专题强化七 卫星运动的三类问题-2024届物理一轮复习讲义

专题强化七
卫星运动的三类问题学习目标 1.会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。

2.掌握双星或多星模型的特点。

3.会分析卫星的追及与相遇问题。

考点一
卫星的变轨和能量问题
1.变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图
所示。

(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2.
变轨过程各物理量比较速度关系在A 点加速：v ⅡA ＞v Ⅰ，
在B 点加速：v Ⅲ＞v ⅡB ，
即v ⅡA ＞v Ⅰ＞v Ⅲ＞v ⅡB
(向心)加速度关系
a Ⅲ＝a ⅡB a ⅡA ＝a Ⅰ周期关系
T Ⅰ＜T Ⅱ＜T Ⅲ机械能E Ⅰ＜E Ⅱ＜E Ⅲ
例1(2023·江苏南京模拟)2020年我国实施“天问一号”计划，通过一次发射，实现“环绕、降落、巡视”三大任务。

如图1所示，探测器经历椭圆轨道Ⅰ→椭圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的变轨过程。

Q 为轨道Ⅰ远火点，P 为轨道Ⅰ近火点，探测器在三个轨道运行时都经过P 点。

则探测器()
图1
A.沿轨道Ⅰ运行至P点速度大于运行至Q点速度
B.沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度小于沿轨道Ⅲ运行至P点的加速度
C.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
D.与火星连线在相等时间内，沿轨道Ⅰ运行与沿轨道Ⅱ运行扫过面积相等
答案A
解析根据开普勒第二定律可知，沿轨道Ⅰ运行至近火点P的速度大于运行至
远火点Q的速度，选项A正确；根据a＝GM
r2可知，沿轨道Ⅱ运行至P点的加速
度等于沿轨道Ⅲ运行至P点的加速度，选项B错误；根据开普勒第三定律r3
T2＝k，
可知沿轨道Ⅰ运行的半长轴大于沿轨道Ⅱ运行的半长轴，则沿轨道Ⅰ运行的周期大于沿轨道Ⅱ运行的周期，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，沿同一轨道运动时在相等的时间内与火星的连线扫过的面积相等，而在相等时间内，沿轨道Ⅰ运行与沿轨道Ⅱ运行扫过面积一定不相等，选项D错误。

跟踪训练
1.(2022·湖北孝感模拟)2022年4月13日，神舟十三号飞船在历经了183天的太空航行之后，成功返回地球。

神舟十三号此行的主要任务之一是进入太空并与天宫空间站进行对接，飞船的运动可简化为如图2所示的情境，圆形轨道2为天宫空间站运行轨道，椭圆轨道1为载人飞船运行轨道，两轨道相切于P点，Q点在地面附近，是轨道1的近地点，则下列判断正确的是()
图2
A.载人飞船可在到达轨道2后不断加速追上空间站实现对接
B.载人飞船在轨道1上P点的加速度等于空间站在轨道2上P点的加速度
C.载人飞船在轨道1上经过Q点时的速度等于7.9km/s
D.载人飞船从Q点向P点运动过程中，万有引力不做功
答案B
解析若载人飞船在到达轨道2后不断加速，则会做离心运动，从而远离轨道2，
不会追上空间站，不能实现对接，选项A错误；根据a＝GM
r2可知，载人飞船在
轨道1上P点的加速度等于空间站在轨道2上P点的加速度，选项B正确；载人飞船从近地圆轨道的Q点加速才能进入轨道1的椭圆轨道，则在轨道1上经过Q点时的速度大于7.9km/s，选项C错误；载人飞船从Q点向P点运动过程中，万有引力对飞船做负功，选项D错误。

2.(2022·重庆市育才中学模拟)2021年5月15日中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区成功着陆。

“天问一号”探测器需要通过霍曼转移轨道从地球发送到火星，地球轨道和火星轨道看成圆形轨道，此时霍曼转移轨道是一个近日点M和远日点P分别与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道(如图3所示)，在近日点短暂点火后“天问一号”进入霍曼转移轨道，接着“天问一号”沿着这个轨道运行直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。

已知引力常量为G，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。

若只考虑太阳对“天问一号”的作用力，下列说法正确的是()
图3
A.“天问一号”在霍曼转移轨道由M点运动到P点过程中机械能增大
B.两次点火喷射方向一次与速度方向相同，一次与速度方向相反
C.“天问一号”在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为R
r
D.“天问一号”运行中在转移轨道上P 点的加速度与在火星轨道上P 点的加速度之比为R r 答案
C 解析“天问一号”在霍曼转移轨道由M 点运动到P 点过程中，只有太阳的引力做功，则机械能守恒，选项A 错误；两次点火喷射都使“天问一号”加速，
所以喷射方向都与速度方向相反，选项B 错误；根据G Mm r 2＝ma ＝m v 2r
，得a ＝GM r 2，v ＝
GM r ，则“天问一号”在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为R r
，选项C 正确；“天问一号”运行中在转移轨道上P 点的加速度与在火星轨道上P 点的加速度之比为1∶1，选项D 错误。

