2022年最新冀教版八年级数学下册第二十一章一次函数重点解析练习题(含详解)

八年级数学下册第二十一章一次函数重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列函数中，一次函数是（）
A．
1
2
y
x
=+B．-2
y x
=C．22
y x
=+D．y mx n
=+（m、n是常数）
2、如图，已知点K为直线l：y＝2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1，然后再将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2，若点K2也恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系是（）
A．a+2b＝4 B．2a﹣b＝4 C．2a+b＝4 D．a+b＝4
3、小豪骑自行车去位于家正东方向的书店买资料用于自主复习．小豪离家5min后自行车出现故障，小豪立即打电话给爸爸，让爸爸带上工具箱从家里来帮忙维修（小豪和爸爸通话以及爸爸找工具箱的时间忽略不计），同时小豪以原来速度的一半推着自行车继续向书店走去，爸爸接到电话后，立刻出
发追赶小豪，追上小豪后，爸爸用2min 的时间修好了自行车，并立刻以原速到位于家正西方500m 的公司上班，小豪则以原来的骑车速度继续向书店前进，爸爸到达公司时，小豪还没有到达书店．如图是小豪与爸爸的距离y （m ）与小豪的出发时间x （min ）之向的函数图象，请根据图象判断下列哪一个选项是正确的（ ）
A ．小豪爸爸出发后12min 追上小豪
B ．小李爸爸的速度为300m /min
C ．小豪骑自行车的速度为250m /min
D ．爸爸到达公司时，小豪距离书店500m
4、如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点为A （﹣2，1），B （1，2），若直线y ＝kx ﹣1与线段AB 有交点，则k 的值不能是（ ）．
A ．-2
B ．2
C ．4
D ．﹣4
5、若直线y ＝kx ＋b 经过一、二、四象限，则直线y ＝bx ﹣k 的图象只能是图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、已知点A 的坐标为()1,3a a +-，点A 关于x 轴的对称点A '落在一次函数21y x =+的图象上，则a
的值可以是（ ）
A ．4-
B ．5-
C ．6-
D ．7-
7、若实数a 、c 满足0a c +=且a c >，则关于x 的一次函数y cx a =-的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、已知正比例函数y ＝3x 的图象上有两点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），如果x 1＞x 2，那么y 1与y 2的大小关系是（ ）
A ．y 1＞y 2
B ．y 1＝y 2
C ．y 1＜y 2
D ．不能确定
9、A 、B 两地相距350km ，甲骑摩托车从A 地匀速驶向B 地．当甲行驶1小时途径C 地时，一辆货车刚好从C 地出发匀速驶向B 地，当货车到达B 地后立即掉头以原速匀速驶向A 地．如图表示两车与B 地的距离(km)y 和甲出发的时间(h)x 的函数关系．则下列说法错误的是（ ）
A ．甲行驶的速度为80km/h
B ．货车返回途中与甲相遇后又经过3h 8
甲到B 地
C ．甲行驶2.7小时时货车到达B 地
D ．甲行驶到B 地需要35h 8
10、点()11,A y -和点()23,B y -都在直线21y x =-+上，则1y 与2y 的大小关系为（ ）
A ．12y y >
B ．12y y <
C ．12y y =
D ．12y y ≥
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、己知y 是关于x 的一次函数，下表给出的4组自变量x 的值及其对应的函数y 的值，其中只有一个y 的值计算有误，则它的正确值是_______．
2、如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点A ，则根据图象可得，二元一次方程组y ax b y kx
=+⎧⎨=⎩的解是_______．
3、如果点P 1(3，y 1)，P 2(2，y 2)在一次函数y =8x -1的图像上，那么y 1______y 2．(填“＞”、“＜”或“=”)
4、在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =-+的图象经过11(,)P y π、2
2P y ）两点，则1y ________2y ．（填“>”“<”或“”=）
5、在平面直角坐标系中，点A（－2，4），点B（4，2），点P为x轴上一动点，当PA＋PB的值最小时，此时点P的坐标为____________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图1，一次函数y＝4
