高考数学真题06 比较大小问题(教师版)

专题06 比较大小问题
【高考真题】
1．(2022·全国甲理) 已知3111, cos , 4sin 3244
a b c ===，则( ) A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >> 1．答案 A 解析 因为14tan 4c b =，因为当π0, , sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝
⎭，所以11tan 44>，即1c b >，所以 c b >；设21()cos 1, (0, )2f x x x x =+
-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0, )+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A ． 2．(2022·全国甲文)已知910, 1011, 89m m m a b ==-=-，则( )
A ．0a b >>
B ．0a b >>
C ．0b a >>
D ．0b a >>
2．答案 A 解析 由910m =可得9lg10log 101lg9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以lg10lg11lg9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又22lg8lg10lg80lg8lg1022+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
lg 9<，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>．故选A ． 3．(2022·新高考Ⅰ)设0.110.1e , ln 0.99
a b c ===-，，则( ) A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b << 3．答案 C 解析 设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x
'=-=-++，当(1, 0)x ∈-时，()f x ' 0>，当)0,( x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0, )+∞单调递减，在(1, 0)-上单调
递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010
f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109
<，故a b <，设()e ln(1)(01)x g x x x x =+-<<，则()()21e 11
()+1e 11x x
x g x x x x -+'=+=--，令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <时，()0h x '<
，函数2()e (1)+1x h x x =-11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单
调递增，又(0)0h =，所以当01x <时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln0.9>-，所以a c >，故选C ．
【同类问题】
1．已知a ＝ln 22，b ＝1e ，c ＝ln 33
，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜a
1．答案 C 解析 设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2
，当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0；当x ＞e 时，f ′(x )＜0，则f (x ) 在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，则当x ＝e 时，f (x )max ＝
ln e e ＝1e ，即b ＞a ，b ＞c ；a －c ＝ln 22－ln 33＝3ln 2－2ln 36＝ln 8－ln 96
＜0． 2．下列不等式成立的是( )
A ．2ln 32<32
ln2 B ．2ln 3<3ln 2 C ．5ln4<4ln5 D ．π>eln π 2．答案 AD 解析 设f (x )＝ln x x (x >0)，则f ′(x )＝1－ln x x 2
，所以当0<x <e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．因为32<2<e ，所以f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即2ln 32<32
ln 2，故选项A 正确；因为2<3<e ，所以f (2)<f (3)，即2ln 3>3ln 2，故选项B 不正确；因为e<4<5，所以f (4)>f (5)，即5ln 4>4ln 5，故选项C 不正确；因为e<π，所以f (e)>f (π)，即π>eln π，故选项D 正确．
3．已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足xf ′(x )<f (x )，若a ＝f (1)，b ＝f (ln 4)ln 4，c ＝f (3)3
，则a ， b ，c 的大小关系为( )
A ．a >b >c
B ．c >a >b
C ．b >a >c
D ．a >c >b
3．答案 A 解析 设g (x )＝
f (x )x ，则
g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2
<0，∴g (x )为减函数．∵3>ln 4>1，∴g (3)<g (ln 4)<g (1)， 即a >b >c ．
4．已知a ＝ln 33，b ＝e －1，c ＝3ln 28
，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．a >c >b C ．a >b >c D ．b >a >c
4．答案 D 解析 依题意，得a ＝ln 33＝ln 33，b ＝e －1＝ln e e ，c ＝3ln 28＝ln 88．令f (x )＝ln x x
(x >0)，则f ′(x ) ＝1－ln x x 2，易知函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝1e ＝b ，且f (3)>f (8)，即a >c ，所以b >a >c ．
5．已知a ，b ∈(0，3)，且4ln a ＝a ln 4，4ln b ＝b ln 2，c ＝log 0.30.06，则( )
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
5．答案 C 解析 由已知得ln a a ＝ln 44＝ln 22，ln b b ＝ln 24＝ln 1616，可以构造函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2