考点二
双星或多星模型1.双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图4所示。

图4
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，
即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L
2＝m 2ω22r 2。

②两颗星的周期、角速度相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L 。

④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即
m 1m 2＝r 2r 1。

⑤双星的运动周期T ＝2πL 3G （m 1＋m 2）。

⑥双星的总质量m1＋m2＝4π2L3 T2G。

2.多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。

(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图甲所示)。

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。

(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。

②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。

例2(2022·湖南长沙模拟)如图5甲所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为m1和m2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。

为研究方便简化为如图乙所示的示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，OA＞OB，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径，下列说法正确的是()
图5
A.两黑洞质量之间的关系一定是m1＞m2
B.黑洞A 的运行角速度小于黑洞B 的运行角速度
C.人类要把宇航器发射到距黑洞A 较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度
D.若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，它们运行的周期变大
答案
C 解析黑洞A 与黑洞B 绕O 点相同时间内转过的角度相同，二者的角速度相等，
设它们相距为L ，角速度为ω，根据牛顿第二定律得G m 1
m 2L 2＝m 1ω2·OA ，G m 1
m 2L
2＝m 2ω2·OB ，联立得m 1·OA ＝m 2·OB ，根据题意OA >OB ，所以m 1<m 2，故A 、B 错误；人类要把宇航器发射到距黑洞A 较近的区域进行探索，必须冲出太阳系，所以发射速度一定大于第三宇宙速度，故C 正确；根据m 1·OA ＝m 2·OB ，OA ＋OB ＝L ，可得OA ＝m 2L m 1＋m 2
，又由于G m 1
m 2L 2＝m 1ω2·OA ，整理得ω＝G （m 1＋m 2）L
3，所以周期为T ＝2πL 3G （m 1＋m 2），若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，两黑洞质量之和不变，运行周期不变，故D 错误。

跟踪训练
3.(2022·江苏泰州模拟)如图6所示，“食双星”是两颗相距为d 的恒星A 、B ，只在相互引力作用下绕连线上O 点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。

观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。

观测发现每隔时间T 两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G ，则()
图6
A.恒星A 、B 运动的周期为T
B.恒星A 质量小于B 的质量
C.恒星A 、B 的总质量为π2d 3GT
2D.恒星A 线速度大于B 的线速度
答案
C 解析每隔时间T 两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T ′＝2T ，
故A 错误；根据万有引力提供向心力，有G m A m B d 2＝m A 4π2（2T ）2r A ＝m B 4π2（2T ）2
r B ，因为r A <r B ，则m A >m B ，故B 错误；由B 选项得，两恒星总质量为M ＝m A ＋m B ＝π2d 3GT
2，故C 正确；根据v ＝ωr ，两恒星角速度相等，则v A <v B ，故D 错误。

4.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图7所示。

三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R 。

忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，则()
图7
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为
Gm R
B.每颗星做圆周运动的角速度为
3Gm R 3C.每颗星做圆周运动的周期为2πR 3
3Gm D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案ABC 解析每颗星受到的合力为F ＝2G m 2R 2sin 60°＝3G m 2R 2，轨道半径为r ＝33
R ，由向心力公式得F ＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝3Gm R 2，v ＝Gm R
，ω＝3Gm R 3，T ＝2πR 33Gm
，显然加速度a 与m 有关，故A 、B 、C 正确，D 错误。

考点三天体中的追及相遇问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据GMm r
2＝mω2r 可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题。

甲
乙
1.角度关系
ω1t －ω2t ＝n ·2π(n ＝1，2，3…)
2.圈数关系t T 1－t T 2
＝n (n ＝1，2，3…)解得t ＝nT 1T 2T 2－T 1(n ＝1，2，3…)同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式
ω1t －ω2t ＝(2n －1)π(n ＝1，2，3…)或t T 1－t T 2＝2n －12
(n ＝1，2，3…)。

