2018年天津市南开区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）i为虚数单位，则复数＝（）
A．﹣1+3i B．3+i C．3﹣i D．2+4i
2．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大
值为（）
A．11B．24C．36D．49
3．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝，c＝2，cos B＝，则a＝（）
A．B．C．2D．3
4．（5分）函数f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）5．（5分）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）
A．4B．8C．24D．48
6．（5分）下列命题中，正确的是（）
A．“lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件
B．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0且n≠0”
C．存在x0＞0，使得x0＜sin x0
D．若cosα≠，则α≠
7．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25＝（）
A．233B．282C．466D．650
8．（5分）设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，
且+2λ+＝，则当•取最小值时，λ的值为（）
A．B．C．2D．3
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线
上.
9．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．
10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是．
11．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为．
12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a＝．
13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴．两种坐标系中的长度单位
相同，直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交
于E，则|EA|•|EB|＝．
14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g
（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝若F（x）＝g（x）﹣
f（|x|）﹣a恰有4个零点，则a的取值范围是．
三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤）
15．（13分）已知x＝是函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
16．（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅱ）设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．
（Ⅰ）求此三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．
18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，且当n≥2时，＝+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝2（1﹣n）a n，证明：b22+b32+b42+..+b n+12＜．
19．（14分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛
物线x2＝4的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x 轴的对称点为C．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△MBC面积的最大值．
20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）若存在x∈[，e]，使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：；
（Ⅲ）证明：（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．
2018年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i为虚数单位，则复数＝（）
A．﹣1+3i B．3+i C．3﹣i D．2+4i
【解答】解：＝．
故选：B．
2．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大
值为（）
A．11B．24C．36D．49
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图
由z＝2x+3y得y＝﹣x+，
平移直线y＝﹣x+，
由图象可知当直线y＝﹣x+，
经过点A时，
直线y＝﹣x+，
的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（1，3），
此时z＝2×1+3×3＝11，
故选：A．
3．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝，c＝2，cos B＝，则a＝（）
A．B．C．2D．3
【解答】解：∵b＝，c＝2，cos B＝，
∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：5＝a2+4﹣2×，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，
∴解得：a＝3或﹣（舍去）．
故选：D．
4．（5分）函数f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）
【解答】解：要使函数有意义，则得，
即﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），
f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）＝log0.5（2﹣x）（2+x）＝log0.5（4﹣x2），设t＝4﹣x2，则y＝log0.5t是减函数，
要求函数f（x）的单调递增区间，等价为求函数t＝4﹣x2，的单调递减区间，
∵函数t＝4﹣x2，的单调递减区间为[0，2），
∴f（x）的单调递增区间为（0，2），
故选：C．
5．（5分）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）
A．4B．8C．24D．48
【解答】解：∵设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，
∴e＝＝＝5，
解得a2＝1，
∴c＝5，
∴|F1F2|＝2c＝10，
∵3|PF1|＝4|PF2|，∴设|PF2|＝x，则|PF1|＝|PF2|＝x，
由双曲线的性质知x﹣x＝2，解得x＝6．
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
∴∠F1PF2＝90°，
∴△PF1F2的面积＝×6×8＝24．
故选：C．
6．（5分）下列命题中，正确的是（）
A．“lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件
B．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0且n≠0”
C．存在x0＞0，使得x0＜sin x0
D．若cosα≠，则α≠
【解答】解：对于A，lna＞lnb时，a＞b＞0，∴10a＞10b，充分性成立；
10a＞10b时，a＞b，lna＞lnb不一定成立，即必要性不成立；
是充分不必要条件，A错误；
对于B，命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”，
它的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，∴B错误；
对于C，设f（x）＝x﹣sin x，则f′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）＝0，
即x＞sin x在（0，+∞）上恒成立；
它的否定命题：存在x0＞0，使得x0＜sin x0是假命题，C错误；
对于D，α＝时，cosα＝是真命题，
∴它的逆否命题：若cosα≠，则α≠也是真命题，D正确．
故选：D．
7．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25＝（）
A．233B．282C．466D．650
【解答】解：S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，
可知a4＝4，a5＝6，a6＝8，a7＝6，a8＝8，a9＝10，a10＝8，a11＝10，a12＝12，即：2，4，6，4，6，8，6，8，10，8，10，12，10，12，14，12，14，16，14，16，…
数列{a n}的前25项和：2+2×4+3（6+8+10+12+14+16+18）+20＝30+3×＝282．
故选：B．
8．（5分）设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，
且+2λ+＝，则当•取最小值时，λ的值为（）
A．B．C．2D．3
【解答】解：如图，
∵，，+2λ+＝，
∴，得．
∴，
∴
＝＝
设，
则．
当t＝，即，也就是时，•取最小值．
故选：A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线
上.