， 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，又f (a )＝f (2)＝f (4)＞f (b )＝f (16)，结合a ，b ∈(0，3)，所以b ＜a ＝2，又c ＝log 0.30.06＝log 0.3(0.2×0.3)＝log 0.30.2＋1＞1＋log 0.30.3＝2，所以b ＜a ＜c ．
6．(多选)已知e 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( )
A ．ln 2＞2e
B ．ln 3＜3e
C ．ln π＞πe
D ．ln 3ln π＜3π
6．答案 ACD 解析 令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2
，当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，当x ＞e 时，g ′(x )＜0， 所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减.∵2＜e ，∴g (2)＜g (e)，即ln 22＜ln e e ＝1e
，∴ln 2＜2e ，故A 错误．∵e ＜3＜π，∴g (e)＞g (3)＞g (π)，即ln e e ＝1e ＞ln 33＞ln ππ，∴ln 3＜3e ，ln π＜πe ，ln 3ln π＞3π，故B 正确，C 、D 错误．
7．(多选)若0<x 1<x 2<1，则下列不等式成立的是( )
A ．1221e e x x x x >
B ．1221e e x x x x <
C ．21e e x x ->ln x 2－ln x 1
D ．12e e x x
-<ln x 2－ln x 1
7．答案 AD 解析 构造函数f (x )＝e x x (0<x <1)，因为f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，所以f (x )在(0，1)上单调递 减，因为0<x 1<x 2<1，所以21
21e e x x x x <，即12
21e e x x x x >，所以选项A 正确，选项B 错误；构造函数h (x )＝e x －ln x (0<x <1)，h ′(x )＝e x －1x
，易知h ′(x )在(0，1)上单调递增，而h ′(1)＝e －1>0，当x →0＋时，h ′(x )→－∞，所以存在x 0∈(0，1)，使h ′(x 0)＝0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，1)上单调递增，所以无法判断C 选项的正确性；构造函数g (x )＝e x ＋ln x (0<x <1)，易知g (x )在(0，1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以1e x ＋ln x 1<2e x ＋ln x 2，即12e e x x -<ln x 2－ln x 1，所以选项D 正确．
8．若e －2b ＋12(a －1)2＝e －a ＋12
(2b －1)2，则( ) A ．a >2b B ．a ＝2b C ．a <2b D ．a >b 2
8．答案 B 解析 设f (x )＝12
(x －1)2－e －x ，则f ′(x )＝x －1＋e －x ，设g (x )＝x －1＋e －x ，则g ′(x )＝1－e －x ＝ e x －1e x
，令g ′(x )>0⇒x >0⇒f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增；令g ′(x )<0⇒x <0⇒f ′(x )在(－∞，0)上单调递减，所以f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )＝12(x －1)2－e －x 在(－∞，＋∞)上单调递增，e －2b ＋12
(a －1)2＝e －a ＋12(2b －1)2化为12(a －1)2－e －a ＝12
(2b －1)2－e －2b ，即f (a )＝f (2b )⇒a ＝2b ． 9．(多选)已知a ，b ∈(0，e)，且a <b ，则下列式子中可能成立的是( )
A ．a e b <b e a
B ．a e b >b e a
C ．a ln b <b ln a
D ．a ln b >b ln a
9．答案 ABD 解析 设g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，所以g (x )＝e x x
在(0，1)上单调递减，在(1，e)上 单调递增．所以当a ，b ∈(0，e)，a <b 时，不能判断出g (a )与g (b )的大小．所以选项A ，B 都有可能正
确；设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2
，由f ′(x )>0，得0<x <e ，由f ′(x )<0，得x >e ，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因为a ，b ∈(0，e)，且a <b ，所以ln a a <ln b b
，即a ln b >b ln a ．所以选项C
不正确，D 正确．
10．已知a ，b ，c ∈(0，1)，且a 2－2ln a ＋1＝e ，b 2－2ln b ＋2＝e 2，c 2－2ln c ＋3＝e 3，其中e 是自然对数
的底数，则a ，b ，c 的大小关系是________．
10．答案 a >b >c 解析 设f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝e x －x ，则f (a )＝g (1)，f (b )＝g (2)，f (c )＝g (3)，又g ′(x )
＝e x －1＞0(x ＞0)，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (3)＞g (2)＞g (1)，即f (c )＞f (b )＞f (a )，因为
f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x
＜0(x ∈(0，1))，所以f (x )在(0，1)上单调递减，所以a ＞b ＞c ． 11．已知a ＝12ln 2＋14，b ＝2e ，c ＝ln π＋1π
，则a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a
11．答案 B 解析 设函数f (x )＝ln x ＋1x ，则f ′(x )＝－ln x x 2，令f ′(x )＞0得0＜x ＜1，令f ′(x )＜0得x ＞ 1，所以f (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以f (4)＜f (π)＜f (e)，即ln 4＋14＜ln π＋1π＜
ln e ＋1e ，所以a ＜c ＜b ．
12．已知a >1，b >1，且满足a 2－3b ＝2ln a －ln 4b ，则( )
A ．a 2>2b
B ．a 2＜2b
