概率论与数理统计(8)假设检验

概率论与数理统计(8)假设检验
第八章假设检验
第一节假设检验问题
第二节正态总体均值的假设检验
第三节正态总体方差的检验
第四节大样本检验法
第五节 p值检验法
第六节假设检验的两类错误
第七节非参数假设检验
第一节假设检验问题
前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。

由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.
下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.
一、统计假设
某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了
8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？
请看以下几个问题：
问题1
引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．
若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．
一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？
问题2
记H0: =10-4，H1: ，则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．
某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个，测得其寿命值（样本），如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？
记
问题3
则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．
某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？
记
问题4
则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．
自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？
问题5
记服从指数分布，不服从指数分布．
则问题也等价于检验H0成立，还是H1成立．
在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设．
如上述各问题中的H0和H1都是假设.
利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。

在总体的概率分布已知情形下，对分布中的未知参数作假设并进行检验，称为参数假设检验．
若总体的分布未知，对总体的分布形式或参数作假设并进行检验，称为非参数假设检验．
如上述问题1～4为参数假设检验问题，问题5为非参数假设检验问
题．
值得注意的是，当给定原假设后，其对立假设的形式可以有多个，如H0: 其对立形式有
在假设检验问题中，常把一个被检验的假设称为原假设或零假设，而其对
立面就称为对立假设．
上述各问题中，H0为原假设，H1为对立假设．
当H0不成立时，就拒绝接受H0而接受其对立假设H1．
选择哪一种需根据实际问题确定，因而对立假设往往也称为备
选假设，即在拒绝原假设后可供选择的假设.在假设检验问题中，必须同时给出
原假设和对立假设.在参数假设中，不论是原假设还是对立假设，若其中只含有
一个参数值，则称为简单假设，否则称为复合假设，如H0: ，
H1: 为简单假设；而H0: ，
H1: 为复合假设．
二、假设检验的思想方法
如何利用从总体中抽取的样本来检验一个关于总体的假设是否
成立呢？由于样本与总体同分布，样本包含了总体分布的信息，因而也包含了假
设H0是否成立的信息，如何来获取并利用样本信息是解决问题的关键.统计学中
常用“概率反证法”和“小概率原理”来解决这个问题．
小概率原理
概率很小的事件在一次试验中不会发生.如果小概率事件在一次试验中竟然
发生了，则事属反常，定有导致反常的特别原因，有理由怀疑试验的原定条件不
成立．
概率反证法
欲判断假设H0的真假，先假定H0真，在此前提下构造一个能说明问题的小概率事件A．试验取样，由样本信息确定A是否发生，若A发生，这与小概率原理相违背，说明试验的前定条件H0不成立，拒绝H0，接受H1；若小概率事件A 没有发生，没有理由拒绝H0，只好接受H0．
反证法的关键是通过推理，得到一个与常理（定理、公式、原理）相违背的结论．“概率反证法”依据的是“小概率原理”．那么多小的概率才算小概率呢？这要由实际问题的不同需要来决定．以后用符号记小概率，一般取
等．
在假设检验中，若小概率事件的概率不超过，则称为检验水平或显著性水平．
已知某炼铁厂的铁水含碳量X～N(4.55,0.062)，现改变了工艺条件，又测得10炉铁水的平均含碳量，假设方差无变化，问总体的均值是否有明显改变？（取 =0.05）
下面举例说明以上检验的思想与方法。

例1
则与4.55应很接近
事件较大,待定)不太可能发生
解
由问题提出假设H0: ，H1:
若H0成立
由于未知
用其无偏估计来代替
用来衡量与4.55之间的差异
如果较大
则可认为
所以在H0成立的前提下
即P(A)很小
令P(A)= ，确定9><>d是解决问题的关键
由此确定了小概率事件
由可知
因此在H0成立的前提下，统计量
显然
因此
即
由标准正态分布上分位点的定义可知
由 =0.05，得
由于
说明小概率事件A未发生，因此接受假设H0
即认为总体均值等于4.55
在随机试验中，小概率事件有许多，关键是要找一个能说明问题的小概率事件．
,由P(A)= 同样可确定<>d
本例中，若取
最后的检验将出现这样一种倾向
越与4.55接近，越要拒绝
这样的判别方法显然不合理，错误在于：在H0成立的前提下，这样取小概率事件A不合理．
在本例中，若设
则A：( X1，X2， (X10)
<>D是使小概率事件A发生的所有10维样本值（x1，…，x10）构成的集合则拒绝接受H0等价于
一般地，若拒绝接受
其中<>D是n维空间Rn中的区域，则称<>D为假设H0的拒绝域或否定域、临界域.
检验中所用的统计量称为检验统计量
样本观测值（x1，x2， (x10)
样本观测值（x1，x2，…，xn）
称<>D的补集为H0的接受域
执行统计判决:求统计量的值，并查表求出有关数据，判断小概率事件是否发生，由此作出判决.
提出假设:根据问题的要求，提出原假设H0与对立假设H1，给定显著水平及样本容量n．
总结前面例1处理问题的思想与方法，可得处理参数假设检验问题的步骤如
下：
（1）
（2）
（3）
确定拒绝域:用参数的一个好的估计量 (通常取为的无偏估计)来代替 ,分析拒绝域<>D的形式，构造检验统计量g( ),在H0成立的前提下确定g( )的概率分布,通过等式确定<>D.
其中确定拒绝域是关键.拒绝域的形式一般由原假设与对立假设共同确定，对同一原假设H0，不同的对立假设所得到的H0的拒绝域可能不同．请看下例。

