2015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二(上)期中数学试卷(理科)

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2015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二(上)期中数学试卷
(理科)
一、选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1.已知直线l 1:(k ﹣3)x +(4﹣k )y +1=0与l 2:2(k ﹣3)x ﹣2y +3=0平行,则k 的值是()
A .1或3
B .1或5
C .3或5
D .1或2
2.设0<x
<,则“xsin 2x <1”是“xsinx <1”的()
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3.已知直线方程为(2+m )x +(1﹣2m )y +4﹣3m=0.这条直线恒过一定点,这个定点坐标为()
A .(﹣2m ,﹣m ﹣4)
B .(5,1)
C .(﹣1,﹣2)
D .(2m ,m +4)
4.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为()
A .B
.C
.D .
5.设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中错误的是()
A .若m ⊥α,m ∥n ,n ∥β,则α⊥β
B .若α⊥β,m ⊄α,m ⊥β,则m ∥α
C .若m ⊥β,m ⊂α,则α⊥β
D .若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥n
6.设点C (2a +1,a +1,2)在点P (2,0,0),A (1,﹣3,2),B (8,﹣1,4)确定的平面上,则a 的值为()
A .8
B .16
C .22
D .24
7.a <0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的()
A .必要不充分条件
B .充分不必要条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
8.已知坐标原点O (0,0)关于直线L 对称的点是M (3,﹣3),则直线L 的方程是()
A .x ﹣2y +1=0
B .2x ﹣y ﹣1=0
C .x ﹣y +3=0
D .x ﹣y ﹣3=0
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9.已知点(1,﹣2)和
在直线l :ax ﹣y ﹣1=0(a ≠0)的两侧,则直线l 倾斜角的取值范围是(
)A .B
.C
.D .
10.直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于(

A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
11.设不等式组表示的平面区域为D ,若指数函数y=a x 的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是()
A .(1,3]
B .[2,3]
C .(1,2]
D .[3,+∞]
12.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体表面上与点A 距离是
的点形成一
条曲线,这条曲线的长度是(
)A .B
.C
.D .
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是______.
14.已知点P (x ,y )在直线x +y ﹣4=0上,O 是原点,则OP 的最小值是______.
15.实数x ,y 满足,则的取值范围是______.
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16.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为1,此时四面体ABCD 外接球表面积为______

三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.设命题p :f (x )=在区间(1,+∞)上是减函数;命题q ;x 1x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根,不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数α∈[﹣1,1]恒成立;若¬p ∧q 为真,试求实数m 的取值范围.
18.正三棱锥的高为1,底面边长为
2,内有一个球与它的四个面都相切,求:
(1)棱锥的表面积;
(2)内切球的表面积与体积.
19.已知有条光线从点A (﹣2,1)出发射向x 轴B ,经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点,再经过y 轴反射后到达点D (﹣2,7).
(1)求直线BC 的方程.
(2)求光线从A 点到达D 点所经过的路程.
20.已知直线l 的方程为t (x ﹣1)+2x +y +1=0(t ∈R )
(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程;
(2)若直线l 不经过第二象限,求实数t 的取值范围.
21.如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,AD=CD ,把△DAC 沿对角线AC 折起后如图2所示(点D 记为点P ),点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上,连接PB .
(1)求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;
(2)求二面角P ﹣AC ﹣B 的大小的余弦值.
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22.已知定义在R 上的二次函数f (x )满足:f (x )=﹣x 2+bx +c ,且f (x )=f (1﹣x ).对于数列{a n },若a 1=0,a n +1=f (a n )(n ∈N *)
(1)求数列{a n }是单调递减数列的充要条件;
(2)求c 的取值范围,使数列{a n }是单调递增数列.
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2015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二(上)期中数
学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1.已知直线l 1:(k ﹣3)x +(4﹣k )y +1=0与l 2:2(k ﹣3)x ﹣2y +3=0平行,则k 的值是()
A .1或3
B .1或5
C .3或5
D .1或2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】当k ﹣3=0时,求出两直线的方程,检验是否平行;当k ﹣3≠0时,由一次项系数之比相等且不等于常数项之比,求出k 的值.
【解答】解:由两直线平行得,当k ﹣3=0时,两直线的方程分别为
y=﹣1和y=,显
然两直线平行.