3
x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)则点A的坐标为_______，点B的坐标为______；
(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB＝PE，求证：∠BPE＝2∠OAB；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝
2∠OAB．连接OQ．
①则图中（不添加其他辅助线）与∠EPA相等的角有______；（都写出来）
②试求线段OQ长的最小值．
2、在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC>AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“关联点”，已知点A的坐标为（0，1）．
(1)若B（2，1），则点D（3，1），E（2，0），F（0，-3），G（-1，-2）中，是AB关联点的有
_______；
(2)若点B（-1，0），点P在直线y=2x-3上，且点P为线段AB的关联点，求点P的坐标；
(3)若点B（b，0）为x轴上一动点，在直线y=2x+2上存在两个AB的关联点，求b的取值范围．
3、对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得
0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（4，3）．
(1)在点P1（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（5，4）中，直线AB的和谐点是；
(2)点P为直线y＝x＋1上一点，若点P为直线AB的和谐点，求点P的横坐标t的取值范围；
(3)已知点C（4，﹣3），D（﹣4，﹣3），如果直线y＝x＋b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线
段EF上的所有点都是矩形ABCD的和谐点，且EF＞，请直接写出b的取值范围．
4、如图，在平面角坐标系中，点B在y轴的负半轴上（0，﹣，过原点的直线OC与直线AB交
于C，∠COA＝∠OCA＝∠OBA＝30°
(1)点C 坐标为 ，OC ＝ ，△BOC 的面积为 ，OAC OAB
S S ∆∆＝ ； (2)点C 关于x 轴的对称点C ′的坐标为 ；
(3)过O 点作OE ⊥OC 交AB 于E 点，则△OAE 的形状为 ，请说明理由；
(4)在坐标平面内是否存在点F 使△AOF 和△AOB 全等，若存在，请直接写出F 坐标，请说明理由．
5、如图，已知直线y ＝﹣34
x +3与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线CD 折叠，使点A 与点B 重合．折痕CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ．
(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
(2)求OC 的长度，并求出此时直线BC 的表达式；
(3)过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且使OP ＝1
2OA ，求△ABP 的面积．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据一次函数的定义：形如y =kx +b （k ≠0，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数逐一判断即可．
【详解】
解：A ．12y x
=+右边不是整式，不是一次函数，不符合题意； B ．y =-2x 是一次函数，符合题意；
C ．y =x 2+2中自变量的次数为2，不是一次函数，不符合题意；
D ．y =mx +n （m ，n 是常数）中m =0时，不是一次函数，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y =kx +b （k ≠0，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数．
2、C
【解析】
【分析】
点K 为直线l ：y ＝2x +4上一点，设,24,K x x 再根据平移依次写出12,K K 的坐标，再把2K 的坐标代入一次函数的解析式，整理即可得到答案.
【详解】 解： 点K 为直线l ：y ＝2x +4上一点，设,24,K x x
将点K 向下平移2个单位，再向左平移a 个单位至点K 1，
1,22,K x a x
将点K 1向上平移b 个单位，向右平1个单位至点K 2，
21,22,K x a x b
点K 2也恰好落在直线l 上，
21422,x a x b
整理得：24,
a b
故选C
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，点的平移，掌握“点的平移坐标的变化规律”是解本题的关键.
