天津市红桥区2020届高三高考二模数学试题 Word版含解析

高三数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式1
3V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的体积公式343
V R =π球，其中R 表示球的半径.
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9题，每小题5分，共45分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
|2A x x =<，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）
A. {}1,0,1-
B. {}0,1
C. {}0,1-
D.
1,0,1,2
【答案】A 【解析】 【分析】
解不等式得到集合A ，再求交集得到答案.
【详解】{}{}
|2=22A x x x x =<-<<，{}1,0,1,2B =-，则{}1,0,1A B =-.
故选：A.
【点睛】本题考查了交集运算，解不等式，属于简单题.
2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，333S a =，则公比q =（ ）
A. 12
-
B.
12
C. 1或12
-
D. -1或
12
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为
q
，由333S a =，即
123312332a a a a a a a ++=⇒+=，所以221112210a a q a q q q +=⇒--=，解得1q =或
1
2
q =-，故选C ．
考点：等比数列的通项公式的应用． 3.已知1
3
1log 2a =，12
1log 3b =，32log 3c =，则（ ） A. b a c >> B. a b c >>
C. c b a >>
D. a c b >>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数函数单调性得到01a <<，l b >，0c <，得到答案. 【
详
解
】
11
13
3
311
0log 1log log 123
a =<=<=，
1
12
2
11
log log 132b =>=，
3
32
log log 3
10c =<=， 故b a c >>. 故选：A.
【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
4.设2:log 0p x <，1:21x q -<，则p 是q 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
分别解不等式，根据解集的范围大小得到答案.
【详解】2log 0x <，则()0,1x ∈，121x -<，则(),1x ∈-∞，故p 是q 的充分而不必要条件. 故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
5.若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ）
A. 0或4
B. 1或3
C. 2-或6
D. 1-
【答案】A 【解析】
试题分析：：∵圆2
2
()4x a y -+= ∴圆心为：（a ，0），半径为：2
圆心到直线的距离为：d =
∵2
22
2d r ⎛+=
⎝⎭
解得a=4，或a=0
考点：直线与圆相交的性质
6.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（ ）
A. B.
C.
3
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.
【详解】正方体的体积为38a =，则正方体棱长2a =，正方体的外接球半径为体对角线的一半，
即2
R ===3
4433V R ππ==⋅=.
故选：B.
【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.
7.将函数sin y x x =-的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. 12
π
-
B.
12
π
C. 6
π-
D.
6
π 【答案】D 【解析】 【分析】
利用辅助角公式将函数化为2sin 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.
【详解】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫
=-=-
⎪⎝
⎭
， 将函数的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，
可得2sin 3y x m π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，此函数图像关于y 轴对称，
则()3
2
m k k Z π
π
π--
=+
∈，解得()56
m k k Z π
π=--
∈， 因为0m >，则当1k =-时， m 取得最小值6
π. 故选：D
【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.
8.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. 4
D. 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合抛物线的性质可得22
p
-
=-，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点(2,1)--在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出b ，再利用双曲线的性质即可得解.
【详解】
抛物线2
2(0)y px p =>，∴该抛物线的准线为2
p x =-
， 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，
∴点(2,1)--在直线2p
x =-
上，∴22
p -=-即4p =， ∴抛物线的焦点为(2,0)，
又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，∴双曲线的左顶点为(2,0)-，2a =，
∴双曲线的渐近线方程为2
b
y x =±
， 由点(2,1)--在双曲线
其中一条渐近线上可得()122
b
-=
⨯-即1b =， ∴双曲线的焦距2c ==故选：D.
【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.
9.已知函数221,0
()2,0
x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值
范围为（ ） A. (,0)-∞ B. (1,)+∞
C. (0,1)
D. [0,1]
【答案】C 【解析】 分析】
由题意画出函数()f x 的图象，转化条件为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，数形结合即可得解.
【详解】当0x ≤时，2()2f x x x =--，其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线的一部分，且(1)121f -=-+=；
当0x >时，()21x
f x =-，其图像为函数2x
y =在y 轴右侧图象向下平移1个单位形成；
画出函数()f x 的图象，如图：
因为函数()()g x f x m =-有3个零点，
所以()f x m =有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点， 数形结合可知，01m <<， 所以实数m 的取值范围为(0,1). 故选：C.
