10,0)
【分析】
根据x 轴上点的横坐标为0列方程求出m 的值，然后求解即可．
【详解】
解：点(82,1)P m m -+在x 轴上，
10m ∴+=，
解得1m =-，
828210m ∴-=+=，
∴点P 的坐标为(10,0)．
故答案为：(10,0)．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记x 轴上点的横坐标为0是解题的关键．
12．如图，点A 在射线OX 上，2OA =．若将OA 绕点O 按逆时针方向旋转30到OB ，那么点B 的位置可以用()2,30︒表示．若将OB 延长到C ，使5OC =，再将OC 按逆时针方向继续旋转45︒到OD ，那么点D 的位置可以用____表示．
【答案】（5，75°）
【分析】
直接利用已知点的意义，进而得出点D 的位置表示方法．
【详解】
解：如图所示：由题意可得：OD =OC =5，∴AOD =75°，
故点D 的位置可以用：（5，75°）表示．
故答案为：（5，75°）．
【点睛】
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出坐标的意义是解题关键．
13．已知点()2,3A --，将点A 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到A '，则A '的坐标为_________．
【答案】()2,3
【分析】
根据平移规律左减右加，上加下减，进行平移计算即可；
【详解】
∴()2,3A --，向右平移4个单位长度，向上平移6个单位长度
∴()24,36A '-+-+
∴()2,3A '
故答案为：()2,3
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系坐标的平移变化，熟悉掌握坐标的变化规律是解题的关键．
14．平面直角坐标系中，点(P 到x 轴的距离是_________．
【答案】2
【分析】
根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．
【详解】
解：点P （2）到x 轴的距离是|2|=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了点的坐标，利用点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值是解题关键．
15．把点(2,3)-的向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的点的坐标为________．
【答案】（-5，7）
【分析】
根据点的平移方法可得把点（-2，3）的横坐标减3，纵坐标加4，然后计算即可．
【详解】
解：点（-2，3）向上平移4个单位长度单位再向左平移3个单位长度所到达点的坐标为（-2-3，3+4），
即（-5，7），
故答案为：（-5，7）．
【点睛】
此题主要考查了点的平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．16．全英羽毛球公开赛混双决赛，中国组合鲁恺/ 黄雅琼，对阵马来西亚里约奥运亚军陈炳顺/吴柳萤，鲁恺/黄雅琼两名小将的完美配合结果获胜．如图是羽毛球场地示意图，x轴平行场地的中线，y轴平行场地的球网线，设定鲁恺的坐标是（3，1），黄雅琼的坐标是（0，－1），则坐标原点为__________．
【答案】O1
【分析】
根据黄雅琼的位置即可确定坐标原点的位置．
【详解】
∴鲁恺的坐标是（3，1），黄雅琼的坐标是（0，−1），
∴坐标原点为O1，
故答案为：O1．
【点睛】
本题考查了坐标确定位置的知识，解题的关键是能够了解（0，−1）在坐标原点的下面一个单位，
17．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步沿x
轴向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度：当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位长度：当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位长度，当走完第6步时，棋子所处位置的坐标是，当走完第7
步时，棋子所处位置的坐标是 ，当走完第2021步时，棋子所处位置的坐标是 ． 【答案】A 6（6，2），A 7（7，2），（2021，673） 【分析】
设走完第n 步，棋子的坐标用A n 来表示．列出部分A 点坐标，发现规律“A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）”，根据该规律即可解决问题． 【详解】
解：设走完第n 步，棋子的坐标用A n 来表示．
观察，发现规律：A 0（0，0），A 1（1，0），A 2（3，0），A 3（3，1），A 4（4，1），A 5（6，1），A 6（6，2），A 7（7，2），…， …，
∴A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）． ∴2021=673×3+2， ∴A 2021（2021，673）．
故答案为：A 6（6，2），A 7（7，2），（2021，673）． 【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律“A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据棋子的运动情况，罗列出部分A 点的坐标，根据坐标的变化发现规律是关键．
18．如图，四边形AOBC 是正方形，曲线123CPP P ⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧1CP ，弧12PP ，弧23P P ，弧34P P 的圆心依次按点A ，O ，B ，C 循环，点A 的坐标为()2,0，按此规律进行下去，则点2021P 的坐标为______．
【答案】()4044,0 【分析】
由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解
【详解】
解：由题意可知：正方形的边长为2，
∴A（2，0），B（0，2），C（2，2），
P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，-12）
…
可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，
P在x轴正半轴，
2021÷4=505……1，故点2021
OP的长度为2021×2+2=4044，
即：P2021的坐标是（4044，0），
