2016-2017学年安徽省阜阳市太和中学高二下学期期中数学试卷(理科)

2016-2017学年安徽省阜阳市太和中学高二下学期期中数学试卷（理科）
一、选择题： (共12题；共24分)
1．（2分）已知“三段论”中的三段：
①y =2sin 12x +cos 1
2
x 可化为y=Acos （ωx+φ）；
②y=Acos （ωx+φ）是周期函数；
③y =2sin 12x +cos 1
2
x 是周期函数，
其中为小前提的是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．①和②
2．（2分）已知x ，y 是实数，i 是虚数单位， x
1+i =1−yi ，则复数x+yi 在复平面内对应的点位于
（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（2分）已知四棱锥P ﹣ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2,3) ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1,0) ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,2,−8) ，则
点P 到底面ABCD 的距离为（ ） A ．√2613
B ．√2626
C ．1
D ．2
4．（2分）设a 、b ∈（0，+∞），则“a b ＜b a ”是“a ＞b ＞e”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（2分）已知两点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方
程是（ ） A ．x 2
16 + y 2
9 =1
B ．x 216 + y 2
12
=1
C ．x 2
4 + y 2
3
=1 D ．x 23 + y 2
4
=1 6．（2分）已知i 是虚数单位， z
̅ 是复数z 的共轭复数， z +|z|•i =1+2i ，则z 的虚部为（ ） A ．−34
B ．34
C ．−34
i
D ．34
i
7．（2分）类比平面内三角形“三边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心”的性质，可推知四面体的
下列性质（ ）
A ．过四面体各面的垂心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心
B．过四面体各面的内心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心
C．过四面体各面的重心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心
D．过四面体各面的外心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心8．（2分）曲线y=e ax cosx在x=0处的切线与直线x+2y=0垂直，则a=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 9．（2分）抛物线y=x2﹣4x+3与x轴围成的封闭图形的面积为（）
A．2
3B．4
3
C．2D．8
3
10．（2分）设A、B、C为锐角△ABC的三个内角，M=sinA+sinB+sinC，N=cosA+2cosB，则（）
A．M＜N B．M=N
C．M＞N D．M、N大小不确定
11．（2分）如图，F1、F2分别为双曲线C：x2
a2
−y
2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直
线l交C于A、B两点，若C的离心率为√7，|AB|=|AF2|，则直线l的斜率为（）
A．1
2B．√3
3
C．√2
2
D．√3
2
12．（2分）若关于x的不等式（ax+1）（e x﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．[0,e
2
]D．[0，e]
二、填空题 (共4题；共8分)
13．（2分）已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，z1=3﹣i，则z1•z2=．14．（2分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x﹣1，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，且l 在y轴上的截距为﹣2，则实数a=．
15．（2分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=a，a2=a2，a n+2=a n+1﹣a n，S56=6，则
a=．
16．（2分）已知F 是椭圆C ： x 220 + y 2
4
=1的右焦点，P 是C 上一点，A （﹣2，1），当△APF 周长
最小时，其面积为 ．
三、解答题 (共6题；共30分)
17．（5分）设非等腰△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数
列，用分析法证明：
1a−b +1
c−b
= 3a−b+c ． 18．（5分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，H 分别为A 1B 1，B 1C 1，CC 1的中点．
（Ⅰ）证明：BE ⊥AH ；
（Ⅱ）在棱D 1C 1上是否存在一点G ，使得AG ∥平面BEF ？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由．
19．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，3S n =a n （n+2），n ∈N *．
（Ⅰ）求a 2，a 3并猜想a n 的表达式； （Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．
20．（5分）设函数 f(x)=2alnx +
lnx
x
． （Ⅰ）若 a =−1
2
，求f （x ）的极值；