当k ﹣3≠0
时,由=≠,可得k=5.综上,k 的值是3或5,故选C .2.设0<x
<,则“xsin 2x <1”是“xsinx <1”的()
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【考点】不等关系与不等式;必要条件、充分条件与充要条件的判断;正弦函数的单调性.
【分析】由x 的范围得到sinx 的范围,则由xsinx <1能得到xsin 2x <1,反之不成立.答案可求.
【解答】解:∵0<x <,
∴0<sinx <1,
故xsin 2x <xsinx ,
若“xsinx <1”,则“xsin 2x <1”
若“xsin 2x <1”,则xsinx
<,>1.此时xsinx <1可能不成立.例如x →,sinx →1,xsinx >1.
由此可知,“xsin 2x <1”是“xsinx <1”的必要而不充分条
故选B .
3.已知直线方程为(2+m )x +(1﹣2m )y +4﹣3m=0.这条直线恒过一定点,这个定点坐标为()
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A .(﹣2m ,﹣m ﹣4)
B .(5,1)
C .(﹣1,﹣2)
D .(2m ,m +4)
【考点】恒过定点的直线.
【分析】由直线(2+m )x +(1﹣2m )y +4﹣3m=0变形为m (x ﹣2y ﹣3)+(2x +y +4)=0,令,即可求出定点坐标.
【解答】解:由直线(2+m )x +(1﹣2m )y +4﹣3m=0变形为m (x ﹣2y ﹣3)+(2x +y +4)=0,令,解得,
∴该直线过定点(﹣1,﹣2),
故选:C ,
4.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为()
A .B
.C
.D .
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx 平面为投影面,则得到正视图即可.
【解答】解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx 平面为投影面,则得到正视图为:
故选A .
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5.设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中错误的是()
A .若m ⊥α,m ∥n ,n ∥β,则α⊥β
B .若α⊥β,m ⊄α,m ⊥β,则m ∥α
C .若m ⊥β,m ⊂α,则α⊥β
D .若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.
【解答】解:若m ⊥α,m ∥n ,n ∥β,
则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β,故A 正确;
若α⊥β,m ⊄α,m ⊥β,则由直线与平面平行的判定定理得m ∥α,故B 正确;
若m ⊥β,m ⊂α,则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β,故C 正确;
若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m 与n 相交、平行或异面,故D 错误.
故选:D .
6.设点C (2a +1,a +1,2)在点P (2,0,0),A (1,﹣3,2),B (8,﹣1,4)确定的平面上,则a 的值为()
A .8
B .16
C .22
D .24
【考点】共线向量与共面向量.【分析】与
不共线,可设=λ+μ,利用平面向量基本定理即可得出.
【解答】
解:=(2a ﹣1,a +1,2
),
=(﹣1,﹣3,2
),=(6,﹣1,4
),与不共线,设=λ+
μ,
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21则,解得a=16,
故选:B .
7.a <0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的()
A .必要不充分条件
B .充分不必要条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.
【分析】先求△>0时a 的范围,结合韦达定理,以及特殊值a=1来判定即可.
【解答】解:方程ax 2+2x +1=0有根,则△=22﹣4a ≥0,得a ≤1时方程有根,
当a <0时,x 1x 2=<0,方程有负根,又a=1时,方程根为x=﹣1,
显然a <0⇒方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根;
方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根,不一定a <0.
a <0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的充分不必要条件.
故选B .
8.已知坐标原点O (0,0)关于直线L 对称的点是M (3,﹣3),则直线L 的方程是()
A .x ﹣2y +1=0
B .2x ﹣y ﹣1=0
C .x ﹣y +3=0
D .x ﹣y ﹣3=0
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.
【分析】由中点坐标公式求得OM 的中点坐标,再求出OM 所在直线的斜率,得到OM 的垂直平分线的斜率,代入直线方程的点斜式得答案.
【解答】解:由O (0,0),M (3,﹣3),
可得OM 的中点坐标为(
),又,∴OM 的垂直平分线的斜率为1,
∴直线L 的方程为y +=1×(x ﹣),即x ﹣y ﹣3=0.
故选:D .
9.已知点(1,﹣2)和
在直线l :ax ﹣y ﹣1=0(a ≠0)的两侧,则直线l 倾斜角的取值范围是(
)A .B
.C
.D .