C ．a 2>b 2
D ．a 2＜b 2
12．答案 A 解析 由题，得a 2－ln a 2
＝3b －ln 4b ，且a >1，b >1，令f (x )＝x －ln x (x >0)，则f ′(x )＝1－1x ＝ x －1x ，
令f ′(x )＞0得x ＞1，令f ′(x )＜0得0＜x ＜1，∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵a >1，b >1，∴a 2>1，2b >1，又∵f (a 2)＝a 2－ln a 2＝3b －ln 4b ，f (2b )＝2b －ln 2b ，∴f (a 2)－f (2b )＝(3b －ln 4b )－(2b －ln 2b )＝b －ln 2>0，即f (a 2)>f (2b )，∴a 2>2b ．
13．(2020·全国Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )
A ．a >2b
B ．a <2b
C ．a >b 2
D ．a <b 2
13．答案 B 解析 由指数和对数的运算性质得2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b ．令f (x )＝2x ＋log 2x ，
则f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b ．故选B ．
14．(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )
A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1
B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1
C ．12e x x >21e x x
D ．12e x x <21e x x
14．答案 AC 解析 令f (x )＝x －ln x ，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当0<x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，1)上单调
递减．∵0<x 1<x 2<1，∴f (x 2)<f (x 1)，即x 2－ln x 2<x 1－ln x 1，即x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1．设g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2．当0<x <1时，g ′(x )<0，即g (x )在(0，1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴g (x 2)<g (x 1)，即22e x x <11e x x ，∴12e x x >21e x x ，故选AC ．
15．答案 D 解析 由f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0，得x 1f (x 1) <x 2f (x 2)，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)上调递增，又
因为g (x )＝e x －ax 2，所以g ′(x )＝e x －2ax ≥0，在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤e x 2x ，令h (x )＝e x
2x ，则h ′(x )＝e x (x －1)2x 2，
令h ′(x )＝0，则h (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝e 2，选D ．
16．(2021·全国乙)设a ＝2ln1.01，b ＝ln1.02，c ＝ 1.04－1，则( )
A ．a <b <c
B ．b <c <a
C ．b <a <c
D ．c <a <b
16．答案 B 解析 b －c ＝ln1.02－ 1.04＋1，设f (x )＝ln(x ＋1)－1＋2x ＋1，则b －c ＝f (0.02)，
f ′(x )＝1x ＋1 －221＋2x ＝1＋2x －(x ＋1)(x ＋1)1＋2x ，当x >0时，x ＋1＝(x ＋1)2>1＋2x ，故当x >0时，
f ′(x )＝1＋2x －(x ＋1)(x ＋1)1＋2x <0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (0.02)<f (0)＝0，即b <c ．a －c ＝2ln 1.01－ 1.04＋1，设
g (x )
＝2ln(x ＋1)－1＋4x ＋1，则a －c ＝g (0.01)，g ′(x )＝2x ＋1－421＋4x ＝2[1＋4x －(x ＋1)](x ＋1)1＋4x ，当0<x <2
时，4x ＋1＝2x ＋2x ＋1>x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2＝x ＋1，故当0<x <2时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，2)上单调递增，所以g (0.01)>g (0)＝0，故c <a ，从而有b <c <a ，故选B ．
17．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
17．答案 D 解析 令2x ＝3y ＝5z ＝t (t >1)，两边取对数得x ＝log 2t ＝ln t ln 2，y ＝log 3t ＝ln t ln 3，z ＝log 5t ＝ln t ln 5
， 从而2x ＝2ln 2ln t ，3y ＝3ln 3ln t ，5z ＝5ln 5ln t ．由t >1知，要比较三者大小，只需比较2ln 2，3ln 3，5ln 5
的大小．又2ln 2＝4ln 4，e<3<4<5，由y ＝ln x x 在(e ，＋∞)上单调递减可知，ln 33>ln 44>ln 55，从而3ln 3<4ln 4<5ln 5
，3y <2x <5z ，故选D ．
18．已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则( )
A ．c <b <a
B ．b <c <a
C ．a <c <b
D ．a <b <c
18．答案 D 解析 方法一 由已知e 55＝e a a ，e 44＝e b
b
，
e 33＝e c c ，设
f (x )＝e x x ，则f ′(x )＝(x －1)e x x 2
，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (3)<f (4)<f (5)，f (c )<f (b )<f (a )，所以a <b <c ．
方法二 设e x
＝e 55x ，①，e x ＝e 44x ，②，e x ＝e 33x ，③，a ，b ，c 依次为方程①②③的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标，∵e 55>e 44>e 33
，由图可知a <b <c ．。