故答案为：（4044，0）．
【点睛】
本题考查了直角坐标系内点的坐标运动变化规律，解题的关键是理解A点的坐标除符合变化之外，还由旋转半径确定，而且每旋转一次半径增加2．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．（-5，0），（-4，3），（-3，0），（-2，3），（-1，0），（-5，0）
【答案】见解析
【分析】
将坐标表示的点分别在坐标系中标出来，然后用线段依次连接起来即可．
【详解】
解：如图所示：
本题考查了平面直角坐标系中的作图，正确地将点在坐标系中标出来是解题的关键．
20．如图所示，在平面直角坐标系中点()30A -,
，()5,0B ，()3,4C ，()2,3D -．
（1）求四边形ABCD 的面积
（2）点P 为y 轴上一点，且ABP △的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，求点P 的坐标．
【答案】（1）23；（2）90,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭或90,4⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【分析】
（1）分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，分别计算AF 、DF 、BE 的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得32ADF S =△，4BCE S =△，35
2
CEFD S =梯形即可解题；
（2）设()0,P b ，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可． 【详解】
解：（1）分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，
因为()30A -，
，()B 5，0，()34C ，，()23D -，， 所以1AF =，34DF CE ==，25BE EF ==，
所以13
1322ADF S =
⨯⨯=△， 所以1
2442
BCE S =⨯⨯=△，
所以()35
3452
CEFD S =+⨯=梯形，
所以335
42322
ABCD S ++
==四边形．
（2）设()0P b ，
则有123=22
ABP ABCD S S =
△四边形 即1123
8222
AB OP b ⨯⨯=⨯⨯=
解得：23||8b = 所以238
b =± 所以点P 的坐标为904⎛
⎫ ⎪⎝⎭，或904⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
． 【点睛】
本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．在平面直角坐标系中，完成以下问题：
（1）请在坐标系中标出点(3,2)A 、(2,3)B -；
（2）若直线l 经过点B 且//l y 轴．点C 是直线l 上的一个动点，请画出当线段AC 最短时的简单图形，此时点C 的坐标为 ；
（3）线段AC 最短时的依据为 ．
【答案】（1）见详解；（2）画图见详解，C （﹣2,2）；（3）点到直线的距离垂线段最短 【分析】
(1)根据点坐标的定义直接在坐标系中标出点即可；
（2）根据点到直线的距离垂线段最短即可判断点C 的坐标； （3）依据点到直线的距离垂线段最短． 【详解】
(1)A,B 两点如下图；
（2）AC 最短时的图形如下图所示，此时C 点坐标为：（﹣2,2）； （3）点到直线的距离垂线段最短．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标问题，及对点到直线的距离垂线段最短的理解与应用，解题关键在于理解应用点到直线的距离垂线段最短．
22．如图，在直角坐标系中，已知A （﹣1，4），B （﹣2，1），C （﹣4，1），将ABC 向右平移3个单位再向下平移2个单位得到111A B C △，点A 、B 、C 的对应点分别是点A 1、B 1、C 1．
（1）画出111A B C △；
（2）直接写出点A 1、B 1、C 1的坐标； （3）直接写出111A B C △的面积．
【答案】（1）见解析；（2）A 1（2，2），B 1（1，﹣1），C 1（﹣1，﹣1）；（3）3． 【分析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，画出图形即可； （2）利用（1）中图形，利用平移的性质得出对应点坐标； （3）利用三角形面积公式可得出答案． 【详解】
解：（1）如图所示：111A B C △，即为所求；
（2）由平移的性质结合图形可得：A 1（2，2），B 1（1，﹣1），C 1（﹣1，﹣1）； （3）111A B C △的面积为：
1
2
×2×3＝3．
【点睛】
本题考查的是平移的性质，图形与坐标，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键． 23．在边长为的方格纸中有一个ABC ．
（1）作出ABC 的高CD ，并求出ABC 面积；
（2）将ABC 向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △； （3）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段．
【答案】（1）8，画图见解析；（2）画图见解析；（3）11//A B AB ，11A B AB =． 【分析】
（1）直接作高，得到高的长度，利用三角形面积公式计算即可.
（2）图形的平移关键是点的平移.按平移的法则确定了A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1位置，连接即可得到111A B C △；
（3）根据平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等，举例即可. 【详解】 （1）11
44822
ABC S AB CD =⨯⨯=⨯⨯=△． 如图所示：
（2）先将点A ，B ，C 分别向上平移3个单位，再向左平移2个单位确定点1A ，1B ，1C ，
再连接11A B ，11B C ，11AC ，此时
111A B C △即为所求．
（3）11//A B AB ，11//AC AC ，11//B C BC ．三组线段任写一组． 【点睛】
本题主要考查了图形的平移，图形的平移实质是点的平移，正确的确定对应点的位置是正确作图的关键，同时平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等这一平移性质的运用.