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21【考点】直线的斜率.
【分析】因为点(1,﹣2)和在直线l :ax ﹣y ﹣1=0(a ≠0)的两侧,那么把这两个点代入ax ﹣y ﹣1,它们的符号相反,乘积小于0,求出a 的范围,设直线l 倾斜角为θ,则a=tan θ,再根据正切函数的图象和性质即可求出范围.
【解答】解:因为点(1,﹣2)和
在直线l :ax ﹣y ﹣1=0(a ≠0)的两侧,
所以,(a +2﹣1)(a ﹣1)<0,即:(a +1)(a ﹣)<0,
解得﹣1<a <,
设直线l 倾斜角为θ,
∴a=tan θ,
∴﹣1<tan θ<,
∴0<θ<,或<θ<π,
故选:C .
10.直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于(
)A .30°B .45°C .60°D .90°
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】延长CA 到D ,根据异面直线所成角的定义可知∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角,而三角形A 1DB 为等边三角形,可求得此角.
【解答】解:延长CA 到D ,使得AD=AC ,则ADA 1C 1为平行四边形,
∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角,
又A 1D=A 1B=DB=AB ,
则三角形A 1DB 为等边三角形,∴∠DA 1B=60°
故选C .
11.设不等式组表示的平面区域为D ,若指数函数y=a x 的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是()
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A .(1,3]
B .[2,3]
C .(1,2]
D .[3,+∞]
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域;指数函数的图象与性质.
【分析】先依据不等式组,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出其表示的平面区域,再利用指数函数y=a x 的图象特征,结合区域的角上的点即可解决问题.
【解答】解:作出区域D 的图象,联系指数函数y=a x 的图象,由得到点C (2,9),
当图象经过区域的边界点C (2,9)时,a 可以取到最大值3,
而显然只要a 大于1,图象必然经过区域内的点.
故选:A

12.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体表面上与点A 距离是
的点形成一
条曲线,这条曲线的长度是(
)A .B
.C
.D .
【考点】弧长公式;棱柱的结构特征.
【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状,再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度.
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【解答】解:由题意,此问题的实质是以A
为球心、为半径的球在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各个面上交线的长度计算,
正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD 、AA 1DD 1、AA 1BB 1为过球心的截面,截痕为大圆弧,
各弧圆心角为、A 1B 1C 1D 1、B 1BCC 1、D 1DCC 1为与球心距离为1的截面,
截痕为小圆弧,由于截面圆半径为r=,故各段弧圆心角为
.∴这条曲线长度为3••+3
••
=故选D .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是所有实数的绝对值不是正数.
【考点】命题的否定.
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是:所有实数的绝对值不是正数.
故答案为:所有实数的绝对值不是正数.
14.已知点P (x ,y )在直线x +y ﹣4=0上,O 是原点,则OP
的最小值是.
【考点】点到直线的距离公式.
【分析】OP 的最小值,就是两点间的距离的最小值,转化为原点的直线的距离.
【解答】解:因为点P (x ,y )在直线x +y ﹣4=0上,O 是原点,则OP 的最小值,就是求原点O 到直线x +y ﹣4=0的距离,
即|OP |=
.故答案为:.15.实数x ,y 满足,则的取值范围是[2,].
【考点】简单线性规划.
【分析】根据已知的约束条,画出满足约束条件的可行域,将式子进行变形,再分析目标函数的几何意义,结合图象即可给出目标函数的取值范围.
【解答】解:约束条件对应的平面区域如下图示:
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设k=,则z 表示可行域内的点(x ,y )与点(0,0)连线的斜率,
可得B (1,
2),由可得A (1,2)由图可知k 的最大值为k OB =2,最小值为k OA =
,的取值范围是[,2],又=
+=k +在[,1]上单调递减,在[1,2]上递增,
则当t=1时,z=1+1=2,
当t=时,z=+2=,∴的取值范围是[2,].
故答案为:[2,
]
16.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为1,此时四面体ABCD
外接球表面积为.
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【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.
【分析】三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ,底面是正三角形,它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球,求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离,就是球的半径,然后求球的表面积即可.