例3(2022·湖南师大附中模拟)冲日是指某一外行星(火星、木星、土星、天王星、海王星、冥王星)于绕日公转过程中运行到与地球、太阳成一直线的状态，已知火星的公转周期约为地球公转周期的1.9倍，半径约为地球的一半，质量约为地
球质量的19
，现认为地球和火星在同一平面上、沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，下列说法中正确的是()
A.火星冲日时间间隔约为两年零一个月
B.火星与地球公转轨道半径之比约为6∶1
C.火星与地球表面重力加速度之比约为2∶9
D.火星与地球密度之比约为4∶9
答案A
解析由(ω地－ω火)t ＝2π和T ＝2πω，可得火星冲日时间间隔t ＝T 地T 火T 火－T 地
＝2.1年，选项A 正确；由开普勒第三定律可得T 2火T 2地＝r 3火r 3地
，则火星与地球公转轨道半径之比约为3∶2，选项B 错误；由g ＝GM R 2，可得火星与地球表面重力加速度之比约为4∶9，选项C 错误；由ρ＝
3M 4πR 3
，可得火星与地球密度之比约为8∶9，选项D 错误。

A 级
基础对点练
对点练1卫星的变轨和能量问题1.宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。

若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是()
A.飞船加速直到追上空间站，完成对接
B.飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C.飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D.无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
答案
B 解析飞船在轨道上正常运行时，有G m 中m r 2＝m v 2r。

当飞船直接加速时，所需向心力m v 2r 增大，则G m 中m r 2＜m v 2r
，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A 错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，
故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B 正确，D 错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C 错误。

2.(2023·山东临沂高三专练)神舟十三号载人飞船返回舱首次采用快速返回模式，于2022年4月16日9时56分在东风着陆场成功着陆。

返回的大致过程如下：0时44分飞船沿径向与空间站天和核心舱成功分离，分离后空间站仍沿原轨道飞行，飞船下降到空间站下方200m 处的过渡轨道并进行调姿，由径向飞行改为横
向飞行。

绕行5圈后，经过制动减速、自由滑行、再入大气层、着陆返回四个阶段，如图1为该过程的示意图。

下列说法正确的是()
图1
A.分离后空间站运行速度变小
B.飞船在过渡轨道的速度大于第一宇宙速度
C.飞船沿径向与空间站分离后在重力作用下运动到过渡轨道
D.与空间站分离后，返回舱进入大气层之前机械能减少
答案D
解析空间站沿着原来的轨道运行，轨道半径不变，根据G Mm
r2＝m
v2
r
，可得v
＝GM
r，分离后空间站运行速度不变，故A错误；根据v＝
GM
r可知，在过
渡轨道的速度小于第一宇宙速度，故B错误；飞船沿径向与空间站分离后，是因为飞船点火减速，飞船做向心运动从而到达过渡轨道，故C错误；与空间站分离后，返回舱进入大气层之前，飞船经过多次减速，除了万有引力之外的其他力做负功，机械能减少，故D正确。

3.(2022·江苏南京模拟)2021年5月16日至6月24日，运行在约555km高度轨道上的“星链—1095”卫星降轨至平均高度为382km的近圆轨道上，后持续运行于这一与中国空间站相近的高度。

在此期间，中国空间站采取了紧急避碰措施。

关于卫星的降轨，下列说法正确的是()
A.降轨前，卫星在原轨道上处于平衡状态
B.降轨时，卫星在原轨道上需要先行减速
C.降轨后，卫星在新轨道上运动周期变大
D.降轨后，卫星在新轨道上的速度将大于第一宇宙速度
答案B
解析降轨前，卫星在原轨道做圆周运动，其合外力提供向心力，卫星在原轨道
上不处于平衡状态，A 错误；降轨时，卫星的轨道半径减小，做向心运动，万有引力大于向心力，故卫星在原轨道上需要先行减速，B 正确；根据万有引力提供
向心力，则有G Mm
r
2＝r ，解得T ＝2π
r 3
GM
，由此可知，轨道半径越小，周期越小，故降轨后，卫星在新轨道上运动周期变小，C 错误；根据万有引力提
供向心力，则有G Mm
r 2＝m v 2r
，解得v ＝
GM
r
，由于当轨道半径等于地球半径时，卫星在轨道上的速度将等于第一宇宙速度，又降轨后运行的轨道半径大于地球半径，故降轨后，卫星在新轨道上的速度将小于第一宇宙速度，D 错误。

