2023届高考数学二轮复习微专题13利用基本不等式求代数式的最值问题作业

微专题13 利用基本不等式求代数式的最值问题
1.正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8y
xy 的
最小值为________．
2．若a>b>0，则a 2
＋1ab ＋1a （a －b ）的
最小值为________．
3．(2018·苏州大学届考前指导)已知a>0，b>0，则a 2a ＋b ＋2b
2b ＋a
的最大值为________．
4．设正实数x ，y 满足xy ＝x ＋y
x －y ，则
实数x 的最小值为________．
5．(2017·苏北四市高三期中)已知正数a ，b 满足1a ＋9
b ＝ab －5，则ab 的最小
值为________．
6．已知正实数a ，b ，c 满足a 2
＋b 2
＝c 2
，则
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋c b 的最小值为________．
7.已知对任何实数x，y，不等式ax2y2＋x2＋y2－3xy＋a－1≥0恒成立，求实数a的范围．
8．设实数x ，y 满足x 2
4－y 2＝1，求3x 2
－2xy 的最小值．
微专题13
1．答案：9. 解析：
x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ×x ＋2y 2＝12×⎝
⎛
⎭⎪⎫10＋16y x ＋x y ≥
12×⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
10＋216y x ·x y ＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时取等号．
2．答案：4. 解析：a 2
＋
1
ab
＋
1a （a －b ）＝a 2＋1ab ＋1a 2－ab ＝[(a 2
－ab )＋ab ]＋1ab ＋1a 2－ab
≥2＋2＝4，
当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a 2－ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时，a 2
＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.
3．答案：2－22
3
.
解析：设m ＝2a ＋b >0，n ＝2b ＋a >0，则a ＝2m －n 3，b ＝2n －m
3，所以原式＝2m －n 3m ＋
4n －2m 3n
＝2－n 3m －2m
3n ≤2－2
n 3m ·2m 3n ＝2－223，当且仅当n 3m ＝2m 3n
，即n ＝2m 时等号成立． 4．答案：2＋1. 解析：由xy ＝
x ＋y x －y 得到x －y ＝1x ＋1y ，那么x －1x ＝y ＋1
y
≥2；又由x >0得到x ≥2＋1. 5．答案：36.
解析：因为1a ＋9
b
＝ab －5≥
2
1a ·9b
＝6ab
，所以
ab (ab －5)≥6，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝18时，等号成立．
6．答案：3＋2 2.
解析：设u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋c b ＝1＋c a ＋c b ＋c 2
ab ≥1＋
2
c 2ab ＋c 2ab ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋c 2ab 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋a 2＋b 2ab 2≥(1＋2)2
＝3＋22，当且仅当a ＝b ＝2
2
c 时，等号成立． 7．答案：⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
2＋12，＋∞.
解析：ax 2y 2
＋x 2
＋y 2
－3xy ＋a －1≥0等价于a (x 2y 2
＋1)＋2xy －3xy －1≥0，即a ≥xy ＋1
x 2y 2＋1
，
下面只要求f (x ，y )＝
xy ＋1x 2y 2
＋1的最大值即可．令t ＝xy ，那么t ＋1t 2＋1＝1t 2＋1t ＋1＝1
t ＋1＋2
t ＋1
－2
≤12（2－1）＝2＋12，故a ≥2＋12.当且仅当⎩⎪⎨
⎪⎧t ＋1＝2t ＋1x ＝y
时取“＝”，当且仅当2a 2＝b 2时等号成立．
8．答案：6＋4 2. 解析：由x 2
4
－y 2＝1等价于x 2
－4y 2
＝4，则(x －2y )(x ＋2y )＝4；设⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＝a ，
x ＋2y ＝b ，那么有
ab ＝4且x ＝a ＋b 2，y ＝b －a
4；故3x 2
－2xy ＝3（a 2
＋2ab ＋b 2
）4－2·a ＋b 2·b －a 4＝6＋
2a 2
＋b
2
2≥6＋2a 2b 2
＝6＋4 2.即3x 2
－2xy 的最小值为6＋4 2.。