【解答】解:根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ,底面是正三角形,它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球,求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离,就是球的半径,
正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的中,底面边长为1,棱柱的高为,
由题意可得:三棱柱上下底面中点连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等,说明中心就是外接球的球心,
∴正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O ,外接球的半径为r ,表面积为:4πr 2.球心到底面的距离为1,底面中心到底面三角形的顶点的距离为:××1=,
所以球的半径为
r==.
外接球的表面积为:4πr 2=
π故答案为:π.三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.设命题p :f (x )=在区间(1,+∞)上是减函数;命题q ;x 1x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根,不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数α∈[﹣1,1]恒成立;若¬p ∧q 为真,试求实数m 的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;复合命题的真假.
【分析】先根据分式函数的单调性求出命题p 为真时m 的取值范围,然后根据题意求出|x 1﹣x 2|的最大值,再解不等式,若﹣p ∧q 为真则命题p 假q 真,从而可求出m 的取值范围.
【解答】解:∵f (x )=在区间(﹣∞,m ),(m ,+∞)上是减函数,而已知在区间(1,+∞)上是减函数,
∴m ≤1,即命题p 为真命题时m ≤1,命题p 为假命题时m >1,
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∵x 1,x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根

∴|x 1﹣x 2|==
∴当a ∈[﹣1,1]时,|x 1﹣x 2|max =3,
由不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数a ∈[﹣1,1]恒成立.
可得:m 2+5m ﹣3≥3,∴m ≥1或m ≤﹣6,
∴命题q 为真命题时m ≥1或m ≤﹣6,
∵﹣p ∧q 为真,
∴命题p 假q 真,即
,∴实数m 的取值范围是m >1.
18.正三棱锥的高为1,底面边长为
2,内有一个球与它的四个面都相切,求:
(1)棱锥的表面积;
(2)内切球的表面积与体积.
【考点】球的体积和表面积.
【分析】(1)过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ,连结并延长AD 交BC 于E ,连结PE ,△ABC 是正三角形,AE 是BC 边上的高和中线,D 为△ABC 的中心.由此能求出棱锥的全面积.
(2)求出棱锥的体积,设球的半径为r ,以球心O 为顶点,棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,由此能求出球的表面积.
【解答】解:(1)如图,过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ,
连结并延长AD 交BC 于E ,连结PE ,△ABC 是正三角形,
∴AE 是BC 边上的高和中线,D 为△ABC 的中心.

AB=2,
∴S △ABC =
×(2)2=6,DE=
AB=,PE=.
S △P AB =S △PBC =S △PCA ==3.∴S 表=9+6;
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(2)设球的半径为r ,以球心O 为顶点,棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,
∵PD=1,∴V P ﹣ABC =•6
•1=2.则由等体积可得r==﹣2,∴S 球=4π(﹣2)2.体积V=π(
﹣2)3
.19.已知有条光线从点A (﹣2,1)出发射向x 轴B ,经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点,再经过y 轴反射后到达点D (﹣2,7).
(1)求直线BC 的方程.
(2)求光线从A 点到达D 点所经过的路程.
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.
【分析】(1)由题意画出图形,找出A 关于x 轴的对称点,D 关于y 轴的对称点,由直线方程的两点式求得直线BC 的方程;
(2)直接由两点间的距离公式得答案.
【解答】
解:如图,
(1)∵A (﹣2,1),
∴A 点关于x 轴的对称点为A ′(﹣2,﹣1),
∵D (﹣2,7),
∴D 点关于y 轴的对称点D ′(2,7).
由对称性可得,A ′、D ′所在直线方程即为BC 所在直线方程,
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∴BC :,整理得2x ﹣y +3=0;
(2)由图可得,光线从A 点到达D 点所经过的路程即为
|A ′D ′|=.
20.已知直线l 的方程为t (x ﹣1)+2x +y +1=0(t ∈R )
(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程;
(2)若直线l 不经过第二象限,求实数t 的取值范围.
【考点】直线的一般式方程.
【分析】(1)对直线的截距分类讨论即可得出;
(2)将直线l 的方程化为y=﹣(t +2)x +t ﹣1,由于l
不经过第二象限,可得或,解出即可.
【解答】解:(1)当直线l 过原点时,该直线在x 轴和y 轴上的截距为零,此时相等,∴t=1,直线l 的方程为3x +y=0.