（Ⅱ）若f （x ）在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围．
21．（5分）已知椭圆C 1： y 2
a
2 +x 2=1（a ＞1）与抛物线C 2
：x 2=4y 有相同焦点F 1．
（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l 1过椭圆C 1的另一焦点F 2，且与抛物线C 2相切于第一象限的点A ，设平行l 1的直线l 交椭圆C 1于B ，C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线l 的方程．
22．（5分）已知函数 f(x)=
13
x 3−x 2
−3x 有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，记点M （x 1，f （x 1）），N （x 2，f （x 2））． （Ⅰ）求直线MN 的方程；
（Ⅱ）证明：线段MN 与曲线y=f （x ）有且只有一个异于M 、N 的公共点．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：将推理改为三段论的形式，
大前提：②y=Acos （ωx+φ）是周期函数；
小前提：①y =2sin 12x +cos 1
2x 可化为y=Acos （ωx+φ）；
结论：③y =2sin 12x +cos 1
2
x 是周期函数
故选：B ．
【分析】根据推理，确定三段论中的大前提；小前提；结论，从而可得结论．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由 x 1+i =x(1−i)(1+i)(1−i)=x 2−x
2i =1−yi ，得： {x 2=1x 2
=y ，即x=2，y=1． ∴复数x+yi 在复平面内对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限． 故选：A ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得x ，y 值，则答案可求．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：四棱锥P ﹣ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2,3) ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1,0) ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,2,−8) ，设平面ABCD 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ）， 则 {n
⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n
⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， 可得 {
4x −2y +3z =0
−4x +y =0
， 不妨令x=3，则y=12，z=4，
可得 n ⃗ =（3，12，4）；
则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,2,−8) ，在平面ABCD 上的射影就是这个四棱锥的高h ，
所以h=| AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||cos ＜ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞|=| AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗⃗⃗
|n ⃗⃗⃗ | |= |−18+24−32|13
=2； 所以该四棱锥的高为2． 故选：D ．
【分析】求出平面ABCD 的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：令f（x）= lnx
x ，x∈（0，+∞），f′（x）= 1−lnx
x2
，可得x＞e时，函数f（x）
单调递减．
由a＞b＞e，可得lna
a ＜lnb
b
，即a b＜b a．反之不一定成立，
∴“a b＜b a”是“a＞b＞e”的必要不充分条件．
故选：B．
【分析】令f（x）= lnx
x
，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，两点F1（﹣2，0），F2（2，0），则|F1F2|=4，|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，即|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8，
则动点P的轨迹为椭圆，焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），且a=4，
则有c=2，又由a=4，有b2=a2﹣c2=12；
故椭圆的方程为x 2
16+ y2
12
=1；
故选：B．
【分析】根据题意，分析可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8，结合椭圆的定义分析可得动点P的轨迹为椭圆，焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），a=4，由椭圆的性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．6．【答案】A
【解析】【解答】解：设z=x+yi，z̅=x﹣yi，x，y∈R，
∵z̅+|z|•i=1+2i，∴x﹣yi+ √x2+y2i=1+2i，
∴x=1，√x2+y2﹣y=2，
解得x=1，y=﹣3
4
．
则z的虚部为﹣3
4
．
故选：A．