3、B
【解析】
【分析】
根据函数图象可知，小豪出发10分钟后，爸爸追上了小豪，根据此时爸爸的5分钟的行程等于小豪前5分钟的行程与后5分钟的行程和，得到出爸爸的速度与小豪骑自行车的速度的关系，设小豪的速
度为x米/分，根据点（56
3
，0）列方程可得小豪与爸爸的速度，进而得出爸爸到达公司时，小豪距
离书店路程．
【详解】
解：设小豪骑自行车的速度为xm/min，则爸爸的速度为：
（5x+5×1
2
x）÷5=
3
2
x（m/min），
∵公司位于家正西方500米，
∴(56
3
−10−2)×3
2
x＝500+（5+2.5）x，
解得x=200，
∴小豪骑自行车的速度为200m/min，爸爸的速度为：200×3
2
＝300m/min，
爸爸到达公司时，丁丁距离商店路程为：
3500-（56
3
−12）×（300+200）=500
3
m．
综上，正确的选项为B．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，学会正确利用图象信息，把问题转化为方程解决是本题的关键，属于中考常考题型．
4、B
【解析】
【分析】
当直线y=kx−1过点A时，求出k的值，当直线y=kx−1过点B时，求出k的值，介于二者之间的值即为使直线y=kx−1与线段AB有交点的x的值．
【详解】
解：①当直线y=kx−1过点A时，将A(−2，1)代入解析式y=kx−1得，k=−1，
②当直线y=kx−1过点B时，将B(1，2)代入解析式y=kx−1得，k=3，
∵|k|越大，它的图象离y轴越近，
∴当k≥3或k≤-1时，直线y=kx−1与线段AB有交点．
故选：B．
【点睛】
本题考查了两直线相交或平行的问题，解题的关键是掌握AB是线段这一条件，不要当成直线．
5、B
【解析】
【分析】
根据直线y＝kx＋b经过一、二、四象限，可得k＜0，b＞0，从而得到直线y＝bx﹣k过一、二、三象限，即可求解．
【详解】
解：∵直线y ＝kx ＋b 经过一、二、四象限，
∴k ＜0，b ＞0，
∴﹣k ＞0，
∴直线y ＝bx ﹣k 过一、二、三象限，
∴选项B 中图象符合题意．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
由点A 和点'A 关于x 轴对称，可求出点'A 的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于a 的方程，解之即可得出结论．
【详解】 解：点()1,3A a a +-和点A '关于x 轴对称，
∴点A '的坐标为(1,3)a a +-． 又点A '在直线21y x =+上，
32(1)1a a ∴-=⨯++，
6a ∴=-．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y kx b =+．
7、B
【解析】
【分析】
根据实数a 、c 满足0a c +=可知，a 、c 互为相反数，再根据a c >，可确定a 、c 的符号，进而确定图象的大致位置．
【详解】
解：∴实数a 、c 满足0a c +=，
∴a 、c 互为相反数，
∵a c >，
∴0a >，0c <，
∴0a -<
∴一次函数y cx a =-的图像经过二、三、四象限，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象的性质，解题关键是根据已知条件，确定a 、c 的符号．
8、A
【解析】
【分析】
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x 1＞x 2即可得出结论．
【详解】
∵正比例函数y ＝3x 中，k ＝3>0，
∴y 随x 的增大而增大，
∵x 1＞x 2，
∴y 1＞y 2．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的增减性与x 的系数的关系是解题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
根据函数图象结合题意，可知AC 两地的距离为350270-80km =，此时甲行驶了1小时，进而求得甲的速度，即可判断A 、D 选项，根据总路程除以速度即可求得甲行驶到B 地所需要的时间，根据货车行驶的时间和路程结合图像可得第4小时时货车与甲相遇，据此判断B 选项，求得相遇时，甲距离B 地的距离，进而根据货车行驶的路程除以时间即可求得货车的速度，进而求得货车到达B 地所需要的时间．
【详解】
解：AC 两地的距离为350270-80km =，
80180km /h ÷=
故A 选项正确，不符合题意；
35350808
÷=h 故D 选项正确，不符合题意；
根据货车行驶的时间和路程结合图像可得第4小时时货车与甲相遇， 则353488
-= 即货车返回途中与甲相遇后又经过3h 8
