沁水县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

沁水县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 4213
5
3
2,4,25a b c ===，则（ ）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b << 2． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A ．
π B ．2
π
C ．4
π
D ．
π
4． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 命题“若a ＞b ，则a ﹣8＞b ﹣8”的逆否命题是（ ）
A ．若a ＜b ，则a ﹣8＜b ﹣8
B ．若a ﹣8＞b ﹣8，则a ＞b
C ．若a ≤b ，则a ﹣8≤b ﹣8
D ．若a ﹣8≤b ﹣8，则a ≤b
6． 已知点P （1，﹣），则它的极坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）
A ．-2或-1
B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1 8． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7
9． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）
A ．=
B ．0S =
C ．0122S S S =+
D ．20122S S S =
10．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2
11．已知，其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
12．12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
二、填空题
13．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ． 14．已知关于 的不等式
在上恒成立，则实数的取值范围是__________
15．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．
16．设变量x ，y 满足约束条件，则的最小值为 ．
17．已知实数x ，y 满足约束条
，则z=
的最小值为 ．
18．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是 °．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=log a （1+x ）﹣log a （1﹣x ）（a ＞0，a ≠1）．
（Ⅰ）判断f （x ）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a ＜1时，解不等式f （x ）＞0．
20．在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为：A （0，4）；B （﹣3，0），C （1，1） （1）求点C 到直线AB 的距离； （2）求AB 边的高所在直线的方程．
21．计算： （1）8
+（﹣）0﹣
；
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32．
22．（本题满分13分）已知函数x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
.
（1）当0 a 时，求)(x f 的极值；
（2）若)(x f 在区间]2,3
1
[上是增函数，求实数a 的取值范围.
【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.
23．已知定义域为R 的函数是奇函数．
（1）求f （x ）；
（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）； （3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．
24．（本小题满分12分）
在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，不等式x 2cos C ＋4x sin C ＋6≥0对一切实数x 恒 成立.
（1）求cos C 的取值范围；
（2）当∠C 取最大值，且△ABC 的周长为6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC 的 形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
沁水县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】
试题分析：
222
353
4,4,5
a b c
===，由于4x
y=为增函数，所以a b
>.应为
2
3
y x
=为增函数，所以c a
>，故
b a c
<<.
考点：比较大小．
2．【答案】B
【解析】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，
它们的底面直径均为2，故底面半径为1，
圆柱的高为1，半圆锥的高为2，
故圆柱的体积为：π×12×1=π，
半圆锥的体积为：×=，
故该几何体的体积V=π+=，
故选：B
3．【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为：cm；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为：=4π
故选：C．
4．【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，
∵a2=b2+c2，∴c=，
∴椭圆的离心率为：e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
5． 【答案】D
【解析】解：根据逆否命题和原命题之间的关系可得命题“若a ＞b ，则a ﹣8＞b ﹣8”的逆否命题是：若a ﹣8≤b ﹣8，则a ≤b ． 故选D ．
【点评】本题主要考查逆否命题和原命题之间的关系，要求熟练掌握四种命题之间的关系．比较基础．
6． 【答案】C
【解析】解：∵点P 的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcos θ，﹣
=ρsin θ，可得
，结合所给的选项，可取θ=﹣
，
即点P 的极坐标为 （2，），
故选 C ．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以
422
2
4==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.
考点：等比数列的性质. 8． 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。

故选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

9． 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
220()2()a S a h
S a S a h
S '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩
，解得=A ． 考点：棱台的结构特征． 10．【答案】D
【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D ． 11．【答案】B
【解析】解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1
另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1．
故选B ．
【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
12．【答案】B 【解析】
考点：向量共线定理．
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4
个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个， ∴4个点构成平行四边形的概率
P=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
14．【答案】
【解析】
因为在上恒成立，所以，解得
答案：
15．【答案】（﹣1，﹣1）．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，
即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
16．【答案】4．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象可知，OC的斜率最小，
由，解得，
即C（4，1），
此时=4，
故的最小值为4，
故答案为：4
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的定义以及数形结合是解决本题的关键．
17．【答案】．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z==32x+y，
设t=2x+y，
则y=﹣2x+t，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，
此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
18．【答案】60°°．
【解析】解：连结BC1、A1C1，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，
因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角，
设正方体的棱长为a，则△A
B1C中A1B=BC1=C1A1=a，
1
∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°，
即异面直线A1B与AC所成的角等于60°．
故答案为：60°．
【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由，得，
即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），
则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），
则f（x）为奇函数．
（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，
即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，
即log a（1+x）＞log a（1﹣x），
则1+x＜1﹣x，
解得﹣1＜x＜0，
则不等式解集为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．
20．【答案】
【解析】解（1）∵
，
∴根据直线的斜截式方程，直线AB ：
，化成一般式为：4x ﹣3y+12=0，
∴根据点到直线的距离公式，点C 到直线AB 的距离为
；
（2）由（1）得直线AB 的斜率为，∴AB 边的高所在直线的斜率为，
由直线的点斜式方程为：
，化成一般式方程为：3x+4y ﹣7=0，
∴AB 边的高所在直线的方程为3x+4y ﹣7=0．
21．【答案】 【解析】解：（1）8+（﹣）0﹣
=2﹣1+1﹣（3﹣e ） =e ﹣．
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32 =
=
=1﹣2=﹣1．…（6分）
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．
22．【答案】
【解析】（1）函数的定义域为),0(+∞，因为x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
，当0=a 时，x x x f ln 2)(-=，则x x f 12)('-
=.令012)('=-=x x f ，得2
1
=x .…………2分
所以当2
1=
x 时，)(x f 的极小值为2ln 1)21
(+=f ，函数无极大值.………………5分
23．【答案】
【解析】解：（1）因为f （x ）是R 上的奇函数，
所以f （0）=0，即=0，解得b=1；
从而有
；…
经检验，符合题意；…
（2）由（1）知，f （x ）=
=﹣+；
由y=2x
的单调性可推知f （x ）在R 上为减函数； … （3）因为f （x ）在R 上为减函数且是奇函数，从而不等式 f （1+|x|）+f （x ）＜0等价于f （1+|x|）＜﹣f （x ）， 即f （1+|x|）＜f （﹣x ）； … 又因f （x ）是R 上的减函数，
由上式推得1+|x|＞﹣x，…
解得x∈R．…
24．【答案】
【解析】。