【点睛】本题考查了函数的零点、方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系，考查了数形结合与转化化归思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10.若i 为虚数单位，则复数2
3
(1)i =-_________.
【答案】32
i 【解析】 【分析】
由题意结合复数的乘法、除法运算法则直接计算即可得解.
详解】由题意222
33333
(1)12222
i i i i i i i ====--+--. 故答案为：
32
i . 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 11.某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有_________.
【答案】150 【解析】 【分析】
设三个社团共有x 人，由题意结合分层抽样的定义和方法列方程即可得解. 【详解】设三个社团共有x 人， 由分层抽样的定义和方法可得30124515
x =+，解得150x =， 所以这三个社团共有150人. 故答案为：150.
【点睛】本题考查了分层抽样的应用，利用分层抽样每个个体被抽到的概率相等是解决本题的关键，属于基础题.
12.已知二项式2
1()n
x x
+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是
_________. 【答案】10 【解析】 【分析】
根据二项式系数和为232n =得到5n =，再利用二项式定理得到答案. 【详解】二项式2
1()n
x x
+的展开式的二项式系数之和为232n =，故5n =.
251()x x
+展开式的通项为：()
52
1031551r
r
r
r r
r T C x C x
x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭
， 取3r =得到x 项的系数是3510C =. 故答案为：10.
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13.已知实数,a b 满足条件：0ab <，且1是2a 与2b 的等比中项，又是
1
a 与1b
的等差中项，则
22
a b
a b +=+_________.
【答案】1
3
-
【解析】 【分析】
根据等差中项和等比中项计算得到1ab =-，2a b +=-，代入式子化简得到答案. 【详解】根据题意：221a b =，0ab <，故1ab =-，
112a b a b ab
++==，故2a b +=-. ()222221
423
a b a b a ab b a b ++-===-++-+.
故答案为：1
3
-.
【点睛】本题考查了等差中项，等比中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________
【答案】
【解析】
【详解】函数的导数为
，所以在
的切线斜率为
，所以切线方程为
，即
.
15.已知,a b 是单位向量，·0a b =．若向量c 满足
1c a b c --=，则的最大值是________.
2+1 【解析】 【分析】
由题意建立平面直角坐标系，设(,)c x y =，根据条件求得,x y 满足的关系式，再根据c 的几何意义求解．
【详解】由0a b =，得a b ⊥．
建立如图所示的平面直角坐标系，则()()1,0,0,1a b ==．
设(,)c OC x y ==，
由1c a b --=，可得22
(1)(1)1x y -+-=，
所以点C 在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上． 所以max 21c =
+．
【点睛】由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率．
三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知1a =，2b =，1cos 4
C =. （1）求c 的值； （2）求sin(2)3
C π
+
的值.
【答案】（1）2c =（21573
-
【解析】 【分析】
（1）直接利用余弦定理计算得到答案. （2）根据三角恒等变换计算15sin 28
C =
，7
cos28C =-，代入计算得到答案.
【详解】（1）根据余弦定理：2222cos 1414c a b ab C =+-=+-=，故2c =. （2）()0,C π∈，故2115sin 1cos 116C C =-=-=
15
sin 22sin cos C C C ==，27
cos22cos 18
C C =-=-，
故17sin 2sin 2cos cos 2sin 33328C C C πππ⎛⎫
+
=+=-= ⎪
⎝
⎭. 【点睛】本题考查了计算恒等变换，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为
23和3
4
，且各次射击互相独立. （1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；
（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）11
12
（2）分布列见详解；()2E ξ= 【解析】 【分析】
（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解；方法二：设“两人都没命中目标”为事件B ，利用概率乘法公式求出都不命中的概率，然后再利用间接法即可求解.
（2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，利用独立重复试验的概率求法公式求出分布列，进而求出期望.
【详解】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，
231321()343434P A =⨯+⨯+⨯11
12
=.