甲到B 地 故B 选项正确，
相遇时为第4小时，此时甲行驶了480320km ⨯=，
货车行驶了()270350320300+-=km
则货车的速度为300(41)100km/h ÷-=
则货车到达B 地所需的时间为270100 2.7h ÷=
即第2.71+ 3.7=小时
故甲行驶3.7小时时货车到达B 地
故C 选项不正确
故选C
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，弄清楚函数图象中各拐点的意义是解题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
根据20-< ，可得y 随x 的增大而减小，即可求解．
【详解】
解：∵20-< ，
∴y 随x 的增大而减小，
∵13->- ，
∴12y y < ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握对于一次函数()0y kx b k =+≠ ，当0k > 时，y 随x 的增大而增大，当0k < 时，y 随x 的增大而减小是解题的关键．
二、填空题
1、11
【解析】
【分析】
经过观察4组自变量和相应的函数值(0,20)，(1,17)，(2,14)符合解析式320y x =-+，(3,10)不符合，即可判定．
【详解】
解：(0,20)，(1,17)，(2,14)符合解析式320y x =-+，(3,10)不符合，
∴这个计算有误的函数值是10，
则它的正确值是11，
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握图象上点的坐标符合解析式．
2、23x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据两个一次函数图象的交点坐标满足由两个一次函数解析式所组成的方程组求解．
【详解】
解：由图像可知二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是23
x y =⎧⎨=⎩，
故答案为：
2
3 x
y
=⎧
⎨
=⎩
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：两个一次函数图象的交点坐标满足由两个一次函数解析式所组成的方程组．
3、>
【解析】
【分析】
先求出y1，y2的值，再比较出其大小即可．
【详解】
解：∵点P1（3，y1）、P2（2，y2）在一次函数y=8x-1的图象上，
∴y1=8×3-1=23，y2=8×2-1=15，
∵23＞15，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4、<
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，当0
k<时，y随x的增大而减小，即可得答案．
【详解】
解：一次函数21y x =-+中20k =-<，
y ∴随x 的增大而减小， 2π>，
12y y ∴<．
故答案为：<．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数0y kx b k =+≠（），当0k >时，y 随x 的增大而增
大，当0k <时，y 随x 的增大而减小．
5、（2，0）
【解析】
【分析】
作点B 关于x 轴的对称点B '，连接AB ′交x 轴于点P ，则点P 即为所求．此时，PA +PB 的值最小，可得出B ′（4，-2），利用待定系数法求出AB ′的解析式，即可得点P 的坐标．
【详解】
作点B 关于x 轴的对称点B '，连接AB ′交x 轴于点P ，则点P 即为所求．此时，PA +PB 的值最小，
∵点B （4，2）．
∴B ′（4，-2），
设直线AB′的解析式为y=kx+b，∵点A（-2，4），点B′（4，-2）．
∴
42
24
k b
k b
=-+
⎧
⎨
-=+
⎩
，
解得：
1
2
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB′的解析式为y=-x+2，
当y=0时，-x+2=0，解得：x=2，
∴点P的坐标（2，0）；
【点睛】
本题主要考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点．
三、解答题
1、 (1)（-3，0）；（0，4）
(2)证明见解析
(3)①∠QPO，∠BAQ；②线段OQ长的最小值为12 5
【解析】
【分析】
（1）根据题意令x＝0，y＝0求一次函数与坐标轴的交点；
（2）由题意可知与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．利用三角形内角和定理解决问题；
