九年级数学上册 第23章 一元二次方程 §23.2 一元二次方程的解法名师教案3 华东师大版

一元二次方程的解法(3)

教学目标：

知识技能目标

x2＋px＋q＝0(p2-4q≥0)的方程变形为(x＋m)2＝n(n≥0)类型；

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的数字系数的一元二次方程；

3.培养学生准确、快速的计算能力以及观察、比较、分析问题的能力；

过程性目标

1.让学生经历配方法的推导形成过程，并能够熟练地运用配方法求解一元二次方程；

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)数字系数的一元二次方程，并与形如x2＋px＋q＝0的方程进行比较，感悟配方法的本质．

情感态度目标

通过本节课，继续渗透由未知向已知转化的思想方法，配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．

重点和难点

重点：掌握用配方法解一元二次方程；

难点：把一元二次方程化为(x＋m)2＝n的形式．

教学过程

一、创设情境

问题：怎样解下列方程：(1)x2＋2x＝5；(2)x2－4x＋3＝0．

二、探究归纳

思考能否经过适当变形，将它们转化为(x－m)2＝n(n≥0)的形式，应用直接开平方法求解？

分析对照公式：a2±2ab+b2＝(a+b)2，对于x2＋ax型的代数式，只需再加上一次项系数

一半的平方，即可得到

2

2

2

2

2

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

+

a

x

a

ax

x完成转化工作．

解(1)原方程化为x2＋2x＋1＝5＋1．即(x＋1)2＝6．

两边开平方，得 x ＋1＝±6．

所以x 1＝6－1,x 2＝－6－1．

(2)原方程化为x 2－4x ＋4＝－3＋4

即(x －2)2＝1．

两边开平方，得x －2＝±1．

所以x 1＝3, x 2＝1．

归纳 上面，我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．这样，就能应用直接开平方的方法求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

运用配方法解一元二次方程的步骤：第一步是移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；第二步是配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，进行这一步的依据是等式的基本性质和完全平方公式a 2±2ab +b 2＝(a +b )2；第三步是用直接开平方法求解．

三、实践应用

例1 用配方法解下列方程：(1)x 2－6x －7＝0；(2)x 2＋3x ＋1＝0．

解 (1)移项，得x 2－6x ＝7……第一步

方程左边配方，得x 2－2∙x ∙3＋32＝7＋32……第二步

即 (x －3)2＝16．

所以x －3＝±4．

原方程的解是x 1＝7，x 2＝-1．

(2)移项，得x 2＋3x ＝－1．

方程左边配方，得x 2＋2∙x ∙

23＋(23)2＝－1＋(23)2, 即(x ＋23)2＝4

5． 所以x ＋

23＝±25．

原方程的解是x 1＝－

23＋25，x 2＝－2

3－25． 试一试用配方法解方程：x 2＋px ＋q ＝0(p 2-4q ≥0)

解 移项，得x 2

＋px ＝－q ， 方程左边配方，得2

222222⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+p q p p x x 即44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 当p 2-4q ≥0时，得2

422q p p x -±=+ 原方程的解是242

42221q p p ，x q p p x ---=-+-=

例2 如何用配方法解方程：2x 2＋3＝5x ．

分析 这个方程化成一般形式后，二次项的系数不是1，而上面的几个方程二次项的系数都是1，只要将这个方程的二次项系数化为1，就变为上面的问题．因此只要在方程的两边都有除以二次项的系数2就可以了．

解 移项，得：2x 2－5x ＋3＝0，

把方程的各项都除以2，得023252=+-

x x ， 配方，得22

245234525⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-x x ， 即161452

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x ， 所以4

145±=-

x ， 原方程的解是12321==x x ，． 说明 例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对形如一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)用配方法求解的步骤是：

第一步：化二次项系数为1；

第二步：移项；

第三步：配方；

第四步：用直接开平方法求解．

思考 怎样解方程9x 2－6x ＋1＝0比较简单？

解法(1) 化二次项的系数为1，得091962=+-

x x ， 移项，得91962-=-

x x ， 配方，得22231913196⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-x x , 所以，0312=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x ． 原方程的解是3

121==x x ． 解法(2) 原方程可整理为(3x －1)2＝0． 原方程的解是3

121==x x ． 比较上面两种方法，让学生体会配方法是通用方法，但有时用起来麻烦；解法(2)是据方程的特点所采用的特殊的方法，较解法(1)简捷，明快．所以学习不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，可根据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养灵活运用能力．

四、交流反思．

1的一元二次方程，其步骤如下：

(1)把二次项系数化为1；

(2)移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项；

(3)配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；

(4)用直接开平方法求解．配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的又一种方法．