4.(2023·江西景德镇模拟)如图2所示为某一同步卫星的发射过程示意图，Ⅱ为椭圆轨道，与圆形轨道Ⅰ和同步轨道Ⅲ分别相切于P 、Q 点。

已知地球同步卫星的轨道半径为r ，卫星在Ⅰ、Ⅲ轨道上运行时，卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k ，下列说法正确的是(
)
图2
A.轨道Ⅰ的轨道半径为
r
k 2
B.轨道Ⅰ的轨道半径为rk 2
C.卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在Q 点减速
D.卫星在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期答案B
解析
因为卫星在Ⅰ、Ⅲ轨道上运行时，卫星与地心的连线在相等时间内扫过的
面积之比为k ，则由S ＝12lr ＝12v Δtr ，可得S 1S 3＝v 1r 1v 3r ，又由G Mm
r 2＝m v 2r ，得v ＝
GM
r
，联立得S
1S 3
＝
r 1
r
＝k ，解得r 1＝rk 2，故A 错误，B 正确；卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在Q 点加速，故C 错误；由开普勒第三定律得r 31
T 21＝a 3T 22
，可见轨道半
径或半长轴越大，周期越大，故卫星在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期，故D 错误。

对点练2双星或多星模型
5.(多选)(2022·湖南岳阳模拟)中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MaxiJ1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10000光年。

根据观测，黑洞的质量大约是太阳的8倍，恒星的质量只有太阳的一半，若已知太阳质量为M ，引力常量为G ，据此以上信息可以估算出()
A.黑洞与恒星做匀速圆周运动的轨道半径之比
B.黑洞与恒星做匀速圆周运动的线速度大小之比
C.黑洞做匀速圆周运动的角速度大小
D.恒星的自转周期答案AB
解析
由题意知，黑洞的质量为8M ，恒星的质量为M
2
，黑洞和恒星组成双星系
统，则角速度相等，设为ω，设黑洞的轨道半径为r 1，恒星的轨道半径为r 2，则恒星和黑洞的距离L ＝r 1＋r 2，根据万有引力提供向心力，对黑洞，有G 8M ·
M 2L 2＝8M ·ω2r 1，对恒星，有G 8M ·
M 2L
2
＝M 2·ω2r 2，联立可得ω＝
17GM 2L 3，M 2
·ω2r 2＝8Mω2
r 1，则r 1r 2＝1
16，根据v ＝ωr ，可得v 1v 2＝116，由于不知道黑洞和恒星的距离，无法求出
角速度，故A 、B 正确，C 错误；根据题中条件无法求出恒星的自转周期，故D 错误。

6.如图3所示，某双星系统的两星A 和B 各自绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，已知A 星和B 星的质量分别为m 1和m 2，相距为d 。

下列说法正确的是(
)
图3
A.A星的轨道半径为m1
m1＋m2
B.A星和B星的线速度之比为m1∶m2
C.若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零
D.若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则
m′＝m32
（m1＋m2）2
答案D
解析双星系统中，两颗星球属于同轴转动模型，角速度相等，周期相等，根据
万有引力提供向心力可得Gm1m2
d2＝m1
ω2r A＝m2ω2r B，又有d＝r A＋r B，解得r A＝
m2d
m1＋m2，r B ＝m1d
m1＋m2，故A错误；由v＝ωr得A星和B星线速度之比
v A
v B＝
r A
r B＝
m2
m1，
故B错误；在O点放一个质点，设质量为m，受到B的万有引力F B＝Gm2m r2B，
受到A的万有引力F A＝Gm1m
r2A，因为
m1
m2≠
r2A
r2B，可得F A
≠F B，故质点受到的合力不
为零，故C错误；A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对
它的引力，由万有引力定律可得Gm1m2
d2＝
Gm1m′
r2A，解得m′＝
r2A
d2
m2＝m32
（m1＋m2）2
，
故D正确。

对点练3天体中的追及相遇问题
7.如图4所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。

某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为()
图4
A.T 0
2（k 3＋1）
B.T 0k 3－1
C.
T 0
2（k 3－1）
D.
T 0k 3＋1
答案C
解析
由开普勒第三定律得r 3A T 2A ＝r 3B
T 2B
，设两卫星至少经过时间t 距离最远，即B 比
A 多转半圈，
t T B －t T A ＝n B －n A ＝1
2
，又由A 是地球同步卫星知T A ＝T 0，解得t ＝T 0
2（k 3－1）
，故C 正确。

8.当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”。

已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。

则下列说法正确的是(
)
A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年
B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C.木星运行的加速度比地球的大
D.木星运行的周期比地球的小答案B
解析
设太阳质量为M ，行星质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，加速度为a 。

由牛顿第二定律可得G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝GM
r
2，T ＝2π
r 3
GM
，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C 、D 错误；地球公转周期T 1＝1年，由T ＝2π
r 3
GM
可知，木星公转周期T 2＝125T 1≈11.2年。

设经时间t ，再次出现“木星冲日”，则有ω1t －ω2t ＝2π，其中ω1＝
2πT 1，ω2＝2π
T 2
，解得t ≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故A 错误，B 正确。