9．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为160．
【解答】解：在分层抽样中每个个体被抽到的概率相同，
则，即n＝160，
即总体中的个体数为160，
故答案为：160
10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是24．
【解答】解：由程序框图知；第一次循环k＝1，p＝1•1＝1；
第二次循环k＝2，p＝1•2＝2；
第三次循环k＝3，p＝2•3＝6；
第四次循环k＝4，p＝4•6＝24．
不满足条件k＜4，跳出循环体，输出p＝24．
故答案为：24．
11．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为﹣80．
【解答】解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•，令﹣＝0，求得r＝3，∴展开式的常数项为×（﹣8）＝﹣80，
故答案为：﹣80．
12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a＝2．
【解答】解：由已知三视图得到几何体为长方体割去一个角，
如图所以其体积为•a﹣•a•••＝，
解得a＝2，
故答案为：2．
13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴．两种坐标系中的长度单位
相同，直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交
于E，则|EA|•|EB|＝1．
【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），
∴ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，
∴x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
把直线l：（t为参数）代入曲线C的方程可得：t2﹣3t+1＝0，
∴t1+t2＝3，t1t2＝1．
∴|EA|•|EB|＝t1t2＝1．
故答案为：1．
14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g
（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝若F（x）＝g（x）﹣
f（|x|）﹣a恰有4个零点，则a的取值范围是（2，2.375）．
【解答】解：由函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），
则g（x）＝g（﹣x），g（x+2）＝﹣g（x），
g（x+4）＝﹣g（x+2）＝g（x），
函数g（x）的周期为4，
x∈[0，2]时，g（x）＝，
则在区间[﹣2，0]上，
有g（x）＝，
分别作出函数y＝g（x）在[﹣2，2]的图象，
并左右平移4个单位，8个单位，…，
可得y＝g（x）的图象，再作y＝（）|x|+a的图象，注意上下平移．
当经过A（1，2.5）时，a＝2.5﹣0.5＝2，
经过B（3，2.5）时，a＝2，5﹣0.53＝2.375．
则平移可得2＜a＜2.375时，图象共有4个交点，
即F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点．
故答案为：（2，2.375）．
三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤）
15．（13分）已知x＝是函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）＝1+cos2x+a sin2x＝
sin（2x+θ）+1，tanθ＝．
∵x＝是函数的对称轴，
∴2×+θ＝，k∈Z．
∴θ＝kπ，
那么tan（kπ）＝tan＝，
∴a＝．
（Ⅱ）由可知（Ⅰ）函数f（x）＝2sin（2x+）+1，
∵x∈[0，]上，
∴2x+∈[，]上，
∴﹣1≤sin（2x+）≤1．
故得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围是[﹣1，3]．
16．（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色
球得﹣1分．现从盒内任取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅱ）设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C93种结果，
而满足条件取出的3个球得分之和恰为1分有两种种结果，
包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球
记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，有C21C32种结果．
“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，有C22C41种结果，
其中它们之间是互斥事件，
∴P（B+C）＝P（B）+P（C）＝＝．
（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3．
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝．
∴X的分布列为：
X的数学期望EX）＝＝1．
17．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．
