1988年全国统一高考数学试卷(文科)

1988年全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）
A．1B．﹣1 C．i D．﹣i
2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）
A．点P在直线L
B．点P在圆M上，但不在直线L上
上，但不在圆
M上
D．点P既不在直线L上，也不在圆M上
C．点P既在圆M
上，又在直线
L上
3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）
A．7个B．8个C．6个D．5个
4．（3分）函数y=a x（0＜a＜1）的图象是（）
A．B．C．D．
5．（3分）已知椭圆方程，那么它的焦距是（）
A．6B．3C．D．
6．（3分）在复平面内，与复数z=﹣1﹣i的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）
A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104
8．（3分）（2014•漳州二模）函数的最小正周期是（）
A．B．C．2πD．5π
9．（3分）（2014•济南二模）的值等于（）
A．B．C．D．
10．（3分）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（ ） A ． B ． C ． a =1 D ． a =﹣ 1
11．（3分）（2009•湖北）函数的反函数是（ ）
A ． B
． C ． D ．
12．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ）
A ． 相交直线
B ． 平行直线
C ． 不互相垂直的异面直线
D ． 互相垂直的异
面直线
13．（3分）函数在闭区间（ ）
A ．
上是增函数 B ．
上是增函数 C ． [﹣π，0]上是增函数
D ．
上是增函数
14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ． C 32C 1973种 B ． C 32C 1973+C 33C
1972
种
C ． C 2005﹣C 1975种
D ． C 2005﹣
C 31C 1974种 15．（3分）已知二面角α﹣AB ﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tanθ的值等于（ ） A ． B ． C ．
D ．
二、解答题（共6小题，满分75分） 16．（20分）（1）求复数的模和辐角的主值．
（2）解方程9﹣x ﹣2•31﹣x =27． （3）已知
，求
的值．
（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
（5）求．
17．（10分）证明：cos3α=4cos3α﹣3cosα．
18．（10分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．
19．（11分）在双曲线x2﹣y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为．20．（12分）解不等式
21．（12分）一个数列{a n}：当n为奇数时，a n=5n+1；当n为偶数时，求这个数列的前2m 项的和（m是正整数）．
1988年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（ ）
A ． 1
B ． ﹣1
C ．
i D ． ﹣i
考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 根据复数的计算方法，可得
的值，进而可得
=（﹣i ）2，可得答案．
解答：
解：根据复数的计算方法，可得=
=﹣i ，
则
=（﹣i ）2=﹣1，
故选B ．
点评： 本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．
2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（ ） A ． 点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ． 点P 在圆M
上，但不在直线L 上 C ． 点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ． 点P 既不在直
线L 上，也不在圆M 上
考点： 点与圆的位置关系． 分析： 点P 代入直线方程和圆的方程验证即可． 解答： 解：点P 坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P 的坐标为（2，1），适合L 的方程，即2+1
﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M 的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A 、B 、D 不正确． 选项C 正确． 故选C ．
点评： 本题是基础题，考查点的坐标适合方程． 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个
考点： 子集与真子集． 分析： 集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 解答： 解：集合{1，2，3}的子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个． 故选B ．
点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集
合M 的子集共有2n 个．
4．（3分）函数y=a x（0＜a＜1）的图象是（）
A．B．C．D．
考点：指数函数的图像与性质．
专题：数形结合．
分析：题目中条件：“0＜a＜1”，对指数函数的图象走向起着决定性的作用，在此条件下，指数函数是减函数．从而解决问题．
解答：解：∵函数y=a x是指数函数，
且∵0＜a＜1，
∴它的图象过点（0，1），
且在R上是减函数．
故选B．
点评：本题考查指数函数的图象，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质．