B 级
综合提升练
9.(多选)(2022·湖南卷，8)如图5，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。

地球上的观测者在
大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。

当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。

忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是(
)
图5
A.火星的公转周期大约是地球的
827
倍B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小答案CD
解析
根据题意结合开普勒第三定律可知r 3地T 2地＝r 3火
T 2火
，由于火星轨道半径大约是地球
轨道半径的1.5倍，则可得T 火＝278T 地，故A 错误；根据G Mm
r 2＝m v 2r
，可得v ＝
GM
r
，火星轨道半径大于地球轨道半径，火星运行的线速度小于地球运行的线速度，在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B 错误，C 正确；火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，相对速度最小，故D 正确。

10.(2022·湖北八市联考)2021年10月我国发射的神舟十三号飞船实现了和空间站径向对接的新突破，如图6甲所示。

假定对接前飞船在椭圆轨道Ⅰ上，如图乙所示，Ⅱ为空间站圆轨道，轨道半径为kR (R 为地球半径)，A 为两轨道交点，B 为飞船轨道近地点。

地球表面重力加速度为g ，下列说法中正确的是(
)
图6
A.空间站在圆轨道Ⅱ上的向心加速度大于g
B.飞船和空间站在A 处所受的万有引力相同
C.飞船在A 处的机械能大于B 处的机械能
D.飞船在B 处的速度v B >gR k
答案D
解析
空间站绕地球做匀速圆周运动时，万有引力充当向心力，有G
Mm
（kR ）
2
＝ma ，在地面的物体，有G Mm
R 2＝mg ，因为空间站在圆轨道Ⅱ上时轨道半径大于地
球半径，故向心加速度小于g ，A 错误；由万有引力表达式可知飞船和空间站在A 处所受的万有引力还与飞船和空间站的质量有关，因为题目中不知道二者质量的关系，故无法判断二者在A 处万有引力是否相等，B 错误；飞船沿轨道Ⅰ运动时只有引力做功，机械能守恒，C 错误；空间站在轨道Ⅱ绕地球做匀速圆周运动时，万有引力充当向心力，有G Mm （kR ）2＝m v 2kR ，又因为G Mm
R 2＝mg ，可得空间站线速度为v ＝
GM
kR
＝gR
k
，因飞船运行轨道Ⅰ为椭圆轨道，则飞船在B 点处的速度大于第一宇宙速度，而空间站的速度小于第一宇宙速度，故v B >gR k
，D 正确。

11.(2022·山东烟台模拟)人造地球卫星与地心间距离为r 时，取无穷远处为势能零点，引力势能可以表示为E p ＝－
GMm
r
，其中G 为引力常量，M 为地球质量，m 为卫星质量。

卫星原来在半径为r 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于稀薄空气等因素的影响，飞行一段时间后其圆周运动的半径减小为r 2。

此过程中损失
的机械能为()
C.
D.
答案A
解析
根据卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则轨道半径为
r 1时有GMm r 21＝m v 21r 1，卫星的引力势能为E p1＝－GMm r 1，轨道半径为r 2时GMm
r 22＝
m v 22r 2，卫星的引力势能为E p2＝－GMm
r 2，设摩擦而损失的机械能为ΔE ，根据能量
守恒定律得12m v 21＋E p1＝12m v 22＋E p2＋ΔE ，联立以上各式可得ΔE
故A 正确，B 、C 、D 错误。

12.(2023·河南开封模拟)如图7所示，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9km/s 对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2km/s 对应的脱离轨道，a 、b 、c 三点分
别位于三条轨道上，b 点为轨道Ⅱ的远地点，b 、c 点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则(
)
图7
A.卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ周期的2倍
B.卫星经过a 点的速率为经过b 点速率的2倍
C.卫星在a 点的加速度大小为在c 点加速度大小的2倍
D.质量相同的卫星在b 点的机械能小于在c 点的机械能答案D
解析
由题可知轨道Ⅰ的半径与轨道Ⅱ的半长轴之比为R 1R 2＝2
3
，根据开普勒第三
定律R31
T21＝
R32
T22，解得
T2
T1＝
3
2
3
2，故A错误；根据
GMm
r2＝
m v2
r
得v＝
GM
r，如果b
点在过该点的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星经过a点的速率为经过b 点的2倍，而轨道Ⅱ是椭圆，因此在轨道Ⅱ上b点的速度不等于圆轨道的速度，
故B错误；根据公式a＝GM
r2可知，卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍，
故C错误；卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要点火加速，在同一点动能增大，即机械能增大，而卫星在同一轨道机械能守恒，因此在b点的机械能小于在c点的机械能，故D正确。