2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测18 文 新人教A版

课时跟踪检测(十八)
[高考基础题型得分练]
1．下列与9π
4的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A ．2k π＋45°(k ∈Z )
B ．k ·360°＋9π
4(k ∈Z )
C ．k ·360°－315°(k ∈Z )
D ．k π＋5π
4(k ∈Z )
答案：C
解析：与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π
4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混
用，所以只有C 正确．
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.4
5 B.3
5 C ．－35
D ．－45
答案：D
解析：由三角函数的定义知， cos α＝
－4－
2＋3
2
＝－45 . 3．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案：B
解析：由题意知，tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角．
4．已知圆O ：x 2＋y 2
＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达
点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 答案：B
解析：圆的半径为2，
π2的弧长对应的圆心角为π
4
，故以ON 为终边的角为
{α⎪⎪⎪⎭
⎬⎫α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.
5．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π
4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ＝( )
A.π
4 B.3π4 C.5π4
D.7π4
答案：D
解析：由sin 3π4＞0，cos 3π
4＜0知，
角θ是第四象限的角，
∵tan θ＝cos
3π4sin
3π4
＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π
4.
6．若α是第三象限角，则y ＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sin
α2
＋
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪cos α2cos
α2
的值为( )
A ．0
B ．2
C ．－2
D ．2或－2
答案：A
解析：∵α是第三象限角，
∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π
4(k ∈Z )，
∴α
2
是第二象限角或第四象限角． 当α
2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2－cos
α2cos
α
2
＝0， 当α
2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos
α2cos
α
2
＝0，故选A. 7．[2017·湖南株洲六校联考]已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四角限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为5
13
，则cos ∠POQ ＝( )
A.
3365
B.
6365
C ．－6365
D ．－3365
答案：D
解析：因为P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为513，所以点P ，Q 的坐标分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫513，－1213，
所以cos ∠POQ ＝OP →·OQ →
|OP →||OQ →|
＝35×513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－33
65.故选D.
8．[2017·河南商丘一模]已知锐角α的终边上一点P (sin 40°，1＋cos 40°)，则α等于( )
A ．10°
B ．20°
C ．70°
D ．80°
答案：C
解析：由题意可知，sin 40°＞0,1＋cos 40°＞0，点P 在第一象限，OP 的斜率tan α＝1＋cos 40°sin 40°＝1＋2cos 2
20°－12sin 20°cos 20°＝cos 20°sin 20°＝sin 70°cos 70°＝tan 70°，由α为锐角，可
知α为70°.故选C.
9．函数y ＝
sin x －
3
2
的定义域为________． 答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z 解析：
∵sin x ≥
32，作直线y ＝3
2
交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α
的终边的范围，故满足条件的角α
的集合为
{x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .
10．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．
答案：(1，3)
解析：设B (x ，y )，由题意知，|OA |＝|OB |＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限， ∴x ＝2cos 60°＝1，∴y ＝2sin 60°＝3， ∴B 点的坐标为(1，3)．
11．函数y ＝lg(3－4sin 2
x )的定义域为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ) 解析：∵3－4sin 2
x ＞0， ∴sin 2
x ＜34，
∴－
32＜sin x ＜32
. ∴x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．
[冲刺名校能力提升练]
1．集合⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α
⎪
⎪⎪
k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
A B C D 答案：C
解析：当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤
π
2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π
2，此时α表示
的范围与π＋π4≤α≤π＋π
2
表示的范围一样．
2．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[－2，2]
C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 答案：C
解析：设x 轴正方向逆时针到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，
y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－
32sin α＋1
2
cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A. π
3
B. π2
C. 3 D ．2
答案：C
解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，则α＝ 3. 4．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 答案：(7＋43)∶9
解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r .
则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋233r .
又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2
，∴S 扇πr 2＝7＋439
.
5．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，
r ＝x 2＋y 2＝t
2
＋－3t
2
＝5|t |，
当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－3
5，
cos α＝x r ＝4t 5t ＝4
5
，
tan α＝y x ＝
－3t 4t ＝－3
4
；
当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝
－3t －5t ＝3
5
，
cos α＝x r ＝4t －5t ＝－4
5
，
tan α＝y x ＝
－3t 4t ＝－3
4
.
综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－4
5，tan α
＝－3
4
.
6．已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， 则α＝60°＝π
3
，R ＝10，
l ＝π3×10＝
10π
3 (cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12
×
10π3×10－12×102
×sin π3
＝503π－5032＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2
)． (2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C
2＋α
， ∴S 扇＝12α·R 2
＝12α·⎝ ⎛⎭
⎪⎫C 2＋α2 ＝C 2α
2·14＋4α＋α2＝C 22·
14＋α＋
4α
≤C 2
16
. 当且仅当α2
＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 2
16
.
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