广义函数与数学物理方程习题解答（二）

1 函数与广义函数的卷积 31
第３章 卷积
1. 函数与广义函数的卷积
1. 若()(),x y f x y ∈Ω×ΩD ，证明积分和
(),i
i
i
f y x
ξ∆∑在()y ΩD 中收敛于
(),d f x y x ∫。

固定任意重指标α，0y y K ∈，有
()()00
lim
,,d i
i i
T f y x f x y x ααξ∆→∂∆=∂∑∫，
由于y f α∂是紧集x y K ⊂Ω×Ω上的连续函数，上式右方即是
()0,d y f x y x α∂∫。

记
()(),d g y f x y x =∫， 对任意0ε>，存在00δ>，使得只要0T δ∆<，就有
()()00,y i i y i
f y x
g y αα
ξε∂∆−∂<∑， 由y f α∂、y g α
∂的一致连续性，存在0δ>，使得对任意0y y δ−<，成立
()()0
,,y
i
i
y
i
i
i
i
f y x f y x
ααξξε∂∆−∂∆<∑∑，
()()0y y g y g y αα
ε∂−∂<，
这时又有
第３章 卷积
32
()()
()()()()()()
0,,,,3y
i
i
y
i
y
i
i
y
i
i
i
i
y
i
i
y
i
y y f y x g y f y x f y x
f y x
g y g y g y αααααααα
ξξξξε
∂∆−∂≤
∂∆−∂∆+
∂∆−∂+
∂−∂<∑∑∑∑。

所有()0,B y δ组成了y K 的一个开覆盖，由于y K 是紧致集，存在它的一个有限子覆盖
,1,n B n N =⋯，
令min n δδ=，则当T δ∆<，对任意y y K ∈，成立
()(),3y
i
i
y
i
f y x
g y ααξε∂∆−∂<∑，
这就是()(),y y i i y i
f y x
g y ααα
ξ∂∂∆∂∑⇉。

2. 设()S ′∈R E ，()T ∈R E ，定义S 的拉普拉斯变换为
()(),S S e λλ−⋅=⋅L ，
证明S T ∗的拉普拉斯变换为
()()()S T S T λλλ∗=⋅L L L 。

由以下计算可知这结论成立，
())(
)()()
()()()()()
()
()()()()
,,d ,d ,d ,,t
S T t t t s S T S T t e S T t e t
S T t e t
S e
T t e
t S e T s e λλλλτλτ
λτλλττττττττλλ−∗−−−−−−−=
∗=−=−=−−=⋅=⋅∫∫∫L L L 。

2 广义函数的卷积 33
3. 设()n f ′∈R E ，g 是一个m 次多项式，证明f g ∗也是一个m 次多项式。

显然对任意n m >，()0n f g ∂∗=，所以f g ∗也是一个m 次多项式。

2. 广义函数的卷积
1. 证明如果广义函数1u ，2u 的支集都在前向光锥中，则12u u ∗的支集也在前向光锥中。

前向光锥C +指由下式定义的集合
{}42222
41234:0,0C x x x x x x +=∈−−−≥≥R 。

首先注意到
2222
41232222241234
2x x x x x x x x x x −−−≥⇔≥+++⇔≥，
任取,x y C +∈，有
≤
≤≤=
，
从而
12supp supp u u C ++⊂，
又因为
1212supp supp supp u u u u ∗⊂+，
第３章 卷积
34所以12u u ∗的支集也在前向光锥中。

2. 计算卷积（x ∈R ） 1) x x e e −−∗， 2) 2
2
ax ax e e −−∗， 3)
2
2
ax ax xe xe −−∗。

1）0t ≤：
()
2d d d 2
t
t
t
t
t t t
e e
e
e e
e e τ
τ
τττ
τττ−−−−−−−∞
−∞
−∞⋅=⋅==∫
∫∫，
()0
d d d t t t t t
t
t
e e e e e te τττττττ−−−−−⋅=⋅==−∫∫∫，
()
20
d d d 2
t
t t t
e e
e
e e
e
e
τ
τ
τττ
τττ+∞
+∞
+∞
−−−−−−−⋅=⋅==∫
∫∫
；
0t >：
()
2d d d 2
t
t t t
e e
e
e e
e e τ
τ
ττ
ττττ−−−−−−−−∞
−∞−∞⋅=⋅==∫
∫∫，
()0
d d d t
t
t
t t t t e
e
e e e te τ
τ
τττττ−−−−−−−−⋅=⋅==∫∫∫，
()
2d d d 2
t
t t t
t
t
t
e e
e
e e
e
e
τ
τ
ττ
τ
τττ−+∞
+∞
+∞
−−−−−−−⋅=⋅==∫
∫∫
； 综上，
()
()()()()1,011,0
t
x
x
t
t
t e t e
e
t t e t e t −−−− −≤ ∗==+ +> 。