（3）根据题意可知如图3中，连接BQ交x轴于T．证明△APE≌△QPB（SAS），推出∠AEP＝∠QBP，
再证明OA＝OT，推出直线BT的解析式为为：
4
4
3
y x
=+，推出点Q在直线y＝﹣
4
3
x+4上运动，再根
据垂线段最短，即可解决问题．(1)
解：在y＝4
3
x+4中，令y＝0，得0＝
4
3
x+4，
解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），
在y＝4
3
x+4中，令x＝0，得y＝4，
∴B（0，4）；
故答案为：（﹣3，0），（0，4）．
(2)
证明：如图2中，设∠ABO＝α，则∠OAB＝90°﹣α，
∵PB＝PE，
∴∠PBE＝∠PEB＝α，
∴∠BPE＝180°﹣∠PBE﹣∠PEB＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠BPE＝2∠OAB．
(3)
解：①结论：∠QPO，∠BAQ
理由：如图3中，∵∠APQ＝∠BPE＝2∠OAB，
∵∠BPE＝2∠OAB，
∴∠APQ＝∠BPE．
∴∠APQ﹣∠APB＝∠BPE﹣∠APB．
∴∠QPO＝∠EPA．
又∵PE＝PB，AP＝PQ
∴∠PEB＝∠PBE＝∠PAQ＝∠AQP．
∴∠BAQ＝180°﹣∠EAQ＝180°﹣∠APQ＝∠EPA．∴与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．
故答案为：∠QPO，∠BAQ．
②如图3中，连接BQ交x轴于T．
∵AP＝PQ，PE＝PB，∠APQ＝∠BPE，
∴∠APE＝∠QPB，
在△APE和△QPB中，
PA PQ
APE QPB
PE PB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△APE≌△QPB（SAS），
∴∠AEP＝∠QBP，
∵∠AEP＝∠EBP，
∴∠ABO＝∠QBP，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠OBT+∠OTB＝90°，∴∠BAO＝∠BTO，
∴BA＝BT，
∵BO⊥AT，
∴OA＝OT，
∴直线BT的解析式为为：
4
4
3
y x
=+，
∴点Q在直线y＝﹣4
3
x+4上运动，
∵B（0，4），T（3，0）．∴BT＝5．
当OQ⊥BT时，OQ最小．
∵S△BOT＝1
2×3×4＝1
2
×5×OQ．
∴OQ＝12
5
．
∴线段OQ长的最小值为12
5
．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数及最短距离等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．
2、 (1)点E，点F；
(2)（41
33
-，）或（
25
33
-，）；
(3)b的取值范围1＜b＜2或2＜b＜3．
【解析】
【分析】
（1）根据以点B为直角顶点，点B与点E横坐标相同，点E在过点B与AB垂直的直线上，△ABE为直角三角形，且AE大于AB；以点A为直角顶点，点A与点F横坐标相同，△AFB为直角三角形，BF 大于AB即可；
（2）根据点A（0，1）点B（-1，0），OA=OB，∠AOB=90°，得出△AOB为等腰直角三角形，可得
∠ABO=∠BAO=45°，以点A为直角顶点，过点A，与AB垂直的直线交x轴于S，利用待定系数法求出
AS 解析式为1y x =-+，联立方程组123
y x y x =-+⎧⎨=-⎩，以点B 为直角顶点，过点B ，与AB 垂直的直线交y 轴于R ，∠OBR =90°-∠ABO =45°，可得△OBR 为等腰直角三角形，OR =OB =1，点R （0，-1），利用平移
的性质可求BR 解析式为1y x =--，联立方程组123
y x y x =--⎧⎨=-⎩，解方程组即可； （3）过点A 与AB 垂直的直线交直线y =2x +2于U ，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°，得△AO′U，AO′=AO =1，O′U =OB =b ，根据点U （-1，b -1）在直线22y x =+上，得出方程()1212b -=⨯-+，求出b 的值，当过点A 的直线与直线22y x =+平行时没有 “关联点”，OB =OW =b =2，得出在1＜b ＜2时，直线22y x =+上存在两个AB 的“关联点”，当b ＞2时，根据旋转性质将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AO′U ，得出AO′=AO =1，O′U =OB =b ，根据点U （1,1+b ）在直线22y x =+上，列方程1212b +=⨯+，得出3b =即可．
(1)
解：点D 与AB 纵坐标相同，在直线AB 上，不能构成直角三角形，