例2
数据同前面例1，问总体的均值是否明显大于4.55？
在统计学中，只有当与4.55的偏差大到一定程度时才可认为
在本例中，拒绝H0时接受的是，因而H0的拒绝取为较合理
此问题的合理假设为
解
的无偏估计是的一个很好的近似值
用
代替
在例8.1中，拒绝H0时接受的是H1:
两个数的偏差用其差的绝对值来衡量
因而其拒绝域设为
较合理
与例1中的拒绝域不同
在H0成立的条件下,事件
发生的概率应很小
设P（A）= ，统计量
由
得
所以拒绝域为
所以判决结果为：接受H0
三、参数假设检验与区间估计的关系
参数的区间估计则是找一个随机区间I，使I包含待估参数是个大概率事件．
参数假设检验的关键是要找一个确定性的区域(拒绝域)
，使得当H0成立时，事件
是一个小概率事件
一旦抽样结果使小概率事件发生，就否定原假设H0
对此两类问题，都是利用样本对参数作判断：一个是由小概率事件否定参数属于某范围，另一个则是依大概率事件确信某区域包含参数的真值.两者本质上殊途同归，一类问题的解决，导致解决另一类问题类比方案的形成．为的置信区间
如设总体
已知，给定容量n的样本
则参数的置信度为
样本均值为
的置信区间为
假设检验问题
的拒绝域为
接受域为
时，接受
也就是说，当
即在区间
内，此区间正是的置信度
习题8－1
1．何谓统计假设？
2．试述普通反证法与概率反证法的异同点．
3．试述检验统计假设的步骤．
4．设总体，为未知参数，
为其一个样本，对下述假设检验问题取拒绝域为：
试求常数c，使得该检验的显著水平为0.05．
m
第二节正态总体均值的假设检验
本节讨论有关正态总体的均值的假设检验问题．
构造合适的检验统计量并确定其概率分布是解决检验问题的关键．
若检验统计量服从标准正态分布（分布，F分布）
则所得到的相应检验法称为
U 检验法( 检验法，F 检验法)
一、 U 检验法（方差已知）
在方差已知的条件下，对一个正态总体的均值或两个正态总体均值差的假设检验常用U 检验法．
若X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本
设总体
已知，
给定显著水平检验以下不同形式的假设问题：
下面我们来求H03的拒绝域
前两个为简单假设检验问题，我们已在例1及例2中求出其拒绝域分别为和
其中
（1）
H03的拒绝域形式为
等价形式为
（k待定）
若H03成立，则
要控制
只需令
由此得
此处
所以H03的拒绝域为
（2）
比较两种假设检验问题：
对于后面将要讨论的有关正态总体的参数假设检验问题也有类似结果．
可以看出尽管两者原假设形式不同，实际意义也不一样，但对于相同的显著水平，它们的拒绝域是相同的。

