圆弧计算公式及运用

圆弧计算公式及运用
.教学内容：
弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积
二.教学要求 1、 了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、 了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三.重点及难点 重点：
1、 弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、 圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点： 1、 弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、 圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］ 知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长
C = 2疔R ,所以1
2K R 即 7［R
面，于是可得半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长 说明：(1)在弧长公式中，n 表示1°的圆心角的倍数，n 和
X 3O"X LO JT
例如，圆的半径R = 10,计算20°的圆心角所对的弧长I 时，不要错写成 1舱。

(2)在弧长公式中，已知 I , n , R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为 是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是
的另一个计算公式：蘭甩
知识点3、弓形的面积
(1) 弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。

(2) 弓形的周长=弦长+弧长 (3) 弓形的面积
的圆心角所对的弧长是
1 _ □讥
艮
I 的计算公式："面，
180都不带单位“度”，
R ，圆心角为n °的扇形面积， 360。

的扇形面积等于圆面积 显然扇形的面积 帧，所以圆心角
为1 °的扇形面积是凭0，由此得圆心角为 * nfrR
1甸，扇形面积 又因为扇形的弧长
n °的扇形面积的计算公式是
---- 可以写顺-• ----- •/?
玄D 2 1甜，所以又得到扇形面积
rJ
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，
AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形
分析：由图可知 勺阴总囲慮如由圆周角定理可知/ ABC =亍/ AOC ，所以 / AOC = 2/ ABC =
90°,所以△ OAC 是直角三角形，所以
二 J GA*CC = L-^'2X 2 = Z 菇逐込 U =二灯
所以S 阴a ；廉能C 如£ ~^iOAC =兀~2
注意：(1
)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

圆周长 弧长 圆面积 扇形面积
公 式
C= 2-jiR. G = -nd
S-门
360
S=llR^
3= H 股 360 S 丄R
2
(2)扇形与弓形的联系与区别 (2)扇形与弓形的联系与区别
图 示
ri -1 + *
丹f
面 积
% =爲*- S 』
焉闿=占吕国 % =匚总+必
知识点4、圆锥的侧面积
从图中可以看出，只要把
AmB 的面积。

fl
当弓形所含的弧是半圆时, 例：如图所示，O O 的半 (结果用厅表示)
如图 1所示，
如图 2所示，
% =思离唇g 总七血a
如图
3所示，
:径为
2,/ ABC =45°，则图中阴影部分的面积是 ( )
扇形OAmB 的面积和^ 4
当弓形所含的弧是劣弧时, 当弓形所含的弧是优弧时, PH
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 那么这个扇形的半径为I ，扇形的弧长为2珊，圆锥的侧面积细亦，圆锥的全 面积E 仝三呂鶴* E 底—卅i +册—+
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并 明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形， 如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长， 若圆柱的底面半径为r ,高为h ,则圆柱的侧面积召-2於",圆柱的全面积 E 隹=S 韵+S 庭=為•从亦'=3疔（时+ F ）
【典型例题】
I ，底面圆的半径为 r
,
知识小结： 圆锥与圆柱的比较
名称
图形
图形的形成过程
图形的组成 侧面展开图的特征 面积计算方法
圆锥
由一个直角三角形旋转得到
的，女0 Rt △ SOA 绕直线 SO 旋转一周。

一个底面和一个侧面 扇形
弘■皿1
呂仝■呂» + S 慝-冗ri+町
圆柱
由一个矩形旋转得到的，如矩形 ABCD 绕
直线AB 旋转一周。

两个底面和一个侧面 矩形
Spg - 2jcrh
S 徨■ £ 购 + 2S 慝-2：5iih + 210■之
|__
例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为 则阴影部分的面积是（
）
4
—71
A. 4兀
B.加
C. 3
D. n
分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为 360"-ZAOa =360^-120"= 240"
2, 1,/ AOB = 120°
所以务達.思I-%光D 故答案为： B.
例2. （2004 •陕西）如图所示，点 3
厘米，tan / BAC = 4 ,求阴影部分的面积。

C 在以AB 为直径的半圆上，连接 AC , BC , AB = 10
分析：本题考查的知识点有： 识（3）组合图形面积的计算。

解：因为AB 为直径，所以/ 在 Rt △ ABC 中，AB = 10, 设BC = 3k , AC = 4k ,
（ k 不为0,且为正
数）
由勾股定理得加+ 叫所以k = 2
90°,（ 2）解直角三角形的知
ACB = 90°,
3
tan / BAC = 4 ,而 tan / BAC =丿亡
SC
= 24
所以 BC = 6, AC = 8, 2 25
_ 2 ■皿=
25
=——7C
2
所以
例3. （2003.福州） 形 AOB ,点 C , E, D 垂足为F ,如果正方形的边长为 1，那么阴影部分的面积为（
Ji
的圆心角为直角，正方形 OCDE 内接于扇
如图所示，已知扇形 AOB 分别在OA , OB 及AB 弧上，过点A 作AF 丄ED 交ED 的延长线于 F , ） l
i
Z40 亠 240
,
-- H X 1
（1）直径所对圆周角为
分析：连接 OD ，由正方形性质可知/ EOD = / DOC = 45°,在 Rt △ OED 中，OD =
一部分为M ,另一部分为 积可求，但这种方法较麻烦， 因为/ BOD =/ DOC ，所以
名丽BOD = ^J«jyi5D0A* 所以耐 * 九ED =卩* 所以弘ED = ^iOCE 所以M = P ,所以
答案：应-1。