5．（3分）已知椭圆方程，那么它的焦距是（）
A．6B．3C．D．
考点：椭圆的简单性质．
分析：已知椭圆方程，我们便可以直接从方程中解读出椭圆中基本参量的数值；然后通过椭圆中a、
b、c之间的等量关系，即可解出c，进而得到2c，即该椭圆的焦距．
解答：解：依题意得，椭圆的长轴与x轴重合，则有a2=20，b2=11，
又∵在任意椭圆中有a2=b2+c2，从而c2=a2﹣b2=20﹣11=9（c＞0），解得c=3．
则该椭圆的焦距即2c=2×3=6，
故选择A．
点评：这道题目是椭圆中的基本题目，考查了椭圆中各个参量的意义以及在方程中相应的相关表示，以及椭圆中重要的基本关系a2=b2+c2．同学们要注意掌握椭圆中的基本知识，这也是对进一步
研究椭圆做了铺垫．
6．（3分）在复平面内，与复数z=﹣1﹣i的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
分析：注意到共轭复数的特征是实部相等，虚部互为相反数，即可解答．
解答：解：=﹣1+i，则所对应的点在第二象限，故选B．
点评：本题是对基本概念的考查．
7．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）
A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题．
分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．
解答：解：展开式的通项为
令10﹣r=6得r=4
∴展开式中x6的系数是9C104
故选项为D
点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
8．（3分）（2014•漳州二模）函数的最小正周期是（）
A．B．C．2πD．5π
考点：三角函数的周期性及其求法．
分析：
根据T=可得答案．
解答：
解：T==5π
故选D．
点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．
9．（3分）（2014•济南二模）的值等于（）
A．B．C．D．
考点：运用诱导公式化简求值．
分析：先根据诱导公式一将角度变为正值，再将角进行缩小．
解答：解：∵sin（﹣）=sin（﹣+4π）=sin=sin（）=sin=
故选A．
点评：本题主要考查运用三角函数的诱导公式化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．
10．（3分）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（）
A．B．C．a=1 D．a=﹣1
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
分析：直线平行（不重合）有两种情况：先判断直线有无斜率，有斜率时则斜率相等且不过相同点，无斜率时在x轴上的截距不相等．
解答：解：直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合），易知ax+y=a+1有斜率，斜率k=﹣a，直线x+ay=2a+2的斜率为；
所以﹣a=；所以a=±1，当a=﹣1时直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1重合，所以a=1
故选C
点评： 平行的充要条件有斜率和无斜率两种情况，不可漏掉无斜率情况；当然还可用系数之比来解．
11．（3分）（2009•湖北）函数的反函数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 反函数．
专题： 计算题．
分析： 按照反函数的定义，直接求出函数的反函数．
解答：
解：可得2xy ﹣y=x ﹣2， 所以
把x ，y 互换，
它就是原函数的反函数 故选A ．
点评： 解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x 、y 换位，2、解：解出y ，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
12．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ） A ． 相交直线 B ． 平行直线 C ． 不互相垂直的异面直线 D ． 互相垂直的异
面直线
考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 分析： 首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；
然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．
解答： 解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，
所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′， 所以A'D'与BB′异面；
又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，
所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直． 故选C ．
点评： 本题考查异面直线的定义及其夹角．
13．（3分）函数在闭区间（ ）
A ．
B ．
上是增函数上是增函数
C．[﹣π，0]上是
增函数
D．
上是增函数
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：先根据正弦函数的单调性求出单调区间，然后对选项进行验证即可得到答案．
解答：解：令，解得
∴原函数的单调增区间为（k∈Z）
同理单调减区间为（k∈Z）
当k=0时，为增函数
故选B．
点评：本题主要考查正弦函数的单调性．属基础题．
14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）
A．C32C1973种B．C32C1973+C33C
197
2种
C．C2005﹣C1975种D．C2005﹣
C31C1974种
考点：组合及组合数公式．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．
