【首发】广东省汕头市金山中学2015届高三第一学期期中考试数学(理)Word版含答案

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汕头市金山中学2014-2015学年度第一学期高三期中考试
理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共40分)
一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合}021|
{≤-+=x x x M ,}2
1
2|{>=x x N ,则M N =( ) A .),1(+∞- B .)2,1[- C .)2,1(- D .]2,1[-
2.已知,αβ角的终边均在第一象限,则“αβ>”是“sin sin αβ>”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必
要条件
3.函数周期为π,其图像的一条对称轴是3
x π
=
,则此函数的解析式可以是( )
A .sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
B .sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
C .sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ D .sin 26x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
4.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
0||||
a b
a b +=成立的是( ) A .2a b = B .//a b C . 1
3a b =- D .a b ⊥
5.方程()()2
ln 10,0x x x
+-
=>的根存在的大致区间是( ) A .()0,1 B .()1,2 C .()2,e D .()3,4 6.已知向量,a b 的夹角为45︒
,且1a =,210a b -=,则b
=( ) A B .2
C .
D .7.已知函数()()21,f x x g x kx =-+=,若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C .()1,2
D .()2,+∞ 8.设向量
),(21a a =,),(21b b =,定义一种向量积:
),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗.已知向量)4,21(=m ,)0,6

=n ,点P 在
cos y x =的图象上运动,点Q 在()y f x =的图象上运动,且满足n OP m OQ +⊗=(其中
O 为坐标原点),则()y f x =在区间]3
,6[
π
π上的最大值是( )
A .2 B
. C
. D . 4
第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)
二、填空题:(本大题共7小题,作答6小题,每小题5分,共30分.) (一)必做题(9~13题) 9
.函数()f x =
的定义域为 。

10.图中阴影部分的面积等于 .
11.已知函数()()314,1
log ,1
a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩在R 是单调函数.....
,则实数a 的取值范围是 。

12.如图,在矩形ABCD
中,2AB BC ==,点E 为BC 的中点,点F 在边CD
上,若2AB AF =,则AE BF 的值是 .
13.已知函数()()2
ln 1f x a x x =+-,在区间()0,1内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立,则实数a 的取值范围为 。

(二)选做题(14、15题,只能从中选做一题,两题都选只计算14题得分) 14.(几何证明选讲选做题)如图,P A 是圆O 的切线,切点为A ,PO 交圆O 于B
,C 两点,
1PA PB ==,则PAB ∠= 。

15.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点
M 的极坐标为
4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭,
曲线C
的参数方程为1x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数),则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 。

三、解答题:(本大题共6小题,共
80
分.
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
第12题图
第14题图
第10题图
16.(本小题满分12分)
某同学用“五点法”画函数)2
,0()sin()(π
ϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象时,
列表并填入的部分数据如下表:
(1)请写出上表的1x 、2x 、3x ,并直接写出函数的解析式; (2)将()f x 的图象沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数()g x 的图象,P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低
点(如图),求OQP ∠的大小.
17.(本小题满分12分) 设函数.cos 2)3
42cos()(2x x x f +-

(1)求)(x f 的最大值,并写出使)(x f 取最大值时x 的集合; (2)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3
(),22
f B C b c +=+=,求a 的最小值。

18.(本小题满分14分)
已知函数2
()(0)f x x ax a =-≠,()ln g x x =,()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ,(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ,并且1l 与2l 平行。

(1)求(2)f 的值; (2)已知实数1
2
t ≥,求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数()y f u t =+的最值。

19.(本小题满分14分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且(
)2
44,n S n n n N
*
=-+∈。

第16题图
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)数列{}n b 中,令1,15,22
n n
n b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪
⎩,n T =1231232222n
n b b b b +++⋅⋅⋅+,求n T ;
(3)设各项均不为零的数列{}n c 中,所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数。

令n
n a a c -=1(n 为正整数),求数列{}n c 的变号数.
20.(本小题满分14分)
如图,已知抛物线()2:20C y px p =>的准线为l ,焦点为F ,圆M 的圆心在x 轴的正半轴上,圆M 与y 轴相切,过原点O 作倾斜角为3
π
的直线n ,交直线l 于点A ,交圆M 于不同的两点,O B ,且2AO BO ==。

