河北省南宫中学2015届高三数学上学期第2次周测试题 理

南宫中学2015届高三上学期理科数学第2次周测试题
一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．在复平面内，复数z 和2i
2i
-表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝（ ） （A ）
24i 55+ （B ）24i 55- （C ）24i 55-+ （D ）24i 55
-- 2．已知全集为R ，集合M ={xlx 2－2x －8≤0），集合N={x|（1n2）l －x
＞1}，则集合M
（C R N ）
等于（ ）
A ．[-2,1]
B ．（1,+∞）
C ．[-l,4）
D ．（1,4]
3．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.非充分非必要条件
4．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．4)1
1)(
(≥++b
a b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 2222
2+≥++ D ．b a b a -≥-||
5．关于)4
2sin(3)(π
+
=x x f 有以下命题，其中正确的个数（ ）
①若0)()(21==x f x f ，则)(21Z k k x x ∈=-π；②)(x f 图象与)4
2cos(3)(π
-=x x g 图象
相同；③)(x f 在区间]8
3,87[π
π--
上是减函数；④)(x f 图象关于点)0,8(π-对称.
A.0
B.1
C.2
D.3
6．已知函数()2cos 2f x x x m =+-在[0,]2
π
上有两个零点,则m 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[l,2]
7．已知函数2
()25f x x mx =--的导函数为()f x '，若(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<；
(1)0f '-=；(1,+)x ∈-∞时，()0f x '>，则(1)f =（ ）
A ．25
B ．17
C ．7-
D ．1
8．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2
－2bx －2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9
9．在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边,若b c C a 2cos 2,1=+=且,则ABC ∆的周长的取值范围是（ ）
A ．(]3,1
B ．[2,4]
C ．(]3,2
D ．[3,5]
10．直线2x+y ﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
11．“3m ≥”是“关于x 、y 的不等式组020100
x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪
⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不
必要条件
12．设二次函数f(x)＝ax 2
－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是( )
A.(－∞，0]
B.[2，＋∞)
C.(－∞，0]∪[2，＋∞)
D.[0,2] 二.填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点
(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .
14．若3
2cos -
=α，则)
tan()2
sin()sin()4cos(απαπααπ-+--的值为 .
15．231()x x
+的展开式中的常数项为a ，则直线y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为 ；
16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,
，第n 个三
角形数为
2(1)11
222
n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k （3k ≥），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 ()211
,322N n n n =
+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231
,522
N n n n =
- 六边形数 ()2,62N n n n =- 可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = .
三. 解答题（本题2个题，共20分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200
分）.学科网设每次击
鼓出现音乐的概率为1
2
，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
18．己知函数()ln 1f x x ax =-+在2
x =处的切线斜率为1
2-
.
（1）求实数a 的值及函数
()
f x 的单调区间；
（2）设()22x kx k
g x x ++=，对()()120,,,0x x ∀∈+∞∃∈-∞使得()()12f x g x ≤恒成立，
求正实数k 的取值范围；
（3）证明：()
()2222ln 2ln 3
ln 21
,223
41n n n n N n n n *--+++<∈≥+.
参考答案
1．A
【解析】 试题分析：
22(2)2424
,2415555
i i i i z i i +==-+∴=+-+. 考点：复数的基本运算.
2．A 【解析】 试题
分析：
}42{≤≤-=x x M ,}1{>=x x N ,}1{≤=x x N C R ,}12{≤≤-=∴x x N C M R ,故
选A.
考点：集合的交并补运算 3．A 【解析】
试题分析：由正弦定理得
2sin sin a b
R A B
==（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）
，则2sin a R A =，2sin b R B =，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤，因此
a b ≤“”是sin sin A B ≤“”
的充分必要必要条件，故选A. 考点：本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题. 4．B 【解析】
试题分析：∵,0,0>>b a ，∴1111
()()22
4a b ab a b a b
++≥=，故A 恒成立；2
332ab b a ≥+，取
12
a =
，
23
b =
时
B
不
成
立
；
22222(22)(1)(1)0a b a b a b ++-+=-+-≥，故C
恒成立；若a b <，
则
b
a b a -≥-||恒成立，若a b ≥，
则22-＝0≥，∴
b a b a -≥-||恒成立，故选B ．
考点：1、不等式的性质；2、基本不等式． 5．D. 【解析】
试题分析：①：∵)4
2sin(3)(π
+=x x f ，0)()(21==x f x f ，∴)(2
21Z k k x x ∈=
-π
，∴①错误； ②：∵)4
2sin(]2)42sin[()42cos(ππππ
+=+-=-x x x ，∴②正确；③：当]83,87[π
π--∈x 时，
]2
,23[4
2π
ππ
--
∈+x ，∴)(x f 在区间]83,87[ππ--
上是减函数，③正确；④：当8π-=x 时， 042=+
π
x ，∴0)8
(=-π
f ，∴④正确.
