3.1.1数系的扩充和复数的概念

3、复数的代数形式：z=a+bi (a,b∈R),
其中a是复数z的实部,b是复数z的虚部.
注意：（1）复数的虚部是 b, 而不是bi；
（2）当复数的实部或虚部为0时，可将其省略。
例如，3+0· i可写作3；0+2i可写作2i.
特例：
P52 1
实数0
（a=0且b=0）
Ex.以2i 5的虚部为实部，以 5i i2
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
P52 2
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
1.数系的扩充
数系的扩充的原则:
(1)要能解决实际问题中或数学内部的矛盾; ①从实际生产需要推进数的发展:
表示具有相
计数的需要
反意义的量 的需要
表示量与 量的比值
自然数
整数
测量的 需要 有理数
有理数与 无理数 无理数
实数
②从解方程的需要推进数的发展
使方程x+5=3
使方程3x=5
有解
有解 负数
分数
使方程x2=2
有解
无理数
问题：x2+1=0在 实数系中无解。
为了解决x2+1=0这样的方程的解的问题,引 入一个新数 i（虚数单位,取自imaginary（想 象的，假想的）词头）,使 i2 =-1, 则x2+1=0就 有解x=i了。
数系的扩充的原则:
(2)要尽量地保留原有数集（现有是实数集）的性 质，特别是它的运算性质。我们规定：
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
Ex.实数m取什么值的时，复数 z m(m 2) (m2 2m 3)i
m 1 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数?
前提：m ≠1 （1）m=－3； （2）m≠-3且m ≠1;(3)0或－2
A 的实部 5 5i D. 5 5i
4.复数相等的概念 复数集C={ a+bi | a,b∈R }中任意两个
数a+bi , c+di (a,b,c,d∈R)，规定：
a+bi与 c+di 相等的充要条件是a=c且b=d
P55A1
补充：若x2-y2+2xyi= 2i，求实数x,y的值. x=y=1或x=y=-1
5. 复数分类系统
虚数集 复数集
纯虚 实数集 数集
Ex 1.设C={复数},A={实数},B={纯虚数}，
D 全集U=C，那么下面结论成立的是（ ）
A. A∪B=C
B. （CUA）=B
C. A∩（CUB）=φ D. （CUB）∪B =C
B 2.a=0是复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的 ( )
6.虚数不能比较大小。
作业：P523,P55A2
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
a bi

c di
a c b d
P55A2.
把实数a与i相加, 结果记作 a+i,
把实数b与i相乘, 结果记作 bi 把实数a与bi相加, 结果记作 a+bi,
这样规定后:加法与乘法运算律仍然成立, 并且结果也是a+bi的形式,
2、 这样就产生了新数集C={a+bi|a,b R},
我们把C叫做复数集.
思考 : 在复数集, x2 0还一定成立吗?