三角形与四边形综合
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八下数学三角形与四边形综合专题
1.矩形ABCD 内接正三角形BEF ，点E 在线段AD 上，点F 在线段CD 上，求证：S 1＋S 2＝S 3.
S 3
S 2
S 1F
C
A
E
D
B
A '
B
D
E
A
C
F
S 1S 2
S 3
y
x
证明:将△BAE 绕B 点顺时针旋转60°得△BA 'F ，连接A 'C ，则∠A 'BC ＝30°， ∴S 1＝
12bx ，S 2＝12ay ， S 3＝12（x －a ）（y －b ）＝1
2
（xy ＋ab －ay －bx ）， 要证S 1＋S 2＝S 3，只需证:2（bx ＋ay ）＝xy ＋ab ， S △A 'BC ＝
12xy sin30︒＝14xy ，S △A 'FC ＝12xy sin150︒＝14ab, ，12bx ＋12ay ＝1
4
（xy ＋ab ）（面积法）
∴2（bx ＋ay ）＝xy ＋ab （证毕），
2.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，BE ＝5，CG ＝6，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形ABCD 的边长为 .
G
F C A E
D B B D
E
A C
F
G
M
N
12
解:延长CB 至M ，使BM
BE
BC 至N ，使CN
＝连接EM 、GN ，则EM ＝2BM
，GN ＝2CN
＝M ＝∠N ＝60° ∴∠1＋∠MEF ＝120°
∵△EFG 为等边三角形，∴EF ＝FG ，∠EFG ＝60°，∠1＋∠2＝120°，∴∠MEF ＝∠2 ∴△MEF ≌△NFG ，∴MF ＝NG
＝FN ＝EM
＝
3
∴BF ＝MF －MB
，FC ＝FN －CN
∴BC ＝BF ＋FC
3.如图，正方形ABCD 的边长为3，△EFG 是等边三角形，点E 、F 、G 分别在线段BD 、BC 、CD 上，且EF ⊥BD ，则DE 的长为 .
B
A
G
G
A
B
解:作GH ⊥BD 于H ，由题意可得∠GEH ＝30°
设DH ＝GH ＝a ，则BE ＝EG ＝2
a ，EH ，BD
＝3a
∴3a
a ＝，∴
DE ＝a
4.如图，正方形ABCD 的边长为3，△EFG 是等边三形，点E 、F 、G 分别在线段BD 、BC 、CD 上，且GC ＝3，则DE 的长为 .
G
F C
A
E
D
B
D
G
解:连接BG ，作EH ⊥BG 于H ，∵BC ＝3，GC GBC ＝30°，∠BGC ＝60︒ ∵△EFG 是等边三角形，∴∠EGF ＝60°，∴∠EGH ＝∠FGC ，∴△EGH
≌△FGC ∴GH ＝GC ＝
1
2
BG ，∴BH ＝GH ＝GC
作GM ⊥BD
于M ，则DM ＝GM
＝
2DG ，EM
GM
＝2
DG DE
DG
＋1）
1）（3
）
＝
2
＋1）1
5.如图，等边△EFG 的顶点分别在正方形ABCD 的边上，若连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，若
AE m ED =，则AF
AB
= , DG DC = .
B
D
E
A C
F G
G
F C
A
E
D
B
M
N
2
1
解:延长DA 至M ，使∠M ＝∠N ＝60°，则∠1＋∠MFE ＝120°
∵△EFG 为等边三角形，∴EF ＝EG ，∠FEG ＝60°，∴∠1＋∠2＝120°，∴∠MFE ＝∠2 ∴△MEF ≌△NGE ，∴ME ＝NG ，FM ＝EN
设AM ＝a ，DN ＝b ，则AF
，MF ＝2a ，DG
b ，NG ＝2b ∴a ＋AE ＝2b ，2a ＝b ＋ED ，∴a ＝
23AE ED +,b ＝23
AE ED
+
∴
232
31
AF AE ED
m AB AE ED m ++===++, 3232131
DG AE ED m DC AE ED m ++===++ 6.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，且BE ＝DF ，∠EAF ＝60° （1）若AE ＝2，求EC 的长；
（2）点G 在线段FC 上，∠AGC ＝120°，求证：AG ＝EG ＋FG.
B D
E
A
C F G
G
F C
A
E
D
B H
解:（1）∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ∵∠
EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴EF ＝AE ＝
2 ∵BC ＝DC ，BE ＝DF ，∴EC ＝FC ＝
2
EF （2）延长DC 到点H ，使FH ＝AG ，连接EH ∵△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF
∵∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝15°，∴∠AFD ＝75° ∵△AEF 是等边三角形，∴∠AFE ＝60°，∴∠EFH ＝45° ∵∠AGC ＝120°，∴∠AGD ＝60°，∠DAG ＝30° ∴∠EAG ＝45°，∴∠EAG ＝∠EFH 又∵AE ＝FE ，∴△AEG ≌△FEH （SAS ） ∴EG ＝EH ，∠AGE ＝∠H