考点：三角函数的图象与性质. 6．B 【解析】
试题分析：利用辅助角公式化简函数为()2cos 2f x x x m =+-m x -+
=)6
2sin(2π
,令
6
2π
+
=x t ,则⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈67,6ππt ,所以此时函数即为m t y -=sin 2.令0=y 有m y =,根据题意可知m y =在⎥⎦⎤⎢
⎣⎡67,6ππ上有两个解,根据t y sin 2=在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡67,6ππ函数图像可知,[)2.1∈m . 考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.
7．D. 【解析】
试题分析：由题意知，函数()f x 在1-=x 处取得极小值，于是有0)1('
=-f ，即可求出
4-=m ，即得出函数()f x 的解析式，最后令1=x 即可得出结果.
考点：导数在函数的极值中的应用. 8．D
【解析】函数的导数为f′(x)＝12x 2
－2ax －2b ，函数在x ＝1处有极值，则有f′(1)＝12－
2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，所以6＝a ab≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，选D. 9．C 【解析】
试题分析：∵22222
1cos 22a b c b c C ab b
+-+-==，∴221222b c c b b +-⋅
+=，化简后可得：
2
2
()()13134
b c b c bc ++=+≤+⋅，∴2b c +≤，又∵1b c a +>=，∴23a b c <++≤，
即周长的范围为(]3,2．
考点：1、余弦定理；2、基本不等式． 10．B 【解析】
试题分析：画出不等式组表示的平面区域、画出直线2x+y ﹣10=0；由图判断出直线与平面区域的公共点．
解：画出不等式组表示的平面区域如下
作出直线2x+y ﹣10=0，由图得到2x+y ﹣10=0与可行域只有一个公共点（5，0） 故选B
点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合数学数学方法． 11．A 【解析】
试题分析：作出不等式组020100
x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪
⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图的阴影部分所示，
B
A
y
x
O
x-y+1=0
x+y-m=02x-y=0
而不等式0x y m +-≤所表示的平面区域是位于直线0x y m +-=上及其以下的部分，直线
10x y -+=交y 轴于点()0,1，直线10x y -+=与直线20x y -=相交于点()1,2B ，当直
线0x y m +-=在从原点沿着A 点方向运动或在点B 以上的区域运动时，不等式组
020100
x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪
⎨
-+≥⎪⎪+-≤⎩所表示的平面区域为三角形.当直线0x y m +-=经过坐标原点时，000m +-=⇒0m =；
当直线0x y m +-=经过点()0,1A 时，则有0101m m +-=⇒=；当直线0x y m +-=经过点()1,2B ，则有1203m m +-=⇒=.结合图形知实数m 的取值
范围是(]
[)0,13,+∞，故“3m ≥”是“关于x 、y 的不等式组0
20
100
x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨
-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的充分不必要条件，故选A.
考点：1.不等式组与平面区域；2.充分必要条件 12．D
【解析】二次函数f(x)＝ax 2
－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)＜0，x ∈[0,1]，
所以a ＞0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. 13．5 【解析】
试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2
2
30x y x y +--=，所以点P 在以
AB
为直径的圆上，PA PB ⊥，所以2
2
2
||||||10PA PB AB +==，
2
||||||52
AB PA PB ⨯≤=.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 14．23
-
【解析】
试题分析：先用诱导公式将原式化为
cos (sin )cos (tan )αααα--=sin sin cos ααα
=3
2
cos -=α.
考点:诱导公式；同角三角函数基本关系式 15．
2
9
试题分析：231()x x
+的展开式的通项公式为 T r+1=323333r r r r r C x x C x --=， 令3r-3=0，r=1，故展开式的常数项为 a=3．
则直线y=ax 即 y=3x ，由2
3y x y x =⎧⎨=⎩
求得直线y=ax 与曲线y=x 2
围成交点坐标为（0，0）、（3，9），
故直线y=ax 与曲线y=x 2
围成图形的面积为 33
2
2033(3)()023x x x dx x -=-⎰=2
9
，故选C ．
考点：二项式定理；定积分在求面积中的应用．
16．1000
【解析】
试题分析：事实上我们可以换种方式来表达这些多边形数，如：
()211,312322
N n n n n
=++++=+，
()()2
,413521N n n n =++++-=，
()()231,51473222N n n n n
=++++-=-，
()()2,6159432N n n n n =+++
+-=-，
从中不难发现其中的规律：(),N n k 就是表
示以1为首相，
()
2k -为公差的等差数列前n 项的和，即有
()()(),112122N n k k k =++-++⨯-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()112n k ++-⋅-⎡⎤⎣⎦
()()11122n n k ++-⋅-⎡⎤⎣⎦=，所以()
()()101110124210,2410002
N ++-⋅-⎡⎤⎣⎦==.