因此，遇到H03与H13的检验问题，可归结为H02与H12来讨论．
下面求两个正态总体均值差检验的拒绝域。

设总体
X与Y相互独立
已知
从两总体中分别取容量为n1、n2的样本
用，分别表示样本均值、
给定显著水平
检验假设
的无偏估计分别为
显然，H0的拒绝形式应为（k待定）
由于
若H0真，则统计量
由
得
拒绝域为
（3）
例 1 一种燃料的辛烷等级服从正态分布，其平均等级，标准差．现抽取25桶新油，测试其等级，算得平均等级为97.7．假定标准差与原来一样，问新油的辛烷平均等级是否比原燃料的辛烷平均等级偏低？（）
解按题意需检验假设
检验统计量
拒绝域（参阅表8-1）
查正态分布表得
计算统计值
执行统计判决
故拒绝H0，即认为新油的辛烷平均等级比原燃料辛烷的平均等级确实偏低．
二、 t 检验法（方差未知）
设总体
未知
对显著水平检验假设
拒绝域形式
（k待定）
注意到S2是的无偏估计，用S代替
由于未知，现在不能用来作为检验统计量
采用
作为检验统计量
当H0真时，
由
得
所以拒绝域为
（4）
类似可给出假设
的拒绝域为
（5）
对正态总体
关于的各种形式的假设检验的拒绝域列于表8-1．
例 2 一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产的某种品牌的手机的待机时间的平均值至少为71.5小时，一质检部门检查了该厂生产的这种品牌的手机6部，得到的待机时间为
69，68，72，70，66，75
设手机的待机时间，由这些数据能否说明其广告有欺骗消费者之嫌疑？（）
解问题可归结为检验假设
由于方差未知，用t 检验。

检验统计量
拒绝域
计算统计值
查t分布表，得
统计判决
故接受H0，即不能认为该厂广告有欺骗消费者之嫌疑
下面求两个正态总体均值相等性检验的拒绝域。

设总体
独立，
未知
X1，…，Xn1取自总体X
样本方差为
其样本均值为
Y1，…，Yn2取自总体Y
其样本均值为，样本方差为
给定显著水平，检验假设
拒绝域形式为
（k待定）
由第六章第四节例2的结果知：
当H0成立时，统计量
由
得
例 3 对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，得到的
试验数据如下：
方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30，29，32，31
方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31，29，32，28
设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从正态分布，且方差相等．比较两种方法所得金属材料的平均抗拉强度有无显著差异．（）
解记两总体的正态分布为
本题是要检验假设
检验统计量为
拒绝域为
计算统计值
查t分布表，得
统计判决：由于
故拒绝H0
即认为两种热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度有显著差异．
习题8-2
1．已知某炼铁厂的铁水含量在正常情况下服从正态分布N(4.55，10.82)，现在测了5炉铁水，其含碳量为
4.28, 4.40, 4,42, 4.35, 4.37
若方差没有变，问总体均值是否有显著变化？（）2．有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时.为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的
睡眠时间（单位：h）：
26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4
根据资料，用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8h，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂已达到的疗效？（）
3．某单位上年度排出的污水中，某种有害物质的平均含量为0.009%，污水经处理后，本年度抽测16次，得这种有害物质的含量（百分比）为
设有害物质含量服从正态分布，问是否可认为污水经处理后，这种有害物质的含量有显著降低？（）
0.008，
0.007，
0.006，
0.008，
0.009，
0.007，
0.004，
0.007，
0.003，
0.009，
0.010，
0.005，
0.007，
0.009，
0.011，
0.008，
4．某弹壳直径，规定标准为
（mm），（mm）。

某车间新生产一批这种弹壳，已知这批弹壳直径的方差为标准值，但其均值未知，为了检验这批弹壳是否符合要求，抽测9枚弹壳，得直径数据为（单位：mm）：
试在水平之下，检验这批弹壳是否合格．
7.94
7.91
7.93
7.92
7.92
7.93
7.90
7.94
7.92
5．如果一个矩形的宽与长之比等于0.618，称这样的矩形为黄金比矩形，
这种矩形给人良好的感觉，现代的建筑物构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框），甚至司机的驾驶执照、商品的信用卡等都常常采用黄金比矩形.下面列出某工艺品工厂随机抽取的20个矩形的宽与长之比：
设这一工厂生产的矩形的宽与长的比值总体服从正态分布，试检验
H0：μ=0.618，
0.933，
0.576，
0.844，
0.570，
0.553，
0.609，
0.601，
0.668，
0.606，
0.611，
0.628，
0.690，
0.606，
0.615，
0.672，
0.662，
0.670，
0.654，
0.749，
0.693，
6．对某种物品在处理前与处理后取样分析其含脂率如下：
假定处理前后含脂率都服从正态分布，且它们的方差相等，问处理后平均含脂率有无显著降低？（）
0.12
0.20
0.08
0.04
0.19
0.24
0.24
0.00
0.13
0.15
处理后
0.27
0.30
0.12
0.08
0.42
0.66
0.30
0.21
0.18
0.19
处理前
7．从两处煤矿各取一样本，测得其含灰率分别为
设矿中含灰率服从正态分布，问甲、乙两矿煤的含灰率有无显著差异？（）
20.2
16.9
18.2
乙矿
17.4
21.3
23.7
20.8
24.3
甲矿
8．为了鉴定两种工艺方法对产品某性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9对数据如下：
假定两种工艺方法生产的产品的性能指标之差服从正态分布.根据这些数据能否判定不同工艺对产品的该性能指标影响有显著差异？（）
0.89
0.77
0.68
0.59
0.78
0.52
0.21
0.10
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
9．甲、乙两种稻种，为比较其产量，分别种在10块试验田中，每块田甲、乙稻种各种一半。