例 4.如图所示，直角梯形 ABCD 中，/ B = 90°, AD // BC , AB = 2, BC = 7, AD = 3, 以BC 为轴把直角梯形 ABCD
分析：将直角梯形ABCD 绕
BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组 成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面
积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。

解：作DH 丄BC 于H ，所以DH = AB = 2
CH = BC — BH = BC — AD = 7 — 3 = 4
在^ CDH 中，
CD = J D L + CH ： = 仃 4? = 275
所以S 克=S 型氓g + S 因庄貼+£恿=1・DH ・CD + AB • AD + "•(AB)' = 4运+ 16ii
例5. (2003.宁波)已知扇形的圆心角为 120°，面积为30W 平方厘米
(1) 求扇形的弧长。

(2) 若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？
S
分析：(1)由扇形面积公式
S ="
公式 360求得。

(2)由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形 ABC , ( 1)问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为
C = 2疔r ,底面圆
半径r 即CD 的长可求，圆锥的高AD 可在Rt △ ADC 中求得，所以叽也厂2直。

*巳匚可求。

解：(1)
1，所以OE = DE = 1,所以00 =的，设两部分阴影的面积中的 N ，则皿=用矗屈总他-心。

皿阳=帝能迹5-忙|和加助1，阴影部分面 用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为
P ,
因为正方形的边长为 -'正 H 庁 MDE -
• 0A - 0E '-亠h - 1
R ,扇形的弧长可由弧长
设扇形的半径为R,
30011 = — ，得 药0
，解得R = 30.
—jtR. = ---- xzo = aojT ISO ISO （厘米）。

在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = R = 30, BC = 2r ，底面圆周长 C =
2〒r ,因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以 2加=20%所加=10
在Rt △ ADC 中，高AD =伍匸莎=莎二而=如忑
瓦 =J-AD* BC = ix2DV3 x20 = 200 Ji 所以轴截面面积
2 2 （平方厘米）。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
」、选择题
1.
若一个扇形的圆心角是 45°,面积为2沢，则这个扇形的半径是
（ C. 47 JI D. 2 罷 JI
60°,则扇形的面积是所在图面积的（
A. M
B. 6
3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（
1册
所以扇形的弧长 （2）如图所
A. 4
B. 2 庞
2.扇形的圆心角是 A. 90 ° B.汇 4. 两同心圆的圆心是 径是小圆半径的3倍, A. 2倍 B. 3倍 5. 半圆0的直径为 A QM-g 屈品 (37r — — C. 2
C.兀
D.180 °
0,大圆的半径是以 0A ，0B 分别交小圆于点 则扇形0AB 的面积是扇形 0MN 的面积的（ C. 6倍 D. 9倍
6cm , / BAC = 30°，则阴影部分的面积是（
（孑JT- ?书）£炖2
B. 4
N .已知大圆半
7.
用一个半径长为 6cm
A. 2 cm
B. 3cm
圆锥的全面积和侧面积之比是 A.30 ° B. 60 °
的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为
C. 4cm
D. 6cm
3 : 2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ C.90 ° D.120 °
已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆, 2,则它们的高之比为（ 且它们的侧面积之比为 1 :
A. 2 : 1
B. 3 : 2
9.如图，在△ ABC 中， 的侧面积为
S i ，以BC 为底面圆半径,
）
C. 2罷:的
D. 5 : 2屈 / C = Rt /, AC > BC ，若以AC 为底面圆半径，BC 为高的圆锥 AC 为高的圆锥的侧面积为 S 2,则（） A. S 1= S 2 B. S 1 > S 2 C. S i < S 2 D. S i 、S 2 的大小关系不确定
D.
»
二、填空题
1. 扇形的弧长是 12刃cm ,其圆心角是 90 °,则扇形的半径是
是 _____ cm 2
. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的
3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是
—.
3. 已知扇形面积是12cm 2
,半径为8cm ,则扇形周长为 ___________ .
4在^ ABC 中，AB = 3, AC = 4,/ A = 90°，把 Rt △ ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一 个圆锥，其全面积为 S 1 ；把Rt △ ABC 绕AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为 S 2,则 S 1 : S 2= 。

5. 一个圆柱形容器的底面直径为 2cm ，要用一块圆心角为 240°的扇形铁板做一个圆锥形 的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm 。

6.
如图，扇形AOB 的圆心角为60°,半径为6cm , C , D 分别是AB 的三等分点，则阴 影部分的面积是 。

ft
7.如图正方形的边长为 2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心，
以2为半径画弧，则阴
影部分面积为 。

F
2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是
£
如果圆锥和圆柱等底等高，求
.
3. 圆锥的底面半径是 R ，母线长是3R , M 是底面圆周上一点，从点
M 拉一根绳子绕圆
锥一圈，再回到 M 点，求这根绳子的最短长度
.
cm ，扇形的面积
三、计算题
1.如图，在 Rt △ ABC 中，AC = BC ，以A 为圆心画弧 线于点F ,交BC 于点E ,若图中两个阴影部分的面积相等， 取3）。

DF ,交AB 于点D ，交AC 延长 求 AC 与AF 的长度之比（貝
S i ,另一个圆锥的侧面积是 S 2,
I 祢熱爰生命吗？那么别浪费时间，因対时间是组咸生IT/谕的材料一富兰前^
【试题答案】
」、选择题
1. A
2. B
3. C
4. D
5. B
6. B
7. B
8. C
9. B
二、填空题
24 40°
19cm 3: 4
三、计算题
1、连接 AE ，则二 耳矗一凡朋石，所以 AC . AF' = * 2
2、
3、连接展开图的两个端点 MM'，即是最短长度。

利用等量关系得出/ MAM ‘= 120 ,AD =2
1、 2
144把。