以点B 为直角顶点，点B 与点E 横坐标相同，点E 在过点B 与AB 垂直的直线上，
∴△ABE 为直角三角形，且AE 大于AB ；
以点A 为直角顶点，点A 与点F 横坐标相同，△AFB 为直角三角形，AF=4＞AB =2，
∴点E 与点F 是AB 关联点，
点G 不在A 、B 两点垂直的直线上，故不能构成直角三角形，
故答案为点E ，点F ；
(2)
解：∵点A （0，1）点B （-1，0），OA =OB ，∠AOB =90°，
∴△AOB 为等腰直角三角形，AB ∴∠ABO =∠BAO =45°，
以点A 为直角顶点，过点A ，与AB 垂直的直线交x 轴于S ，
∴∠OAS =90°-∠BAO =45°，
∴△AOS 为等腰直角三角形，
∴OS =OA =1，点S （1,0），
设AS 解析式为y kx b =+代入坐标得：
10
b k b =⎧⎨+=⎩， 解得11
b k =⎧⎨=-⎩，
AS 解析式为1y x =-+，
∴123
y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得431
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 点P （4133
-，）， AP
=AP ＞AB 以点B 为直角顶点，过点B ，与AB 垂直的直线交y 轴于R ，
∴∠OBR =90°-∠ABO =45°，
∴△OBR 为等腰直角三角形，
∴OR =OB =1，点R （0，-1），
过点R 与AS 平行的直线为AS 直线向下平移2个单位，
则BR 解析式为1y x =--，
∴123
y x y x =--⎧⎨=-⎩， 解得235
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 点P 1（2533
-，）， AP 1
∴点P 为线段AB 的关联点，点P 的坐标为（4133-，）或（2533
-，）；
(3)
解：过点A 与AB 垂直的直线交直线y =2x +2于U ，
把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°，得△AO′U，
∴AO′=AO =1，O′U =OB =b ，
点U （-1，b -1）在直线22y x =+上，
∴()1212b -=⨯-+
∴1b =，
∴当b ＞1时存在两个“关联点”，
当b ＜1时，UA ＜AB ，不满足定义，没有两个“关联点”
当过点A 的直线与直线22y x =+平行时没有 “关联点”
22y x =+与x 轴交点X （-1，0），与y 轴交点W （0，2）
∵OA =OX =1,∠XOW =∠AOB =90°，AB ⊥XW ，
∴△OXW 顺时针旋转90°，得到△OAB ，
∴OB =OW =2，
∴在1＜b ＜2时，直线22y x =+上存在两个AB 的“关联点”，
当b ＞2时，将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AO′U ，
∴AO′=AO =1，O′U =OB =b ，
点U （1,1+b ）在直线22y x =+上，
∴1212b +=⨯+
∴解得3b =
∴当2＜b ＜3时, 直线22y x =+上存在两个AB 的“关联点”，
当b ＞3时，UA ＜AB ，不满足定义，没有两个“关联点”
综合得，b 的取值范围1＜b ＜2或2＜b ＜3．
【点睛】
本题考查新定义线段的意义，直角三角形性质，仔细阅读新定义，由两个条件，（1）组成直角三角形，（2）AC ＞AB ，等腰直角三角形，勾股定理两点距离公式，待定系数法求直线解析式，图形旋转，两函数交点联立方程组，掌握新定义线段的意义，直角三角形性质，仔细阅读新定义，由两个条件，
（1）组成直角三角形，（2）AC ＞AB ，等腰直角三角形，勾股定理两点距离公式，待定系数法求直线解析式，图形旋转，两函数交点联立方程组，是解题关键．
3、 (1)P 1，P 3
(2)0≤t ≤4
(3)3≤b ＜5或﹣5＜b ≤﹣3
【解析】
【分析】
（1）作出直线AB 图象,根据到直线的距离即可得出结论；
（2）设出点P 的坐标，根据和谐点的定义找出临界值即可求出t 的取值范围；
（3）根据图象找出临界值，再根据对称性写全取值范围即可．
(1)
解：作AB图象如图，
P2到AB的距离为3不符合和谐点条件，
P1、P3点到直线AB的距离在0～2之间，符合和谐点的条件，
故直线AB的和谐点为P1，P3；
故答案为：P1，P3；
(2)
解：∵点P为直线y=x+1上一点，
∴设P点坐标为（t，t+1），
寻找直线上的点，使该点到AB垂线段的距离为2，
∴|t+1-3|=2，
解得t=0或t'=4，
∴0≤t≤4；
(3)
解：如图当b=5时，图中线段EF上的点都是矩形ABCD的和谐点，且EF
当b=3时，线段E'F'上的点都是矩形ABCD的和谐点，E'F'＞
