(山东专用)2020年高考数学一轮复习专题01集合(含解析)

专题01 集合

一、【知识精讲】

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号N N*(或N＋)Z Q R

2.

(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A．

(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A．

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

并集交集补集

图形表示

符号表示A∪B A∩B ∁U A

意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}

[

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．

(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A．

(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．

(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．

(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．

二、【典例精练】

例1. (2018年全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 B．8

C．5 D．4

【答案】A

【解析】法一：将满足x2+x2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，

(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有

9个．故选A.

法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2

＋y 2

＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.

例2.(1)(2017年全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2

＋y 2

＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

(2)已知a ，b ∈R ，若

⎩

⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1

D ．±1

【答案】(1)B (2)C

【解析】(1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2

＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.

(2)由已知得a ≠0，则b a

＝0，所以b ＝0，于是x 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故x 2019+x 2019＝(−1)2019+02019＝－1. 【解法小结】 与集合中的元素有关的解题策略

(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 提醒： 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

例3. (1)(2018年天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )

A ．{－1,1}

B ．{0,1}

C ．{－1,0,1}

D ．{2,3,4}

(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2

－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )

A ．{x |－2≤x <4}

B ．{x |x ≤2或x ≥4}

C ．{x |－2≤x ≤－1}

D ．{x |－1≤x ≤2}

【答案】(1)C (2)D

【解析】 (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}， ∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}． (2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，

因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． 【解法小结】 集合基本运算的方法技巧

(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)集合的交、并、补运算口诀如下： 交集元素仔细找，属于A 且属于B ； 并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；

全集U 是大范围，去掉U 中a 元素，剩余元素成补集．

例4.．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2

＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 【答案】[－2,2)

【解析】①若B ＝∅，则Δ＝x 2－4<0，解得－2<m <2； ②若1∈B ，则12

＋m ＋1＝0，

解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，

解得m ＝－5

2，此时B ＝⎩

⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．

综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)． 【解法小结】

判定集合间基本关系的两种方法和一个关键

例5.) A ．(－4,3) B ．[－3,4] C ．(－3,4) D ．(－∞，4]

【答案】B

【解析】集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.