北京市房山区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案解析

房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷

高三数学

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合{}

2,0,1,2A =-，

{}

10B x x =->，则A B = （

）

A.

{}

2 B.

{}1,2 C.

{}2,0- D.

{}

2,0,1,2-2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）

A.2

B.2i

C.2i

- D.2-3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π

3

，则m 的值为（

）

A.3

3

-

B.

33

C. D.

4.4

32x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中的常数项是（）

A.32

- B.32

C.23

- D.23

5.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）

A.22

a b > B.

11

a b

> C.

b a a b

> D.2211ab a b

>6.已知直线:2l y x b =+与圆()()2

2

:125C x y -++=相切，则实数b =（）

A.1或9

B.1-或9

C.1-或9

- D.1或9

-7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）

与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e

(0)kt

P P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物

数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：13

10.5855⎛⎫≈ ⎪

⎝⎭

）（

）

A.12%

B.10%

C.9%

D.6%

9.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为

双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（

）

A .2

213

y x -= B.2

21

3x y -=C.221

22

x y -= D.221

4

x y -=10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”

22

7与“密率”355113

.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于314

1

π<<，取3为弱率，4为强

率，计算得1711234a =

=++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710

123

a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知25

8

m a =，则m =（）

A.8

B.7

C.6

D.5

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数2

ln(12)y x x

=-+

的定义域是______.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2

cos 2

b c a C -

=，则A ∠=______.14.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；

②//AP 平面11AC D ；

③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

；

④点P 到平面11AC D 的距离是

3

a .其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =

，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.

（1）求证：//MN 平面PAB ；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；

条件②：PB =.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛

⎫=+< ⎪⎝

⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关

于原点对称.（1）求ϕ的值；

（2）设()()2

1

2cos 2

g x f x x =-+

，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公