24．综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，点O ，A 的坐标分别为()0,0，()02,，
将线段OA 沿x 轴方向向右平移，得到线段CB ，点O 的对应点C 的坐标为
3,0，连接
AB ．点P 是y 轴上一动点．
（1）请你直接写出点B 的坐标____________．
（2）如图1，当点P 在线段OA 上时（不与点O 、A 重合），分别连接BP ，CP ．猜想BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系，并说明理由．
（3）①如图2，当点P 在点A 上方时，猜想BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，当点P 在y 轴的负半轴上时，请你直接写出BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系．
【答案】（1）()3,2；（2）BPC ABP OCP ∠=∠+∠，理由见解析；（3）（3）①
BPC OCP ABP ∠=∠-∠，理由见解析；②BPC ABP OCP ∠=∠-∠．
【分析】
（1）根据平移的规律即可求解；
（2）过点P 作//PD AB ，得到BPD ABP ∠=∠，再证明//PD OC ，得到
CPD PCO ∠=∠，即可得到BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；
（3）①过点P 作//PE AB ，得到BPE ABP ∠=∠，再证明//PE OC ，得到
EPC OCP ∠=∠，即可证明BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；
②过点P 作//PF AB ，得到BPF ABP ∠=∠，再证明//PF OC ，得到FPC OCP ∠=∠，即可证明BPC FPB FPC ABP OCP ∠=∠-∠=∠-∠． 【详解】
解:（1）∴线段OA 沿x 轴方向向右平移，得到线段CB ，点O 的对应点为C 坐标为（3,0）， ∴点A （0,2）的对应点B 的坐标为（3,2）， 故答案为：()3,2；
（2）BPC ABP OCP ∠=∠+∠，理由如下： 如图1，过点P 作//PD AB ， ∴BPD ABP ∠=∠， 由平移可知，//AB OC ， 又//PD AB ， ∴//PD OC ， ∴CPD PCO ∠=∠，
∴BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；
∠=∠-∠，理由如下：（3）①BPC OCP ABP
PE AB，
如图2，过点P作//
∠=∠，
∴BPE ABP
AB OC，
又∴//
PE OC，
∴//
∠=∠，
∴EPC OCP
∠=∠-∠=∠-∠．∴BPC EPC EPB OCP ABP
∠=∠-∠，理由如下：
②BPC ABP OCP
PF AB，
如图3，过点P作//
∠=∠，
∴BPF ABP
AB OC，
又∴//
PF OC，
∴//
∠=∠，
∴FPC OCP
∠=∠-∠=∠-∠．∴BPC FPB FPC ABP OCP 【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中平移的规律、平行线的性质与判定等知识，熟知相关知识点并根据题意灵活应用是解题关键．
25．在平面直角坐标系xOy 中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来． 第一组：()3,3A -、()4,3C ；
第二组：()2,1D --、()2,1E -．
（1）直接写出线段AC 与线段DE 的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC ，DE 分别与y 轴交于点B ，F ．若点M 为射线OB 上一动点（不与点O ，B 重合）．
①当点M 在线段OB 上运动时，连接AM 、DM ，补全图形，用等式表示CAM ∠、AMD ∠、MDE ∠之间的数量关系，并证明．
②当ACM △与DEM △面积相等时，求点M 的坐标．
【答案】（1）线段AC 与线段DE 的位置关系；AC∥DE ，证明见详解；（2）AMD ∠=CAM
∠+MDE ∠，证明见详解；（3）M （0，
1711）． 【分析】
（1）AC∥DE ，由()3,3A -、()4,3C 两点纵坐标相同，-3≠4，可得AC∥x 轴，由()2,1D --、()2,1E -两点纵坐标相同，-2≠2，可得DE∥x 轴，利用平行同一直线两直线平行可得AC∥DE ； （2）AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠，
过M 作MN∥AC ，内错角相等得∴CAM =∴AMN ，由AC∥DE ，可得MN∥DE ，内错角相等∴NMD =∴MDE ，可证AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠；
（3）由AC ∴y 轴于B ，DE ∴y 轴于F ，求出B （0，3），F （0，-1），,可确BF =4，设OM =m ，
MB =3-m ，MF =4-（3-m ）=m +1，AC =7，DE =4，用含m 的式子表示S ∴ACM =()1732
m ⨯⨯-，S ∴DEM =()1412
m ⨯⨯+，当ACM △与DEM △面积相等时，可列方程()()1173=4122
m m ⨯⨯-⨯⨯+，解之即可． 【详解】
解：（1）直接写出线段AC 与线段DE 的位置关系；AC∥DE
∴()3,3A -、()4,3C 两点纵坐标相同，-3≠4
∴AC∥x 轴，