（Ⅰ）求此三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．
【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点为O，连接OD
由正三棱柱的结构特征得OA⊥平面BCC1B1，且OA＝．
所以∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C所成的角，即∠ADO＝45°．
所以OD＝．
所以侧棱的长为2．
（Ⅱ）如图，以O为原点，OC为x轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），D（1，，0），
＝（﹣1，0，﹣），＝（1，，﹣），
设＝x，y，z）是平面ABD的一个法向量，
则由，取z＝﹣1，得＝（，﹣，﹣1），
面BCD的一个法向量＝（0，0，1），
∴cos＜＞＝＝＝﹣．
而所求二面角为锐角，即二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．
（Ⅲ）∵＝（﹣1，0，），
∴点C到面ABD的距离为：
d＝＝．
18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，且当n≥2时，＝+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝2（1﹣n）a n，证明：b22+b32+b42+..+b n+12＜．
【解答】（I）证明：当n≥2时，＝+2．∴﹣＝2.＝2，
∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为2．
∴＝2+2（n﹣1）＝2n，∴S n＝．
∴n≥2时，a n＝S n﹣S n
＝﹣＝﹣．
﹣1
∴a n＝．
（II）证明：n≥2时，b n＝2（1﹣n）a n＝．
∴n≥3时，＝＜＝，
∴b22+b32+b42+..+b n+12＜+……+＜
+＝﹣＜．
19．（14分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛
物线x2＝4的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x 轴的对称点为C．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△MBC面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程：（a＞b＞0），
由抛物线x2＝4的焦点（0，），则b＝，
椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝，
∴椭圆E的方程：；
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x+3）．
联立，
整理得
（1+3k2）x2+18k2x+27k2﹣6＝0，
△＝（18k2）2﹣4（1+3k2）（27k2﹣6）＞0，解得k2＜．
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
y1＝k（x1+3），y2＝k（x2+3）．
∵F（﹣2，0），C（x1，﹣y1）．∴＝（x1+2，﹣y1），＝（x2+2，y2）．
∵（x1+2）y2﹣（x2+2）（﹣y1）
＝（x1+2）k（x2+3）+（x2+2）k（x1+3）＝k[2x1x2+5（x1+x2）+12]，
＝k（++12）＝＝0．
∴＝λ，则直线BC过椭圆的左焦点F，
由题意可知：S＝|MF||y1|+|MF||y2|＝|MF||y1+y2|＝|k（x1+x2）+6k|
＝＝≤＝．当且仅当k2＝＜，取“＝”成
立，
∴k2＝时，△MBC面积取得最大值．
20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）若存在x∈[，e]，使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：；
（Ⅲ）证明：（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．
【解答】解（Ⅰ）由题意知，2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2lnx+x+．
若存在x∈[，e]使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+的最大值．
设h（x）＝2lnx+x+（x＞0），则h′（x）＝．
当x∈[，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由h（）＝﹣2++3e，h（e）＝2+e+，
h（）﹣h（e）＝2e﹣﹣4＞0，
可得h（）＞h（e）．
所以，当x∈[，e]时，h（x）的最大值为h（）＝﹣2++3e，
故a≤﹣2++3e．
（Ⅱ）证明：构造函数G（x）＝，（0＜x＜x2）．
G′（x）＝lnx﹣ln，
∵，0＜x＜x2．∴，
∴G（x）＜0
∴函数G（x）＝，（0＜x＜x2）单调递减．
∴G（x）＞G（x2）＝0
∴G（x1）＞G（x2）＝0，⇒＞0
∴；
（Ⅲ）证明：令H（x）＝1﹣xf′（x）＝1﹣xlnx﹣x，则H′（x）＝﹣lnx﹣2 x∈（0，e﹣2）时，H′（x）＞0，x∈（e﹣2，+∞）时，H′（x）＜0
∴H（x）＝1+e﹣2．
令m（x）＝，，
x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，∴m（x）＞m（0）＝1+e﹣2
∴（1﹣xf′（x））＜m（x）＝．
∴（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．。