【分析】设z=x+yi，z̅=x﹣yi，x，y∈R，由z̅+|z|•i=1+2i，可得x﹣yi+ √x2+y2i=1+2i，利用复数相等即可得出．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：类比平面内三角形“三边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心”的性质，可推知过四面体各面的外心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心，
故选D．
【分析】类比平面内三角形“三边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心”的性质，可推知过四面体各面的外心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心，即可得出结论．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵y=e ax cosx ，∴y′=（acosx ﹣sinx ）e ax
∴曲线y=e ax cosx 在x=0处的斜率为a ，
∵曲线y=e ax cosx 在x=0处的切线与直线x+2y=0垂直， ∴﹣ 12 a=﹣1，即a=2．
故选：D ．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f （x ）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：由x 2﹣4x+3=0，得x=1，x=3，
∴抛物线y=x 2﹣4x+3与x 轴围成的封闭图形的面积为S=﹣ ∫13
（x 2﹣4x+3）dx=﹣（ 13
x 3﹣
2x 2+3x ）| 1
3
=﹣[（9﹣18+9）﹣（ 13 ﹣2+3）]= 43
故选：B
【分析】由x 2﹣4x+3=0，得x=1，x=3再由图形可知求出x 从1到3，x 2﹣4x+3上的定积分即为抛物线y=x 2﹣4x+3与x 轴围成的封闭图形的面积．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC 为锐角三角形，
∴A+B ＞90°， ∴A ＞90°﹣B ，
∴sinA ＞sin （90°﹣B ）=cosB ，即：sinA ＞cosB ， 同理可得：sinB ＞cosC ，sinC ＞cosA ，
上面三式相加：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC ， ∴在锐角△ABC 中，sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC ， ∴M ＞N ， 故选：C ．
【分析】首先，根据锐角三角形的角的特点，A+B ＞90℃+B ＞90°A+C ＞90°，然后，利用诱导公式进行判断，得到sinA ＞cosB ，sinB ＞cosC ，sinC ＞cosA ，最后，利用不等式的性质，从而得到相应
11．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知e= c
a
= √7，c= √7a，
由双曲线的定义可知：丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a，丨AB|=|AF2|，则丨BF1丨=2a，丨BF2丨﹣丨BF1丨=2a，即丨BF2丨=4a，
在△BF1F2中，由余弦定理可知：
cosBF1F2= |BF1|2+|F
1F2|
2−|BF
1|
2
2|BF1||F1F2|
= (2a)
2+(2√7a)2−(4a)2
2×2a×2√7a
= 2√7
7
，
则tanBF1F2= √3
2
，
直线l的斜率√3
2
，
故选D．
【分析】由题意求得c= √7a，利用双曲线的定义，求得丨BF1丨=2a，丨BF2丨=4a，利用余弦定理求得cosBF1F2，即可求得tanBF1F2，求得直线l的斜率．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：∵不等式（ax+1）（e x﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴①当a=0时，（ax+1）（e x﹣aex）=e x＞0在（0，+∞）上恒成立；
②当a＜0时，e x﹣aex＞0恒成立，故不等式（ax+1）（e x﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒成立
⇔ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立⇔a≥﹣1
x
在（0，+∞）上恒成立．
∵y=﹣1
x
在（0，+∞）上单调递增，
∴当x→+∞时，y→0，
∴a≥0，又a＜0，∴a∈∅；
③当a＞0时，ax+1＞0恒成立，故不等式（ax+1）（e x﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒成立
⇔e x﹣aex≥0在（0，+∞）上恒成立⇔a≤ e x−1
x
在（0，+∞）上恒成立，
因此，a≤（e x−1
x
）min，
令g（x）= e x−1
x
（x＞0），则g′（x）= xe
x−1−e x−1
x2
= (x−1)e
x−1
x2
（x＞0），
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在区间（0，1）上单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
∴当x=1时，g（x）= e x−1
x
（x＞0）取得极小值g（1）=1，也是最小值，
综上所述，0≤a≤1，
故选：B．
【分析】依题意，分a=0，a＜0，a＞0三类讨论，将不等式（ax+1）（e x﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒在（0，+∞）上恒成立（a＜0）或e x﹣aex≥0在（0，+∞）上恒成立（a＞0），再成立转化为a≥﹣1
x
分别构造函数，解之即可．
13．【答案】10
【解析】【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，z1=3﹣i，∴z2=﹣1+3i．则z1•z2=（3﹣i）（﹣1+3i）=10i．
故答案为：10i．
【分析】复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，z1=3﹣i，可得z2=﹣1+3i．再利用复数的运算法则即可得出．