(1)求圆M 和抛物线C 的方程;
(2)若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值;
(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线,切点分别为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标. 21.(本小题满分14分)
已知函数)ln ()(2
x x a x x f ++=,0>x ,R a ∈是常数. (1)求函数)(x f y =的图象在点()()
1 , 1f 处的切线方程;
(2)若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限,试求常数a 的取值范围; (3)证明:R a ∈∀,存在) , 1(e ∈ξ,使'()(1)
()1
f e f f e ξ-=-.
汕头市金山中学2014-2015学年度第一学期高三期中考试
第20题图
理科数学 参考答案
二、填空题(30分)
(一)必做题(9~13题)
9.()2,+∞; 10.1; 11.)3
1
,71[; 12; 13.[)15,+∞
(二)选做题(14、15题,只能从中选做一题,两题都选只计算14题得分)
14.30; 15.5
三、解答题(80分) 16.(本小题满分12分) 解:(1)321-=x ,342=x ,3103=x ……………………………………………………………3分
()3sin()23f x x π
π
+所以
………………………………………………………………………
…6分
(2)将()f x 的图像沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数
()2g x x π
=
……………………7分 因为P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点,所以
(3,P Q …………………………8分 所以2O P == …………………………………………………………………………………9分
OQ =……………………………………………………………………………………………10分
222cos 2OQ PQ OP OQ QP θ+-∴==⋅ ………………………………………………………………
…11分


6
π
θ=
(12)

法2:60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以
法3:利用数量积公式cos QP QO QP QO
θ⋅==
=
⋅ ,=30o θ所以。

17.(本小题满分12分) 解:(1))2cos 1()3
4sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-
=πππ 1)3
2cos(12sin 232cos 21++=+-=
π
x x x ……………………………………………………3分
)
(x f 的最大值为
2 …………………………………………………………………………………4分
要使)(x f 取最大值,)(23
2,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+ππ
π
故x 的集合


⎬⎫
⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ ……………………………………………………………6分
注:未写“Z k ∈”扣1分;结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分. (2)由题意,231]3
)(2cos[)(=
+++=+π
C B C B f ,即.2
1
)322cos(=+-ππA 化简得
2
1
)32cos(=
-
π
A ……………………………………………………………………………8分
()0A π∈Q ,,
)35,3(32πππ-∈-∴A ,只有332ππ=-A ,.3π
=A ………………………9分
在ABC ∆中,由余弦定理,
bc c b bc c b a 3)(3cos
22222-+=-+=π
………………………10分
由2=+c b 知1)2
(2
=+≤c b bc ,即
12≥a ,……………………………………………………11分 当1==c b 时,a 取最小值
.1………………………………………………………………………12分
注:不讨论角的范围扣1分.
18.(本小题满分14分)
解:(1)
()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ,'()2f x x a =- ……………………1分
(1)ln(1)
y g x x =-=-图象与x 轴的交点
(2
N ,
1
'(1)1g x x -=
-
………………………3分 由




12
l l k k =, 即
1
2121
a a -=
=- ………………………………………………………4分 1a ∴= , ………………………………………………………………………………………
…5分 ∴
2(),
f x x x =-,
2(2)222f =-= …………………………………………………………6分
(2)ln u x x =,当[]1,x e ∈时,'ln 10u x =+>, ……………………………………………7分 ∴
ln u x x
=在
[]
1,e 单调递增,
0,u e ≤≤ ………………………………………………………8分
22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122
t
u -=,抛物线开口向
上 …………………………10分 由
12
t ≥

1202
t
u -=
≤,即函数在
[]
0,e 上单调递
增 ………………………………………11分
2min 0|u y y t t ===- ……………………………………………………………………………
…12分
()22max 21y e t e t t =+-+- …………………………………………………………………
…13分 综