解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，
“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，
则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，
故选B．
点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的
距离为4，那么tanθ的值等于（）
A．B．C．D．
考点：平面与平面之间的位置关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：先作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，得到∠CED是二面角α﹣AB﹣β的平面角，在直角三角形CED中求出∠CED的正切值即可．
解答：解：如图，作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，
由条件可知，∠CED=θ，CD=3，CE=4
∴ED=，tan=，
故选C
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
二、解答题（共6小题，满分75分）
16．（20分）（1）求复数的模和辐角的主值．
（2）解方程9﹣x﹣2•31﹣x=27．
（3）已知，求的值．
（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，
求所得旋转体的体积．
（5）求．
考点：复数的代数表示法及其几何意义；有理数指数幂的运算性质；极限及其运算；三角形的形状判断；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
分析：本题分别涉及到复数，指数方程，三角函数，立体几何，极限等知识体系．
解答：解：（1）由题意，|﹣i|=2，
又=
∴arg（）=
（2）设3﹣x=t，（t＞0）则原方程化为
t2﹣6t﹣27=0
∴t=9或t=﹣3（舍去）
即3﹣x=9
∴x=﹣2．
（3）∵sinθ=，
∴tanθ=
∴
∴tan=﹣3或
又
∴．
（4）如图，由题意，旋转而形成的是以为半径的圆为底形成的同底的两个圆锥．
∴．
（5）原式==3．
点评：本题考查到的知识点比较多，需要综合的能力解决相关问题．
17．（10分）证明：cos3α=4cos3α﹣3cosα．
考点：三角函数恒等式的证明．
分析：把3α化为2α+α的形式，用两角和的余弦公式分解，两边约分，移项，用同角的三角函数关系整理，原式得证，本题可采用分析法来证．
解答：解：要证cos3α=4cos3α﹣3cosα成立，
只要证cos2αcosα﹣sin2αsinα=4cos3α﹣3cosα成立，
只要证cos2α﹣2sin2α=4cos2α﹣3成立，
只要证cos2α=2cos2α﹣1成立，
而由余弦的二倍角公式知上式成立，
故原等式得证．
点评：从一边开始证明它等于另一边，一般由繁到简，这类方法的依据是相等关系的传递性“a=b，b=c，则a=c”．证明左、右两边等于同一个式子．这类方法的依据是“等于同量的两个量相等”，即
“a=c，b=c，则a=b”，它可由相等关系的传递性及对称性“a=b则b=a”推出．也可用分析法来证．18．（10分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用
α表示∠ASD，求sinα的值．
考点：三垂线定理．
专题：作图题；证明题．
分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．
解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而
连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，
所以
因此，
点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．
19．（11分）在双曲线x2﹣y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：
由题意，点P（a，b）是方程组的解，并且a＞0．求出这个方程组的解即得到点P．
解答：
解：由题意，点P（a，b）是下述方程组的解：，并且a＞0．由（1）式
得a2=1+b2，因为a＞0，
所以，从而a＞b，于是由（2）式得
a﹣b=2（3）把（3）式代入得（b+2）2﹣b2=1，
解得
∴所求的点P的坐标为
点评：合理运用双曲线的性质，能够准确求解．
20．（12分）解不等式
考点：对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．
专题：计算题；压轴题．
分析：等式可以转化为根据指数函数的单调性进一步可转化为但为了保证式子有意义，对数式的真数部分必须大于0，即故原不等式可转化为不等式组．
解答：
解：原不等式等价于
当x＞0时，上述不等式组变成
解得：
当x＜0时，上述不等式组变成
解得
所以原不等式解集为
点评：对数不等式，其解法是将不等号两边化为同底的指数式，然后根据相应的指数函数的性质解答，但在解答过程中要注意，要始终保证真数部分的式子大于0，即让真数式有意义．
21．（12分）一个数列{a n}：当n为奇数时，a n=5n+1；当n为偶数时，求这个数列的前2m
项的和（m是正整数）．
考点：数列的求和．
专题：压轴题．
分析：由题意分析得出这个数列的奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，再利用分组求和法求出S2m
解答：解：因为a2k+1﹣a2k
=[5（2k+1）+1]﹣[5（2k﹣1）+1]=10，
﹣1
是公差为10的等差数列
所以a1，a3，a5，a2m
﹣1
因为，
所以a2，a4，a6，a2m是公比为2的等比数列
从而数列{a n}的前2m项和为：S2m=（a1+a3+a5+…+a2m﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2m）
=+
=5m2+m+2m+1﹣2．
点评：本题考查了分段数列及分组求和的相关知识点，属于典型题型，常规方法的考查．。