由递推公式求通项公式的方法

由递推公式求通项公式的方法

一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)

此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有

21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-

将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++- ，进而求解。 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求

注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错. 变式练习：已知{}n a 满足11=a ,)

1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式。

二、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)

此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为

1()n n

a f n a +=，从而就有

321

2

1

(1),

(2),,

(1)n n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成1

(1)(2)(1)n a f f f n a =⋅⋅⋅- ，进而求解。

例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)3

21

n n n a a a n n --==⋅≥+，求数列{}n a 的通项公式。

变式练习：在数列{}n a 中, n a >0,2

2

1112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .

三、q pa a n n +=+1型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设)(1m a p m a n n +=++，展开整理

1n n a pa pm m

+=+-，比较系数有p m m b -=，所以

1

b m p =

-，所以1

n b a p +

-是等比数列，公比为p ，首项为11

b a p +-。二是用作差法直接构造，1n n a pa q +=+,

1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。

例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。 变式练习：已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.

注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.

四、()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数）

此类数列可变形为

()1

1

1++++

=

n n

n n n p

n f p

a p

a ，则⎭

⎬

⎫

⎩⎨

⎧n n p a 可用累加法求出，由此求得n a . 例4已知数列{}n a 满足1

111,32n n n a a a ++==+,求n a .

注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法. 变式练习： 已知{}n a 满足1

1122,2+++==n n n a a a ，求n a 。

五、C

Ba

Aa a n

n

n +=

型数列（C B A ,,为非零常数）

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1n n a pa q +=+型数列。

例6．已知数列{}n a 满足1122,2

n n n a a a a +==

+,求n a .

变式练习：数列{}n a 中，1

111

2,22

n n n n n

a a a a +++⋅==+，求{}n a 的通项。

六、n n n qa pa a +=++12型数列（,p q 为常数）

这种类型的做法是用待定糸数法设()n n n n a a a a λχλ-=--=+112构造等比数列。 例7．数列{}n a 中，,3,221==a a 且()2,211≥∈+=++-n N n a a a n n n ，求n a .