12
t ≥
时,
2
m i
n
y t
t
=
-;
()22m 21ax y e t e t t =+-+- …………………………14分
19.(本小题满分14分)
解:(1)244n S n n =-+,∴11S =………………………………………………………………1分
又当2n ≥时,
125n n n a S S n -=-=-………………………………………………………………3分
所以
11,1
25,2
n n n n a S S n n -=⎧⎪=-=⎨
-≥⎪⎩ ……………………………………………………………………4分
(2)∵1,15,22
n n
n b a n =⎧⎪
=⎨+≥⎪
⎩,∴ n b n =, (5)

2312+22+32+
+2n n T n =⨯⨯⨯⨯ ………………………………………………………………6分
2341212+22+32+
+(-1)2+2n n n T n n +=⨯⨯⨯⨯⨯,∴
1(1)22n n T n +=-+…………………9分
(3)解法一:由题设
⎪⎩⎪
⎨⎧≥--=-=2,5
24
11,3n n n c n ……………………………………………………10分 ∵3≥n 时,()()
032528
3245241>--=---=
-+n n n n c c n n , ∴3≥n 时,数列{}n c 递
增…………………………………………………………………………12分 ∵0314<-
=a ,由505
241≥⇒>--n n ,可知054<⋅a a ,即3≥n 时,有且只有1个变号数;
又∵3,5,3321-==-=c c c ,即0,03221<⋅<⋅c c c c ,∴此处变号数有2个.……………13分
综上,数列{}n c 共有3个变号数,即变号数为3。

(14)

解法二:由题设
⎪⎩

⎨⎧≥--=-=2,524
11,3n n n c n ……………………………………………………………10分 2≥n 时,令
422
9
27252303272529201==⇒<<<<⇒<--⋅--⇒<⋅+n n n n n n n n c c n n 或或;又
∵5,321=-=c c ,∴1=n 时也有
021<⋅c c .…………………………………………………13分
综上得:数列{}n c 共有3个变号数,即变号数为3。

(14)
分 20.(本小题满分14分)
21.(本小题满分14分) 解:
(1)
)1
1(2)(/x
a x x f ++=……………………………………………………………………1分
a
f +=1)1(,a f 22)1(/+= ……………………………………………………………………2分
函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ,即)12)(1(-+=x a y …………………………………………………………………………………
…4分
(2)①0=a 时,2
)(x x f =,因为0>x ,所以点) , (2x x 在第一象限,依题意,
0)ln ()(2>++=x x a x x f ………………………………………………………………………
…5分
②0>a 时,由对数函数性质知,)1
, 0(∈x 时,)0 , (ln -∞∈x ,)0 , (ln -∞∈x a ,从而

>∀x ,
)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成
立 ………………………………………………………………6分 ③
0<a 时,由
0)ln ()(2>++=x x a x x f 得
)ln 1
1(12x x
x a +-<,设)ln 11()(2x x x x g +-=,x x
x x x g ln 2
1)(33/+-=
1
)1()(-=≥g x g ,从而1)ln 1
1(12-<+-<x x
x a ,
01<<-a ……………………………8分


所述,常数a 的取
值范
围01≤<-a …………………………………………………………9分 (3)直接计


1
11)1()(-+
++=--e a
a e e f e f …………………………………………………10分 设


1
)1(21)1()()()(/--
++-=---
=e a
x a e x e f e f x f x g …………………………………11分 1
)1()2(11)1(2
----=
--+-=e e e a e a a e g ,)1()1(11)(2---=--+-=e e a e e e a e a e e g 当2
)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时,2
22)
1(]
)1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<, 因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线,所以存在) , 1(e ∈ξ,使0)(=ξg ,即
)
, 1(e ∈ξ,使
1
)
1()()(/--=
e f e f f ξ; (12)


22
)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时,)1(g 、0)(≥e g ,而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正,由均值不等式知,1
1
22)(2--+-≥e e a a x g ,等号当且仅当) , 1(2
e a
x ∈=
时成立,所以)(x g 有最小值1)
1(2)1(2112222----+-=--+-
=e e a e a e e a a m ,且 01
)
3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ,
此时存在) , 1(e ∈ξ()2
, 1(a ∈ξ或) , 2
(e a
∈ξ),使0)(=ξg 。

(13)

综上所述,R a ∈∀,存在) , 1(e ∈ξ,使1)1()()(/--=e f e f f ξ…………………………14分。

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