14．【答案】-1
【解析】【解答】解：函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x﹣1的导数为f′（x）=e x﹣2ax﹣2，
在点（1，f（1））处的切线斜率为e﹣2a﹣2，
切点为（1，e﹣a﹣3），又切线过（0，﹣2），
，解得a=﹣1；
则e﹣2a﹣2= e−a−3+2
1−0
故答案为：﹣1．
【分析】求出导数，求得切线的斜率和切点，再由两点的斜率公式，解方程可得a的值．15．【答案】﹣3或2
【解析】【解答】解：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得
a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，
所以6为数列{a n}的周期，
又a3=a2﹣a1=a2﹣a，a4=a3﹣a2=﹣a，a5=a4﹣a3=﹣a2，a6=a5﹣a4=a﹣a2，
∴S6=0．
∵S56=6，∴S56=S54+a+a2=a+a2=6，解得a=﹣3或2．
故答案为：﹣3或2．
【分析】由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，所以6为数列{a n}的周期，可得S6=0．于是S56=S54+a+a2=a+a2=6，解得a．16．【答案】4
【解析】【解答】解：椭圆C ： x 220 + y 2
4
=1的a=2 √5 ，b=2，c=4，
设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F （4，0）． △APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a ﹣|PF'|） =|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a ，
当且仅当A ，P ，F'三点共线，即P 位于x 轴上方时，三角形周长最小． 此时直线AF'的方程为y= 12 （x+4），代入x 2+5y 2=20中，可求得P （0，2）， 故S △APF =S △PF'F ﹣S △AF'F = 12 ×2×8﹣ 12 ×1×8=4．
故答案为：4．
【分析】利用椭圆的定义，确定△APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出△APF 周长最小时，该三角形的面积．
17．【答案】证明：要证明： 1a−b +1c−b = 3a−b+c ， 只要证明 a+c−2b
(a−b)(c−b) =
3
a−b+c
，
只要证明（a+c ﹣2b ）（a ﹣b+c ）=3（a ﹣b ）（c ﹣b ）， 只要证明（a+c ﹣b ）2﹣b （a+c ﹣b ）=3（ac+b 2﹣bc ﹣ab ）， 只要证明b 2=a 2+c 2﹣ac ，
只要证明 cosB =a 2+c 2
−b 22ac =12
，
只要证明B=60°，
只要证明A 、B 、C 成等差数列，故结论成立．
【解析】【分析】用分析法证明，结合余弦定理可得结论．
18．【答案】（Ⅰ）证明：建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ，设AB=1， 则A （1，0，0），B （1，1，0）， E(1,12,1) ， H(0,1,1
2
) ，
∴AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,12) ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−12,1)
，∵AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，∴BE ⊥AH ．
（Ⅱ）解：设G （0，t ，1），则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,t,1) ， F(1
2,1,1) ，
设平面BEF 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z) ，∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0) ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1) ，
∴{−12x +1
2y =0
−1
2x +z =0 ，令z=1得 n ⃗ =(2,2,1) ， ∵AG ∥平面BEF ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =（﹣1，t ，1）•（2，2，1）=0，解得 t =1
2
， ∴当G 是D 1C 1的中点时，AG ∥平面BEF ．
【解析】【分析】（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，证明： AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即可证明BE ⊥AH ；
（Ⅱ）设G （0，t ，1），求出平面BEF 的法向量，利用AG ∥平面BEF ，可得结论．
19．【答案】解：（Ⅰ）由已知得3（a 1+a 2）=4a 2，a 2=6，3（a 1+a 2+a 3）=5a 3，a 3=12，
猜想a n =n （n+1）．
（Ⅱ）当n=1时，显然成立．
假设当n=k （k≥1）时成立，即a k =k （k+1），
当n=k+1时，3S k+1=a k+1（k+3），即3（S k +a k+1）=（k+3）a k+1， ∵3S k =a k （k+2），
∴ka k+1=a k （k+2）=k （k+1）（k+2）， a k+1=（k+1）（k+2）， ∴当n=k+1时猜想也成立， 故猜想正确
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得a 1=2，3S n =a n （n+2），可求得a 2，再由a 2的值求 a 3，猜想a n =n
（n+1）．（Ⅱ）检验n=1时等式成立，假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