2）((٩(//Д//) )) 3）(`ωω･･)ゞ
3. 计算区间[]1,1−的特征函数
2 广义函数的卷积 35
()1,1
0,
1
x f x x ≤ =
> 的n 次卷积幂()n
f f f f ∗=∗∗∗⋯（n 个因子），同时计算(
)
d d n
f
x
∗并问如何从后者推导
出前者？
容易明白()f x 可以写为
()()()11f x H x H x =+−−，
得
()()d 11d f
x x x
δδ=+−−， 经计算得到
()()()()()()()()()()()222,
331313,f f x x x x f f f x x x x x δδδδδδδ′′∗=+−+−′′′∗∗=+−++−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
用数学归纳法易证
()
()()012n
n
k k n f x n k k δ=
′∗=−−− ∑， 从而有
()()()11
22d d n x
y y n
n
n n n
f f y y τ−−−−∞−∞−∞′∗=∗∫∫∫⋯⋯。

4. 设u ，()m x v ′∈R D ，g ，()n y h ′∈R D ，而且u 和g 具有紧支集，于是u v ∗与g h
∗皆存在。

证明：
1) 可按下式定义u 与g 的张量积(),m n
x y u g +′⊗∈R D ：
()()()()()0,,,,,,,m n
x y u g u x g y x y C ϕϕϕ∞+⊗⋅⋅=∀∈R ；
2) ()()m n x y ⊗R R D D 在(),m n
x y +R D 中稠密；
3) 张量积运算满足交换律，即f g g f ⊗=⊗；
4)
()()u g v h ⊗∗⊗也存在，且()()()()u g v h u v g h ⊗∗⊗=∗⊗∗。

第３章 卷积
361）对任意(),m n
x y ϕ+∈R D ，
令()()(),,x g y x y ψϕ=，由引理3.1.2，()()0m x C ψ∞∈R ，且有()()(),,x x x g y x y αα
ψϕ∂=∂。

因为()n g ′∈R D ，对任意紧集y K ，存在0y C >，整
数0y k >，使得
()()sup ,y
y x y
y
x
K k x C x y αβαβ
ψϕ≤∂≤∂∂∑； 对任意紧致集m x K ⊂R ，存在0x C >，整数0x k >，成立
()(),
,sup sup ,x
x y
x x y x
x
x
y
x y K K K k k k u C x C C x y ααβ
α
αβ
ψψϕ×≤≤≤≤∂≤∂∂∑∑，
所以(),m n u g u ψ+′⊗=∈R D 。

2）对任意()m n ϕ+∈R D ，存在紧集x y K K ×，使supp x y K K ϕ⊂×。

由第一逼近定理，存在多项式序列(),i P x y ，于x y K K ×中一致收敛于ϕ，并且i P α∂也在x y K K ×上一致收敛于a ϕ∂。

每一个(),i P x y 形如
()()1
i
N j
j
j p x q y =∑，
取截断函数x χ，y χ，使得1x
x
K χ≡，1y
y
K χ≡，令
()(),m n j x j j y j p p q q χχ′′=∈=∈R R D D ，
易知序列
()()()1
,i
N i j j j Q x y p x q y =′′=∑
在()m n +R D 上收敛于ϕ，这说明()()m n ⊗D D R R 在()m n +D R 中稠密。

3）对任意()m i ϕ∈R D ，()n i ψ∈R D ，有
,,i i i i i
i
f g g f ϕψϕψ⊗=⊗∑∑，
由()()m n ⊗D D R R 在()m n +D R 中的稠密性知结论成立。

3 物理学中的卷积 37
4）依照3）的证明方法。

5. 证明 1) 平移算子h τ与卷积乘算子u ∗（对任意u ′∈E ）是可交换的，即
(),h h u v u v v ττ′∗=∗∀∈D ；
2)
()h u x h u τδ=−∗。

1）对任意ϕ∈D ，
()()()()
()()()()()(),,,,,,,,h h h h u v u x v y x y h u x v y x y u x v y x y u v τϕϕτϕτϕτϕ
−∗=++=+=+=∗。

2）对任意ϕ∈D ，
()()
()()
()()()()()()()()()
,,,,,,,,h h u u x x u x x h u x z x z h u x y h x y x h u x x τϕτϕϕδϕδϕδϕ−==+=++=−+=−∗。

3. 物理学中的卷积
1. 证明凡平移可交换的线性连续算子A 都是卷积算子。

作映射:f →R D ，使
()(),0f A ϕϕ∨
=，
由算子A 的连续性可知f ′∈D ，对任意h ∈R ，
()()()()()()()()()()000h h h A h A A f f h ϕτϕτϕτϕϕ−−−===∗=∗，
第３章 卷积
38由此便知结论成立。

证明过程中用到了
()(),0f f ϕϕ∨
=∗。