考点：推理知识和等差数列知识的综合. 17．（1）1331(200),(10),(20),(100)8888P P P P ξξξξ=-=
======；
（2）511
512
p =； （3）每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少.
【解析】
试题分析：（1）本题属于独立重复试验问题，利用()(1)k k n k
n n P k C p p -=-即可求得X 的分布
列；（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为01
8
p =
.“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的对立事件是“玩三盘游戏，三盘都没有出现音乐”由此可得“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的概率；（3） 试题解答：（1）1331
(200),(10),(20),(100)8888
P X P X P X P X =-=
======.所以X
（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为08
p =，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为31511
1()8512
p =-=
. （3）由（1）得：133110
(200)10201008
8
8
88
E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯
=-，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大.
【考点定位】1、随机变量的分布列；2、独立重复事件的概率；3、统计知识.
18．（1）1=a ；()x f 的单调递增区间为()10，
，单调递减区间为()∞+，1 （2）1≥k （3）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）由()a x
x f -=
'1及2x =处的切线斜率为12-，可得()1
22f '=-，即可求得
1=a ，故()1
1f x x
'=
-，由()0>'x f 及()0<'x f 即可求得()x f 的单调区间； （2）由()∞+∈∀，
01x ，()02，∞-∈∃x ，使得()()21x g x f ≤恒成立，只须()()max max
f x
g x ≤，由（1）可求得
()max 0
f x =，因为
22
()2()22x kx k k k
g x x k x k k
x x x ++==++=--++≤--，
故只须
022≥+-k k ，即可求得1≥k .
（3）要证明()
()
2141
2ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<
+++*n N n n n n n n ， , 只须证
()
121
2ln 233ln 222ln 22222+--<+++n n n n n ，即证
()
121
2ln 33ln 22ln 2222222+--<+++n n n n n ，由（1）易知，当()∞+∈，1x 时，()0<'x f ，()x f 为减函数，()01ln ≤+-=x x x f ，即1ln -≤x x ，故当2≥n 时，1ln 2
2-<n n ，
()22222ln 11111
11111
n n n n n n n n n -<=-<-=-+
++，进而再利用裂项放缩，即可证明结果成立.
试题解析：（1）由已知：()a x x f -='1，∴由题知()2
1
212-=-='a f ，解得1=a ； 于是()x
x
x x f -=
-=
'111， 当()10，
∈x 时，()0>'x f ，()x f 为增函数， 当()∞+∈，
1x 时，()0<'x f ，()x f 为减函数， 即()x f 的单调递增区间为()10，
，单调递减区间为()∞+，1． （2）由（1）()∞+∈∀，
01x ，()()011=≤f x f ，即()f x 的最大值为0， 由题知：对()∞+∈∀，
01x ，()02，∞-∈∃x ，使得()()21x g x f ≤恒成立， 只须()()max max f x g x ≤，
(
)222()22x kx k k k
g x x k x k k x x x
++==++=--++≤--，
∴ 只须022≥+-k k ，解得1≥k ．
（3）要证明()
()
2141
2ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<
+++*n N n n n n n n ， ． 只须证()121
2ln 233ln 222ln 22222+--<+++n n n n n ，
只须证()
121
2ln 33ln 22ln 2222222+--<+++n n n n n ．
由（1）当()∞+∈，1x 时，()0<'x f ，()x f 为减函数，
()01ln ≤+-=x x x f ，即1ln -≤x x ，∴ 当2≥n 时，1ln 22-<n n ，
()1111111111ln 22222++-=+-<-=-<n n n n n n n n n ， ()
22
22222ln 2ln 3ln 1111
11
(1)(1)(1)23
221331
1
1121
12121n n n n n n n n n +++<-++-+++-
++++--=--+=
++
()
1412ln 33ln 22ln 2222+--<+++∴n n n n n ．
考点：利用导数求函数单调性；不等式恒成立；裂项放缩证明不等式.。