20．【答案】解：（Ⅰ）定义域为x ∈（0，+∞）． 当 a =−12 时， f ′
(x)=
−x+1−lnx x 2
且f'（1）=0． 令h （x ）=﹣x+1﹣lnx ，则 ℎ′(x)=−1−1x <0 ，
故h （x ）在定义域上是减函数，
注意到h （1）=0，
∴当x ∈（0，1）时，h （x ）＞h （1）=0，此时f'（x ）＞0；
当x ∈（1，+∞）时，h （x ）＜h （1）=0，此时f'（x ）＜0．
∴f （x ）的极大值为f （1）=0，无极小值．
（Ⅱ）当x ∈（0，+∞）时，f′（x ）=
2ax+1−lnx x 2 ≥0， 故2a≥ lnx−1x
， 令 g(x)=
lnx−1x ， ∴g ′(x)=2−lnx x 2
， 由g'（x ）＞0得x ∈（0，e 2），
由g'（x ）＜0得x ∈（e 2，+∞），
故g （x ）的最大值为 g(e 2)=1e 2 ， ∴2a≥ 1e 2 ，a≥ 12 e ﹣2 【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数到底是，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题转化为2a≥ lnx−1x
，令 g(x)=lnx−1x
，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 21．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线x 2=4y 的焦点为F 1（0，1），
∴c=1，又b 2=1，∴a =√2
∴椭圆方程为： y 22
+x 2=1． （Ⅱ）F 2（0，﹣1），由已知可知直线l 1的斜率必存在，
设直线l 1：y=kx ﹣1
由 {y =kx −1x 2=4y
消去y 并化简得x 2﹣4kx+4=0 ∵直线l 1与抛物线C 2相切于点A ．
∴△=（﹣4k ）2﹣4×4=0，得k=±1．
∵切点A 在第一象限．
∴k=1
∵l ∥l 1
∴设直线l 的方程为y=x+m
由 {y =x +m
y 22
+x 2=1 ，消去y 整理得3x 2+2mx+m 2﹣2=0， △=（2m ）2﹣12（m 2﹣2）＞0，
解得 −√3<m <√3 ．
设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则 x 1+x 2=−2m 3 ， x 1x 2=m 2−23
|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2
−4x 1x 2=√(−2m 3)2−4•(m 2−2)3=2√23√3−m 2 又直线l 交y 轴于D （0，m ）
∴S △OBC =12•|OD|•|x 1−x 2|=12•|m|•2√23•√3−m 2=√23
√m 2(3−m 2) = 2√23•√3−m 2=√23•√−(m 2−32)2+94
当 m 2=32 ，即 m =±√62
∈(−√3,√3) 时， (S △OBC )max =√22 所以，所求直线l 的方程为 y =x ±√62
【解析】【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F 1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a 、b 即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F 2（0，﹣1），由已知可知直线l 1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k ，然后利用直线的平行，设直线l 的方程为y=x+m 联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l 的方程．
22．【答案】解：（Ⅰ）令f'（x ）=x 2﹣2x ﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，
且f （x ）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，3）上单调递减，
∴x 1=﹣1， f(−1)=53 ，x 2=3，f （3）=﹣9，即 M(−1,53
) ，N （3，﹣9）， ∴直线MN 的方程为 y +9=53+9−1−3(x −3) ，化简得 y =83x −1 ．
（Ⅱ）设g （x ）=f （x ） −(−83
x −1) = 13x 3−x 2−13x +1 ， 则线段MN 与曲线y=f （x ）的公共点即g （x ）在区间[﹣1，3]上的零点．
令 g ′(x)=x 2−2x −13 =0，解得 x 3=1−2√33 ， x 4=1+2√33 ， 且g （x ）在区间 [−1,1−2√33] ， [1+2√33
,3] 上单调递增，
在区间( −2√3
3,1+
2√3
3
)上单调递减．
∴由1−2√3
3<0<2<1<1+
2√3
3
可得g(1−2√3
3
)>g(0)=1＞g（2）=﹣1 >g(1+2√33)，
即g(1−2√3
3
)>0，g(1+2√33)<0，∴g（x）在区间(1−2√33,1+2√33)上有且仅有有一个零点．
当−1<x≤1−2√3
3，有0=g（﹣1）＜g（x），∴g（x）在(1,−2√3
3
)上无零点；
当1+2√3
3
≤x<3时，有g（x）＜g（3）=0，∴g（x）在(1+2√33,3)上无零点；
综上，g（x）在区间（﹣1，3）上有且仅有一个零点．
所以线段MN与曲线y=f（x）有且只有一个异于M、N的公共点
【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数令f'（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，判断函数的单调性求
出MN，然后求解直线方程．（Ⅱ）设g（x）=f（x）−(−8
3x−1)=
1
3
x3−x2+
1
3
x+1，推出线段
MN与曲线y=f（x）的公共点即g（x）在区间[﹣1，3]上的零点．令g′(x)=x2−2x−1
3
=0，通过判断函数的极值判断函数的单调性，推出结果即可．。