当直线l 不过原点时,由截距存在且均不为0,
得=t ﹣1,即t +2=1,
∴t=﹣1,直线l 的方程为x +y +2=0.
故所求直线l 的方程为3x +y=0或x +y +2=0.
(2)将直线l 的方程化为y=﹣(t +2)x +t ﹣1,
∵l 不经过第二象限,∴

解得t ≤﹣2,
∴t 的取值范围是(﹣∞,﹣2].
21.如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,AD=CD ,把△DAC 沿对角线AC 折起后如图2所示(点D 记为点P ),点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上,连接PB .
(1)求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;
(2)求二面角P ﹣AC ﹣B 的大小的余弦值.
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【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角.
【分析】(1)根据折起前后有些线段的长度和角度,根据线面所成角的定义可知∠CPB 为直线PC 与平面PAB 所成的角,在Rt △CBP 中,求出此角即可;
(2)取AC 的中点F ,连接PF ,EF ,根据二面角平面角的定义可知∠PFE 为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角,在Rt △EFA 中,求出EF ,在Rt △PFA 中,求出PF ,最后在Rt △PEF 中,求出∠PFE 的余弦值即可.
【解答】(1)解:在图4中,
∵∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,
∴,,∠DAC=60°.
∵AD=CD ,
∴△DAC 为等边三角形.
∴AD=CD=AC=2.
在图5中,
∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,
∴PE ⊥平面ABC .
∵BC ⊂平面ABC ,
∴PE ⊥BC .
∵∠CBA=90°,
∴BC ⊥AB .
∵PE ∩AB=E ,PE ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,
∴BC ⊥平面PAB .
∴∠CPB 为直线PC 与平面PAB 所成的角.
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在Rt △CBP 中,BC=1,PC=DC=2,∴.
∵0°<∠CPB <90°,
∴∠CPB=30°.
∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30°.
(2)解:取AC 的中点F ,连接PF ,EF .
∵PA=PC ,
∴PF ⊥AC .
∵PE ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,
∴PE ⊥AC .
∵PF ∩PE=P ,PF ⊂平面PEF ,PE ⊂平面PEF ,
∴AC ⊥平面PEF .
∵EF ⊂平面PEF ,
∴EF ⊥AC .
∴∠PFE 为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角.
在Rt △EFA 中,
,∴EF=AF •tan30°=,.在Rt △PFA
中,.
在Rt △PEF 中,.
∴二面角P ﹣AC ﹣B
的大小的余弦值为.
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2122.已知定义在R 上的二次函数f (x )满足:f (x )=﹣x 2+bx +c ,且f (x )=f (1﹣x ).对于数列{a n },若a 1=0,a n +1=f (a n )(n ∈N *)
(1)求数列{a n }是单调递减数列的充要条件;
(2)求c 的取值范围,使数列{a n }是单调递增数列.
【考点】数列与函数的综合;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】(1)由题意可得f (x )的对称轴为
x=,求得b=1,由数列{a n }是单调递减数列等价为a n +1<a n ,即为
a n +1﹣a n <0,即c <a n 2恒成立,求得a n 2的最小值,即可得到c 的范围;
(2)由题意可得a n +1﹣a n >0,即c >a n 2恒成立,由二次函数的配方和单调性,可得a n
≤时,数列递增,即可得到所求c 的范围.
【解答】解:(1)f (x )=f (1﹣x ),可得f (x )的对称轴为x=,即有=,即b=1,
对于数列{a n },若a 1=0,a n +1=f (a n )(n ∈N *),
即有a n +1=﹣a n 2+a n +c ,
则a n +1﹣a n =c ﹣a n 2,
数列{a n }是单调递减数列等价为a n +1<a n ,即为
a n +1﹣a n <0,即c <a n 2恒成立,
由a n 2≥0,且a 1=0,则c <0.
故数列{a n }是单调递减数列的充要条件为c <0;
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(2)数列{a n }是单调递增数列,a n +1>a n ,即为a n +1﹣a n >0,即c >a n 2恒成立,由a n +1=﹣a n 2+a n +c=﹣(a n ﹣)2+c +,当a n ≤时,数列递增,即有a n 2≤.可得c
>.
则c >,使数列{a n }是单调递增数列.
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2016年10月1日。

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