∴3≤b＜5，
由对称性同法可知﹣5＜b≤﹣3也满足条件，
故3≤b＜5或﹣5＜b≤﹣3．
．
【点睛】
本题主要考查一次函数的知识，弄清新定义是解题的关键．
4、 (1)（3，1
2
(2)（3，
(3)等边三角形，见解析
(4)存在，（0，0，﹣2，2，﹣．
【解析】
【分析】
（1）先根据等角对等边，确定OB=OC=
在象限，确定点的坐标；根据面积公式，选择适当的底边计算即可；利用同底的两个三角形面积之比等于对应高之比计算即可；
（2）根据点关于x轴对称的特点，直接写出坐标即可；
（3）根据三个角是60°的三角形是等边三角形判定即可；
（4）利用全等三角形的判定定理，综合运用分类思想求解．
(1)
解：（1）∵点B （0，﹣，
∴OB ＝
∵∠COA ＝∠OCA ＝∠OBA ＝30°，
∴OB ＝OC =
过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，
∴CD ＝1
2OC DO ， ∵点C 在第一象限；
∴C （3，
∴11322BOC S OB OD ==⨯△=
∴112122
OAC
OAB OA CD S CD S OB OA OB ====△△， 故答案为：（3
，
12．
(2)
∵C （3
，点C 与点C '关于x 轴对称，
∴C '（3
．
故答案为：（3
．
(3)
∵OE ⊥OC ，
∴∠COE ＝90°，
∵∠COA ＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵∠OAE＝60°，
∴∠AOE＝∠OAB＝60°，
∴△OAE是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
(4)
解：①如图1，当△AOB≌△AOF时，
∵OB＝
∴OF＝
∴1F（0，，2F（0，﹣，
②如图2，当△AOB≌OAF时，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴3
k b b ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，
解得
k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
∴直线AB 的解析式为y -
令y =0，得x =2，
∴点A 的坐标为（2，0），
∵△AOB ≌OAF ，
∴OB =AF =
∴F 3（2，，F 4（2，﹣，
综上所述，存在点F ，且点F 的坐标是（0，0，﹣
2，2，﹣．
【点睛】
本题考查了等角对等边，坐标与象限，勾股定理，点的对称，函数解析式，等边三角形的判定，三角形全等的判定，分类思想，熟练掌握待定系数法，灵活运用三角形全等的判定是解题的关键．
5、 (1)（4，0），（0，3）
(2)7
8
，y＝﹣24
7
x+3
(3)3或9
【解析】
【分析】
（1）令x＝0和y＝0即可求出点A，B的坐标；
（2）连接BC，设OC＝x，则AC＝BC＝4﹣x，在Rt△BOC中，利用勾股定理求出x，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（3）先求出点P的坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
(1)
解：令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
故答案为：（4，0），（0，3）；
(2)
解：如图所示，连接BC，
设OC＝x，
∵直线CD垂直平分线段AB，∴AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得
7
8
x=，
∴
7
8 OC=，
∴C（7
8
，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有
3
7
8
b
k b
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
解得
24
7
3
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线BC的解析式为y＝﹣24
7
x+3；
(3)
解：如图，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵OP＝1
2 OA，
∴OP＝2，
∴点P的坐标为（2，0），P′（﹣2，0），∴AP＝2，AP′＝6，
∴S△ABP＝1
2
AP•OB＝
1
2
×2×3＝3
S△ABP′＝1
2
AP′•OB＝
1
2
×6×3＝9，
综上：△ABP的面积为3或9．
【点睛】
本题考查了一次函数，勾股定理，解题的关键是掌握一次函数的性质．。