方法二：（或设“两人都没命中目标”为事件B ，111
()3412
P B =⨯=. “至少有一人命中目标”为事件A ，111()11212
P A =-=. （2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，
1111
(0)33327
P ξ==⨯⨯=
132116(1)33327P C ξ==⨯⨯=⋅ ()2322112
233327P C ξ==⨯⨯=⋅
()2228
333327
P ξ==⨯⨯=.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 127 627 1227 827
以()61281232272727
E ξ=⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、独立重复试验的分布列、期望，属于基础题.
18.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2PA AB ==，
3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.
（1）求证：PB ⊥平面ADF ；
（2）若直线DE 与平面ADF 所成角为30， ①求线段CE 的长；
②求二面角P ED A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）①2317
【解析】 【分析】
（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系，利用数量积证出PB AD ⊥，PB AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证出. （2）①求出平面ADF 的一个法向量，利用cos n DE n DE n DE
⋅⋅=
⋅1
2
=
，即可求线段CE 的长；②求出平面PED 的一个法向量，再根据(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，利用
空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）依题意，以点A 原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，
建立空间直角坐标系（如图），
可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，
(2,,0)(03)E m m ≤≤，(1,
,1)2
m
F ，(0,0,2)P . (2,0,2)PB =-，(0,3,0)AD =，(1,,1)2
m
AF =，
0PB AD ⋅=，0PB AF ⋅=，.
即PB AD ⊥，PB AF ⊥，AF A AD =，.
所以PB ⊥平面ADF .
（2）①设(,,)n x y z =为平面ADF 的法向量，
则00AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即002y m
x y z =⎧⎪
⎨++=⎪⎩
， 不妨令1x =，可得(1,0,1)n =-为平面ADF 的一个法向量，
(2,3,0)DE m =-
于是有cos n DE n DE n DE
⋅⋅=
⋅1
2
=
，. 221
2
1012(3)0
m =
++⋅+-+，得1m =或5m =（舍）. (2,1,0)E ，(2,3,0)C ，线段CE 的长为2；.
②设(,,)m x y z =为平面PED 的法向量，(2,1,2)PE =-，(0,3,2)PD =-
则00PE m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即220320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，
不妨令2y =，可得(2,2,3)m =为平面PED 的一个法向量，. 又(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，. 所以317
cos 217
m AP m AP m AP
⋅⋅=
=
=⋅.
【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、线面垂直的判定定理、根据线面角求长度，考查了运算求解能力，属于中档题.
19.如图，椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方程为
x=4.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）存在
【解析】
22
31911124P a b
+=（）由（，）在椭圆上得：①22
2,3a c b c =∴=② ②代入①得22
2
2
2
1,4,3, 1.43
x y c a b C ===∴+=椭圆：
考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力. 20.设
，函数()ln f x x ax =-．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知（是自然对数的底数）和2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求a 的值
并证明：32
2
x e >．
【答案】（Ⅰ）①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值，②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是
，函数()f x 的极大值为1
()ln 1f a a
=--；
（Ⅱ）证明见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别令0a ≤及0a >分情况讨论；（Ⅱ）由已知得()1ln 2f x x x e
=-
，由
（Ⅰ）函数()f x 在
递减及3
2
3()022e f e =->，52
25()022
e
f e =-<，可知函数
()f x 在区间
有唯一零点，由此得证.
试题解析：（Ⅰ）由已知得
()0,+∞，()11ax f x a x
x
'-=-=，
①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值； ②若0a >，令()0f x '=，得1
x a
=， 在区间
上，()0f x '>，函数()f x 是增函数，
在区间
上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，
所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11
()ln
1ln 1f a a a
=-=--． 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值；②当0a >时，函数
()f x 的递增区间为
，递减区间是
，函数()f x 的极大值为1
()ln 1f a a
=--．
（Ⅱ）因为
，所以1
02
a e -=，解得2a e =，所以
()ln 2f x x x e =-， 又3
2
3()022e f e =->，5225()022
e
f e =-<，所以3522()()0f e f e ⋅<，
由（Ⅰ）函数()f x 在递减，故函数()f x 在区间
有唯一零点，因此32
2
x e >．
考点：导数的应用．
【方法点睛】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材．函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．。