假定两稻种产量之差服从正态分布，最后获得产量如下（单位：kg）：
问两种稻种产量是否有显著差异？（）
125
133
130 131 128 140 115 118 135 乙种141 144 135 140 148 145 140 136 137 140 甲种10 9
7
6
5
4
3
2
1
编号
10．某食品厂生产袋装食品中含有致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA），该厂开发了一种新生产工艺，下面给出了新老工艺下NDMA的含量（以10万份中的份数计）：
设新老工艺下NDMA的含量服从正态分布
试检验假设
3
1
2
3
1
2
2
1
2
新工艺4
7
6
4
6
5
5
6
5
5
4
6
老工艺
第三节正态总体方差的检验
设总体
未知，样本方差为
给定显著性水平，检验假设
的无偏估计为，
若成立，则比值一般来说应在1附近摆动。

若与1的偏差较大，则拒绝
故可取拒绝域形式为：
或
一、一个正态总体方差的检验
当成立时，统计量
设
为计算方便，将偏大或偏小的概率看作相等
令
由此得
拒绝域为：
或
解
要检验的假设为
检验统计量
拒绝域为
经计算得
查分布表，得
统计判决：
故拒绝，即纱的均匀度有显著变化.
二、两个正态总体方差比的F 检验
由于
要控制
只需令
，即
所以
于是拒绝域为
解
由题意检验假设
检验统计量
拒绝域为
计算统计量
查F 的分布表，得
习题8-3
第四节大样本检验法
在前面讨论的所有假设检验问题中，我们都已知有关统计量的分布，并由此确定拒绝域．
但在许多问题中，很难求得检验统计量的分布，有时即使能求出，使用上也
很不方便（如二项分布参数p的检验问题）．
实际应用中往往求助于统计量的极限分布.若抽取大量样本（大样本），并用检验统计量的极限分布来近似作为其分布，由此得到的检验方法称为大样本检验法．
一、两总体均值差的大样本检验
现从每一总体中各取一样本，其样本容量、样本均值、样本方差分别记为
设有两个独立总体X，Y，其均值和方差分别为
并且n1, n2很大,给定显著水平
检验假设
若两总体均为正态分布，由6.2.1的讨论知
当已知时，可用u检验法来检验；
当未知但时，可用t 检验法来检验
此处总体分布未知，即使总体为正态分布，
因而也不能用t 检验。

