线性代数与空间解析几何01-第4节 利用性质计算行列式_4

3111
例1.2.2 计算四阶阶行列式 D 1 3 1 1 .
1131
1113
解 将第2、3、4行都加到第一行得
1111
1111
D r1 6
1 6
1
3 1
1 3
1 r2 r1 6 0 1 r3 r1 0
2 0
0 2
0 48. 0
1 1 1 3 r4 r1 0 0 0 2
1.2 行列式的性质
q11
0
D2
q11 qnn.
qn1 qnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
对D的前k行做运算ri+krj，再对后n列做运算
ci+kcj，把D化为下三角形行列式
p11
0
D pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
x会
z yw
z y r1 r2 x x w y
w r2 r1 z
1.2 行列式的性质
2. 利用性质计算行列式
注意:
1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒. 例如
x y r1 r2 x z yw r2 r1 x z yw
zw
zw
; x y
x y r2r1 x y r1r2 z w .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1 2 3 4
例1.2.1 计算四阶行列式 D 2
3 4 7 .
1 2 5 8
1 3 5 10
1 2 3 4
1 2 3 4
解 D 2 3
1 2
4 5
7 r2 2r1 0 8 r3 r1 0
1 0
2 2
1 4
1 3 5 10 r4 r1 0 1 2 6
本节重点、难点
重点：行列式的6条性质及利用性质将行列式化 为 上三角形来计算行列式的方法
难点： 行列式性质的证明，将行列式化为上三角 形行列式的技巧和方法
1.2 行列式的性质
第4讲 利用性质计算行列式
1.2 行列式的性质
本讲主要内容
利用性质计算行列式 小结与思考题
本讲重点、难点
重点：利用性质计算行列式 难点：性质的证明
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式 我们知道，上（下）三角形行列式等于
主 对角线上元素的乘积. 实际上，一般的行 列式 可以利用性质尤其是运算ri+krj (或ci+kcj) 将其化 为上（下）三角形行列式，从而算得 行列式的 值．
下面举例说明如何运用行列式的性质将行 列式化为上三角形行列式进行计算. 在计算过程 中，所用方法步骤不唯一，但结果一定相同.
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1 2 3 4
例1.2.1
计算四阶行列式D
2 1
3 2
4 5
7 8.
1 3 5 10
1 2 3 4
解 D 0 1 2 1 r4 r2
0 0 2 4 0 1 2 6
1 2 3 4 0 1 2 1 10. 0 0 2 4 00 0 5
1.2 行列式的性质
线性代数与空间解析几何
第1章 行列式及其计算
本章主要内容
1.1 n阶行列式 1.2 行列式的性质 1.3 行列式按行（列）展开 1.4 克莱姆（Cramer）法则
1.2 行列式的性质 本节主要内容
行列式的性质 利用性质计算行列式
1.2 行列式的性质
本节基本要求
掌握行列式的6条基本性质 掌握利用性质将行列式化为上三角形的方法和技巧 了解性质的证明
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
利用本例题的结论, 还可以证明：
a11 a1k c11 c1n
(1) ak1
akk
0
ck1 b11
a11
ckn
b1n
ak1
a1k b11
akk bn1
b1n .
bnn
bn1 bnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
2. 利用性质计算行列式
注意:

1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒
. 例如
x y r1r2 x z yw r2r1 x z yw ;
zw
zw
x y
x y r2r1 x y r1r2 z w .
z w zx w y zx w y
因此，当运算次序不同时，所得结果可能不同. 忽
略前一次运算作为基础，就 出错.例如
z w zx w y zx w y
2.还要注意ri+rj与 rj+ri 的区别,不能套用加法交换律, ri krj 也不能写成 krj ri .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
a11 a1k
0
例1.2.3
设D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
1.2 行列式的性质
（二）思考题： 计算下面4阶行列式
a2
1 a2
a
1 a
1
D
b2
1 b2
c2
1 c2
b c
1
b 1
1
已知 abcd 1.
c1
d2
1 d2
d
1 d
1
1.2 行列式的性质
作业
P16-17 1(2) (4); 3(2)
1.2.2 利用性质计算行列式
3111
例1.2.2 计算四阶阶行列式 D 1 3 1 1 .
1131 1113
解 将第2、3、4行都加到第一行得
6666
1111
D
r r r r
1234
1
3
1
1
r1 6 6 1
3
1
1
1131
11 3 1
1113
11 1 3
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
a11 a1k
b11 b1n
D1
, D2
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明：D D1D2 .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
证明：利用ri+krj , 把D1化为下三角形行列式
p11
0
D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
利用运算ci+kcj，把D2化为下三角形行列式
利用本例题的结论, 还可以证明：
a11 a1k
O
(2) b11
b1n
ak1 c11
akk c1k
bn1 bnn cn1 cnk
a11 a1k
b11 b1n
(1)kn
ak1 akk
bn1 bnn
1.2 行列式的性质
（一）小结： 1.计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式, 从而算得行列式的值．