高考数学二轮复习(浙江专用)训练：专题四 立体几何 第1讲 Word版含解析

一、选择题
1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l
D.m ⊥n
解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确.故选C. 答案 C
2.(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.13＋23π
B.13＋23π
C.13＋26π
D.1＋2
6π
解析 由三视图知，半球的半径R ＝2
2，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝1
3＋26π，故选C.
答案 C
3.(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4π
B.9π
2
C.6π
D.32π3
解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最
大直径为3，V的最大值为9π2.
答案 B
4.(2014·全国Ⅰ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实
线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最
长的棱的长度为()
A.6 2
B.4 2
C.6
D.4
解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面
体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝（42）2＋22＝
6，选C.
答案 C
5.已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()
A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解析对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD. 答案 B
二、填空题
6.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD
内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足.设AK ＝t ，则t 的取值范围是________.
解析 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ， ∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .
容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点.所以t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1
7.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是________.
解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表
＝2×12×2×1＋2×3
4×
(2)2＝2＋ 3. 答案 2＋ 3
8.(2016·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________.
解析 设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设O 是AC 中点，由已知得AC ＝6，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，62，0，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫302，0，0
， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，－62，0，作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝
CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306，因此可设D ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－306cos α，－63，30
6sin α， 则BD ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0，1，0)，所以cos θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪BD →·n |BD →|·|n |＝639＋5cos α
，
所以cos α＝－1时，cos θ取最大值6
6. 答案66 三、解答题
9.在正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，满足AE ∶EB ＝CF ∶F A ＝CP ∶PB ＝1∶2(如图1)，将△AEF 折起到△A 1EF
的位置，连接A 1B ，A 1C (如图2).
(1)求证：FP ∥平面A 1
EB ； (2)求证：EF ⊥A 1B .
证明 (1)∵CP ∶PB ＝CF ∶F A ，∴FP ∥BE ， 又BE ⊂平面A 1EB ，FP ⊄平面A 1EB ， ∴FP ∥平面A 1EB .
(2)不妨设正三角形ABC 的边长为3， 则AE ＝1，AF ＝2.又∵∠EAF ＝60°，
∴EF 2＝AE 2＋AF 2－2AE ·AF cos ∠EAF ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴EF ＝3.
在△AEF 中，有AF 2＝AE 2＋EF 2，∴EF ⊥AE ， 即EF ⊥AB .则在题图2中， 有EF ⊥A 1E ，EF ⊥BE ，
又A 1E ，BE ⊂平面A 1BE ，A 1E ∩BE ＝E ，
∴EF ⊥平面A 1EB ，又∵A 1B ⊂平面A 1EB ，∴EF ⊥A 1B .
10.(2017·江南十校联考)如图1，等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，CE ⊥AD ，AD ＝3BC ＝3，CE ＝1.求△CDE 沿CE 折起得到四棱锥F －ABCE (如图2)，G 是AF 的中点.
(1)求证：BG ∥平面ECE ；
(2)当平面FCE ⊥平面ABCE 时，求三棱锥F －BEG 的体积. (1)证明 如图，取EF 的中点M ，
连接GM 、MC ，则GM 綊12AE .
∵等腰梯形ABCD 中，BC ＝1，AD ＝3， ∴BC 綊1
2AE .
∴GM 綊BC ，∴四边形BCMG 是平行四边形， ∴BG ∥CM .
又CM ⊂平面FCE ，BG ⊄平面FCE ，
∴BG ∥平面FCE .
(2)解∵平面FCE ⊥平面ABCE ，平面FCE ∩平面ABCE ＝CE ， EF ⊂平面FCE ，FE ⊥CE ，∴FE ⊥平面ABCE . 又V F －BEG ＝V B －GEF ＝12V B －AEF ＝1
2V F －ABE ， S △ABE ＝1
2×2×1＝1， ∴V F －BEG ＝12×13×1×1＝1
6.
11.如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE ⊥BE ；
(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .
(1)证明∵AD ⊥平面ABE ， AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ， ∵AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥BC .
又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴AE ⊥BF .
∵BC ∩BF ＝B ，BC ，BF ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥平面BCE . 又BE ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥BE .
(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝1
3CE . ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE . 同理，GN ∥平面ADE .
又∵GN∩MG＝G，GN，MG⊂平面MGN，
∴平面MGN∥平面ADE.
又MN⊂平面MGN，
∴MN∥平面ADE.
∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.。