下面我们用大样本方法给出此假设的近似检验法。

未知且与不一定相等
由于
当n1很大时，由中心极限定理知
即
同理，当n2很大时
用代替，用代替
由于独立
所以
分别是的很好近似值
仍有
由此可得拒绝域为
（n1，n2很大）
二、二项分布参数的大样本检验法
设P(A)=p, 在 n次独立试验中事件 A发生的次数为 X
则 X ~ b（n, p）
给定显著水平
检验假设
H0：p = p0 ， H1：p &gt; p0 （0&lt;p0&lt;1， p0已知）
设
则X1, X2, …, Xn独立，且都服从参数 p的（0-1）分布，
X=X1+X2+ (X)
由中心极限定理，当时，
当H0为真，且n很大时，
由此可得拒绝为
2．为了比较两种子弹A、B的速度（单位：m/s），在相同条件下进行速度测定．算得样本平均值及标准差为
试用大样本方法检验这两子弹的平均速度有无显著差异．（）
1．从一大批产品中任取100个,得一级品60个,记p为这一大批产品的一级品率，试在水平下检验假设
习题8-4
s2=105.00
n2=110
子弹B
s1=120.41
n1=110
子弹A
第五节 p 值检验法
解
在以下表中列出了显著性水平α取不同值时相应的拒绝域和检验结论.
由此可以看出，对同一个假设检验问题，不同的α可能有不同的检验结论.
通过上述分析可知，本例中由样本信息确定的0.0179是一个重要的值，它是能用观测值2.1做出“拒绝”的最小的显著性水平，这个值就是此检验法的p值.
有了这两条结论就能方便地确定的拒绝域. 这种利用p值来检验假设的方法称为p值检验法.
解
这是一个有关正态总体下方差已知时对总体均值的双边假设检验问题，采用
u检验法，检验统计量为
例3 用p值检验法检验本章第二节例3的检验问题
解
用t 检验法，检验统计量
拒绝域的形式为
观测值
α=0.05 &gt; 0.014725= p值
由计算机软件算得
由于
故拒绝
习题8-5
第六节假设检验的两类错误
用概率反证法检验一个假设的推理依据是小概率原理．
在一次抽样中，若小概率事件发生了，则拒绝原假设；若小概率事件没有发生，拒绝原假设的理由不充分，因而只好接受原假设．
这样的检验结果可能出现以下两种类型的错误．
一、犯两类错误的概率
P(拒绝H0|H0真)=P(小概率事件)≤
第Ⅰ类错误（弃真）
当原假设H0真时，抽样结果表明小概率事件发生了，按检验法将拒绝H0，这样就犯了所谓“弃真”的错误．
给定显著水平，由于
所以弃真概率不超过显著水平
弃真概率为P(拒绝H0 | H0真)
第Ⅱ类错误（取伪）
当H0假时，抽样结果表明小概率事件没有发生，按检验法将接受H0，这样就犯了所谓“取伪”的错误．
取伪概率为P(接受H0 | H1真)
例1 设总体，未知，求关于假设
的U 检验法的两类错误概率．
解检验统计量
拒绝域
弃真概率P(拒绝H0|H0真)=P(|U|≥ ) =
取伪概率P(拒绝H0|H1真)=P(|U|≥ |H1真)
其中
的真值
二、两类错误概率的控制
前面我们处理参数假设检验问题时，实际上只考虑了控制第I 类（弃真）错误概率不超过显著水平．在一些实际问题中，如果错误地接受了某个假设可能造成重大损失，或由此带来灾难性的结果，因而在接受这类假设时要特别慎重，也就是要控制第Ⅱ类（取伪）错误概率．自然希望选择一个优良的检验方法，使得出现两类错误的概率都很小．
定义若是参数的某检验问题的一个检验法，
当H0假时,1－表示取伪的概率
将两类错误概率用统一的函数表示出来：
{拒绝H0}
称为检验法的功效函数
当H0真时，表示弃真的概率
一个优良的检验法，应使在H0真时尽可能小，在H0假时尽可能大．
这两方面的要求是矛盾的，正如在区间估计问题中，“置信度高”与“估计精确”是矛盾的．
那里，我们采用在保证一定的置信度下使区间长度尽可能小的原则．
选择一种优良检验的策略思想与此类似，即先保证弃真的概率不超过指定值，再设法控制取伪概率．
为便于说明，继续前面例9的讨论．检验的功效函数
{拒绝H0}
其中
取伪概率（记为）
弃真概率
由于
当时
当时
当时
取最大值
当与的偏差越大，取伪的概率越小；
此时，越小，越大，见图8-1
当与非常接进时，取伪的概率几乎等于
其含义为：
由此可知，当与n都给定时
不可能同时控制两类错误概率都很小
下面先控制弃真的概率为
再来考虑如何减小取伪概率
由于
要控制取为伪概率
( 很小)
只要使
足够大
有两种方法可使增大
（1）减小试验误差；
（2）取样本数目n很大．
在实际中，试验误差不可能无限小，因而一般采用加大样本容量n的方法来控制取伪概率，但这是以消耗大量人力、物力、财力为代价的．
在实际应用中，要根据“弃真”或“取伪”所造成的有害程度来确定，的值．
习题8－6
1．设总体服从，给定显著水平，用U检验法来检验假设 ,若，参数的真值为1.3．试求：
(1) 当样本容量n=25时，此U检验法犯第二类错误的概率；
(2) 若要求犯第二类错误的概率不超过0.1，样本容量应至少取为多大？
2．设总体服从参数为的泊松分布，参数未知，（X1,X2,…, X20）为其一个样本，对下述假设检验问题取拒绝域为：C={(x1,x2,…,x20):x1+x2+…+x20=0)}
求犯第一类错误与第二类错误的概率．
*第七节非参数假设检验
前面我们讨论了参数假设检验问题，所检验的对象是总体分布中的未知参数，而总体分布函数的函数形式是已知的．
若总体分布未知，对总体分布或有关参数所作的检验称为非参数假设检验．本节将讨论几种重要的非参数检验问题．
一、分布拟合检验
问题
对某对象（产品、元件，农作物等）的某特性指标进行测试，获得一大批实验数据，如何利用这些数据（样本）确定此指标（总体）的概率分布．要解决此问题，一般需要做以下两方面的工作：
用极大似然估计法求出的估计值
第一步。