∴()2,1D --、()2,1E -两点纵坐标相同，-2≠2
∴DE∥x 轴，
∴AC∥DE ，
（2）AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠
过M 作MN∥AC ，
∴∴CAM =∴AMN ，
∴AC∥DE ，
∴MN∥DE ，
∴∴NMD =∴MDE ，
∴∴AMD =∴AMN +∴NMD =∴CAM +∴MDE ，
∴AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠，
（3）∴AC ∴y 轴于B ，DE ∴y 轴于F ，
∴B （0，3），F （0，-1），,
∴BF =OB +OF =3+1=4，
设OM =m ，
∴MB =3-m ，MF =4-（3-m ）=m +1，
∴AC =4-（-3）=7，DE =2-(-2)=4，
S ∴ACM =()117322
AC MB m ⨯⋅=⨯⨯-，
S ∴DEM =()114122
DE MF m ⨯⋅=⨯⨯+， 当ACM △与DEM △面积相等时，即
()()1173=4122m m ⨯⨯-⨯⨯+， 整理得21744m m -=+， 解得1711
m =， ∴M （0，
1711）．
【点睛】
本题考查画图，平行线的判定与性质，角的互相关系，三角形面积，一元一次方程，掌握画图技巧，平行线的判定与性质，角的和差关系，三角形面积求法，一元一次方程的解法是解题关键．
26．已知，在平面直角坐标系中，AB ⊥x 轴于点B ，点A (a ，b )+|b ﹣3|＝0，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．
（1）a ＝ ，b ＝ ，点C 坐标为 ；
（2）如图1，点D (m ，n )是射线CB 上一个动点．
①连接OD ，利用OBC ，OBD ，OCD 的面积关系，可以得到m 、n 满足一个固定的关
系式，请写出这个关系式： ；
②过点A 作直线1⊥x 轴，在l 上取点M ，使得MA ＝2，若CDM 的面积为4，请直接写出点D 的坐标 ．
（3）如图2，以OB 为边作⊥BOG ＝⊥AOB ，交线段BC 于点G ，E 是线段OB 上一动点，连接CE 交OG 于点F ，当点E 在线段OB 上运动过程中，
OFC FCG OEC
∠+∠∠的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值．
【答案】（1）6，3，（0，-3）；（2）①m -2n ＝6；②（2，-2）或（4，-1）；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）①如图1，过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ，利用面积法求解即可．②如图11-中，设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，CM ，CM '．分两种情形：当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2
m D m -，根据4CDM CTD MTD CTD S S S S ∆∆∆∆=+-=，构建方程求解，当点M '在点A 的右侧时，同法可得．
（3）OFC FCG OEC
∠+∠∠的值不变，值为2．利用平行线的性质，三角形的外角的性质证明即可．
【详解】
解：（1）|3|0b -=，
60a ∴-=，30b -=，
6a ∴=，3b =，
3AB OC ==，且C 在y 轴负半轴上，
(0,3)C ∴-，
故答案为：6，3，(0,3)-．
（2）①如图1-1，过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ．
AB x ⊥轴于点B ，且点A ，D ，C 三点的坐标分别为：(6,3)，(,)m n ，(0,3)-， 6OB ∴=，3OC =，MD n =-，ND m =，
192
BOC S OB OC ∆∴=⨯=， 又BOC BOD COD S S S ∆∆∆=+
1122
OB MD OC ND =⨯+⨯ 116()322
n m =⨯⨯-+⨯⨯ 332
m n =-， ∴3392
m n -=，
26m n ∴-=， m ∴、n 满足的关系式为26m n -=．
故答案为：26m n -=．
②如图12-中，设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，DM ，CM '．
当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2
m D m -，
4CDM CTD MTD CTD S S S S ∆∆∆∆=+-=， ∴11164(33)4642222
m m ⨯⨯+⨯⨯-
+-⨯⨯=， 解得2m =，
(2,2)D ∴-， 当点M '在点A 的右侧时，同法可得(4,1)D -，
综上所述，满足条件的点D 的坐标为(2,2)-或(4,)1-．
故答案为：(2,2)-或(4,)1-．
（3）OFC FCG OEC
∠+∠∠的值不变，值为2．理由如下： 线段OC 是由线段AB 平移得到，
//BC OA ∴，
AOB OBC ∴∠=∠，
又BOG AOB ∠=∠，
BOG OBC ∴∠=∠，
根据三角形外角性质，可得2OGC OBC ∠=∠，OFC FCG OGC ∠=∠+∠，
22OFC FCG FCG OBC ∴∠+∠=∠+∠
2()FCG OBC =∠+∠
2OEC =∠， ∴22OFC FCG OEC OEC OEC
∠+∠∠==∠∠． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．。