无穷小与无穷大

式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).
3. 无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质
定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 定理 在自变量的同一变化过程中 有限个无穷小 的代数和仍是无穷小. 的代数和仍是无穷小 证 设α及β 是当x 0, X 1 > 0, X 2 > 0, 使得
x → x0 ( x→∞ )
不能与很大的数混淆; 注意 （1）无穷大是变量 不能与很大的数混淆 ）无穷大是变量,不能与很大的数混淆
( 2 ) lim f ( x ) = ∞ 是极限不存在的一
x → x0
种特殊情形 .
（3）无穷大是一种特殊的无界变量 但是无 ）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 界变量未必是无穷大
推论1 在自变量的同一变化过程中 有极限的变量 推论 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量 与无穷小的乘积是无穷小. 与无穷小的乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
思考题
在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 反之，无穷小的倒数是否一定为无穷大. 反之，无穷小的倒数是否一定为无穷大.
思考题解答
不一定. 不一定 0 是无穷小，但其倒数不存在 是无穷小，但其倒数不存在. 所以课本上表示为 “非零的无穷小的倒数是 无穷大” 无穷大” .
定义 : 如果 lim f ( x ) = ∞ , 则直线 x = x 0是函数 y = f ( x )
x → x0
的图形的铅直渐近线 . (vertical asymptote)
定理4 无穷小与无穷大的关系) 定理4(无穷小与无穷大的关系)在自变量的同一 过程中,无穷大的倒数为无穷小; 过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无 穷小的倒数为无穷大. 穷小的倒数为无穷大. 证
但 y( x k ′ ) = 2k ′π sin 2k ′π = 0 < M . 不是无穷大．
1 例 证明 lim = ∞. x →1 x 1
证 M > 0. 要使
1 > M, x 1
1 y= x 1
1 1 只要 x 1 < , 取δ= , M M
1 1 1 = ∞. 当0 < x 1 < δ = 时, 就有 > M . ∴ lim x →1 x 1 M x 1
第三节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、小结 思考题
一、无穷小(infinitesimal)
1. 定义 如果函数 f ( x ) 当 x → x0 (或 x → ∞ ) 定义:
时的极限为零 ，那么称 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 .
f (x) 为 当 x → x0 ( 或 x → ∞ ) 时 的 无 穷 小
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
x → x0 x → x0
x → x0
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 ） (无穷小 无穷小); 无穷小 （2）给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达
设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ε > 0, δ > 0, 使得当0 < x x 0 < δ时 1 1 恒有 f ( x ) > , 即 < ε. ε f ( x) 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0.
ε > 0 , δ > 0 ,当0 < x x0 < δ 时，有 f ( x) < ε
例如, 例如
Q lim sin x = 0, ∴ 函数 sin x是当x → 0时的无穷小.
x →0
1 Q lim = 0, x→∞ x
1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x
( (1) n ( (1) n Q lim = 0, ∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. n→ ∞ n n
三、小结 思考题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1. 主要内容 两个定义 四个定理 三个推论 主要内容: 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2. 几点注意 几点注意: 是变量,不能与很小 不能与很小（ （1） 无穷小（ 大）是变量 不能与很小（大） ） 无穷小（ 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是 无穷多个无穷小的代数和（乘积） 无穷小； 无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大 ） 无界变量未必是无穷大.
时为无穷大, 则称函数 f (x)当x → x0(或x → ∞)时为无穷大, 记作
x→x0
lim f ( x) = ∞ (或lim f ( x) = ∞).
x→∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = ∞ )
又设α是当x → x 0时的无穷小,
∴ ε > 0, δ 2 > 0, 使得当0 < x x 0 < δ 2时 ε . 恒有 α < M
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0 < x x 0 < δ时, 恒有 ε uα = u α < M = ε, M ∴ 当x → x 0时, u α为无穷小 .
中 其 α(x)是 x → x0时 无 小 当 的 穷 .
证 必要性 设 lim f ( x ) = A, 令 α( x ) = f ( x ) A, x→ x
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
ε
ε
1 是无穷小， 例如, n → ∞时, 是无穷小， n 1 但 n 个 之和为 1不是无穷小 . n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 设函数 u 在 U ( x 0 , δ 1 )内有界， 内有界，
0
则M > 0, δ 1 > 0, 使得当0 < x x 0 < δ 1时 恒有 u ≤ M .
注意 （1）无穷小是变量 不能与很小的数混淆 不能与很小的数混淆; ）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 （2）零是可以作为无穷小的唯一的数 ）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2. 无穷小与函数极限的关系 无穷小与函数极限的关系:
理1 定 1 理
x→x0
lim f ( x) = A f ( x) = A + α( x),
二、无穷大(infinite)
绝对值无限增大的变量称为无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
义2 定 2 设 数 f (x)在 x0 某 义 函 一去 邻 内 定义 或 心 域 有 （
x 大于某一正数时有定义） 如果对于任意给定的正数 有定义） ．如果 ．
M(不论它多么大),总存在正数 δ(或正数 X ),使得 不论它多么大), ),总存在正数 ),使得 对于适合不等式 0 < x x0 < δ (或 x >X )的一切 x,对应的函数值 f (x)总满足不等式 f ( x) > M,
1 1 例如, 当x → 0时, y = sin x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 .
(1) 取 x k = 1 π 2kπ + 2 ( k = 0,1,2,3,L)
1 1 y = sin x x
π y( x k ) = 2kπ + , 当k充分大时 , y( x k ) > M . 无界， 无界， 2 1 ( 2) 取 x k ′ = ( k ′ = 0,1,2,3,L) 2k ′π 当 k ′ 充分大时 , x k ′ < δ ,
x → x0
∴ M > 0, δ > 0, 使得当0 < x x 0 < δ时 1 , 恒有 f ( x ) < M
1 > M. 由于 f ( x ) ≠ 0, 从而 f ( x)
1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷大 . f ( x)
意义 关于无穷大的讨论, 关于无穷大的讨论 小的讨论. 小的讨论 都可归结为关于无穷
当 x > X 1时恒有 α < ; 当 x > X 2时恒有 β < ; 2 2 取X = max{ X 1 , X 2 }, 当 x > X时, 恒有 ε ε α ± β ≤ α + β < + = ε, 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
练习题答案
一、1. 0；
2. lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
3. ；
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
1 4. . f ( x)
练 习 题
一、填空题: 填空题: 凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1.凡无穷小量皆以________为极限.