文登考研数学--概率--习题及其答案
文登考研概率经典论例题解析
第一章 随机事件和概率第1节 重要概念、定理和公式的剖析【例1.2】设A ，B ，C 表示三个随机事件，试将下列事件用A ，B ，C 表示出来.（1）A 出现，B ，C 都不出现； （2）A ，B 都出现，C 不出现； （3）三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于两个事件出现； （8）三个事件至少有两个出现； （9）A ，B 至少有一个出现，C 不出现；（10）A ，B ，C 中恰好有两个出现. 【解】（1）ABC . （2）ABC . （3）ABC . （4）A B C ++. （5）ABC .（6）ABC BC ABC AB A C +++或AB BC AC ++.（7）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ++++++或ABC . （8）ABC ABC ABC ABC +++或AB BC AC ++. （9）()A B C +.（10）ABC ABC ABC ++.【例1.5】已知P （A ）= P （B ）= P （C ）=41，P （AB ）=0，P （AC ）= P （BC ）=61，则A ，B ，C 全部发生的概率为 .【解】()P ABC =1-()P A B C =1-()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC --+++-=323171()10()464312P ABC ABC AB -+-=-+-=⊂因为.【例1.6】()0.7,()0.3,()P A P A B P AB =-==则 . 【解】因为()()()0.3,P A B P A P AB -=-=故 ()0.4.P AB =()1()10.40.6P AB P AB =-=-=.【例1.7】假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一种，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 .【解】i A ={取到的一个产品为i 等品} i =1, 2, 3. 显然，123,,A A A 为互斥事件组，由题意有3121290()()()()100P A P A A P A P A ==+= , 31112131333()[()]()60%2(|)90%3()()()P A A P A A A P A P A A P A P A P A ===== .【例1.8】设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=, 则 【 】 （A ）事件A 与B 互不相容.（B ）事件A 与B 互相对立.（C ）事件A 和B 互不独立.（D ）事件A 和B 相互独立.【解】因为(|)(|)(|)1(|)1P A B P A B P A B P A B +=+-=, 所以(|)(|)0P A B P A B -=， 即(|)(|)()()())( P A B P A B P AB P AB P B P B =⇓=()[1()]()()()()[()()]()[()]()().P AB P B P B P AB P AB P B P AB P AB P B P A B B P B P A -=⇒=+=+=⇒故应选（D ）.【例1.9】设A ，B ，C 三个事件两两独立，则A ，B ，C 相互独立的充分必要条件是 【 】 （A ）A 与BC 独立. （B ）AB 与A C 独立. （C ）AB 与AC 独立. （D ）A B 与A C 独立. 【解】A ，B ，C 相互独立的充要条件：()()(),()()(),()(()()()()P A B P A B P A C P A C P B C P B CP A B C P A B C ====由[()]()()()()()P A BC P A P BC P A P B P C ==∙,可知（A ）入选. ○注：由前面关于事件独立性的注（8）即可知（A ）为正确答案.【例1.10】设10件产品有种2件次品，8件正品. 现每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求下列事件的概率： （1） 前两次均取到正品； （2） 第二次取到次品；（3） 若已知第二次取到次品，则第一次也取到次品.【解】设i A ={第i 次取到次品}，i =1, 2. （1）前两次均取到正品的概率为121218728×=10945()()(|)P A B P A P A A ==（2）11A A ，构成一个完备事件组，于是由全概率公式有1122112()(|)()(|)()12281××=9109105P A P A A P A P A A P A =+=+（3）由Bayes 公式有21112212×(|)()1910(|)1()95P A A P A P A A P A ===.【例1.13】把10本书随意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率. 【解】基本事件总数10！，有利于将指定的5本书放在一起的基本事件个数为6！·5！（其中6！是指5本书当做一个元素进行全排列的总数，5！是5本书相互之间进行全排列的总数），故【例1.14】从5双不同的鞋子中任取4只，求此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【分析】本例的基本事件总数容易计算，即为410C , 但有利事件数相对较难，下面给出几种不同解法.【解法一】首先从5双鞋中取出一双，并将此两只鞋全部取出，然后从剩下的4双中取出两双，再在每双中各取一只，于是取法共有1221152422C C C C C 种.显然，这样取得的4只鞋仅有一双成对，而4只鞋配成两双的取法有25C 种，故取得的4只鞋至少有一双的取法有1221152422C C C C C +25C 种. 故所求概率12211245242251013()/21P C C C C C C C =+=. 【解法二】设A 表示“至少有两只鞋子成一双”，于是A 表示“没有成双的鞋子”，故有利于A的基本事件数为4111152222C C C C C ,即从5双中取出4双再从每双中各取1只的取法总数，所以411114522221013()1()1/21P A P A C C C C C C =-=-=. ○注：（1）从上面的例题可以发现，概率的求逆公式()1()P A P A =-常可使问题大为简化，这是概率计算中的一个重要技巧，必须熟练掌握，而且常用在“至少”或“至多”的问题中.（2）古典概型中概率的计算是一个难点，但并不是考试的重点，故只需掌握较简单的古典概型的计算即可. （3）【例1.14】有下面易犯的错误的解法，试指出错误所在：首先从5双鞋中任取1双，其2只全部取出，然后在剩下的8只鞋中任取2只，于是总的取法为122528C C C ,并且这样取出的4只鞋可保证至少有两只成一双，故所求概率为122452810()/P A C C C C =.【例1.15】在长度为a 的线段内任取两点将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.【解】设线段被分成的三段长分别为x ，y 和a-x-y ，则样本空间为由x ≥1，y ≥0及x+y ≤a所构成的图形，其面积S ΔAOB =212a ，有利于事件A （即x ，y ，a-x-y 三段构成三角形）的基本事件集：由线段x ，y ，a-x-y 所围成的三角形，其面积为S ΔDCE （见图1-1）. 由三角形两边之和大于第三边的性质，有0≤x ≤2a , 0≤y ≤2a , 0≤a-x-y ≤2a . ⇒0≤x ≤2a , 0≤y ≤2a ,2a≤x+y ≤a (它们构成三角形DCE ),则其面积S ΔDCE =21()22a ，于是由几何概型的概率计算公式 221()122()142a P A a ==.yx图1-1【例1.16】从（0,1）中随机地取两个数x 和y ，则满足条件xy < 14的概率是 . 【解】显然本题为几何概型，如图1-2所示.图1-2则1{(,)|01,01},{(,)|,(,)}4x y x y A x y xy x y Ω=<<<<=<∈Ω 于是1141111=1=ln 2,4442A S S dx x Ω+=+⎰， 故所求概率为11ln 2.42A S p S Ω==+ 【例1.17】设A ，B 是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B =++++= . 【解】因为()()()()()()()()()()()()()A B A B A B A B AA AB AB B A B A B AB AB B A B A B B A B A B BA A B BAA BAB ++++=+++++=++++=++=+=+=∅故应填0.【例1.18】设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = .【解】由已知条件有1(),()().9P AB P AB P BA ==另外由A ，B 的独立性得,A B 也独立，从而1()(),9P A P B =即 1[1()][1()],9P A P B --=又 ()()(),()()(),P AB P A P AB P BA P B P AB =-=-故 ()(),P A P B =所以21[1()],9P A -=即24(),33P A =(舍去).应填23.【例1.20】当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则下列结论正确的是 【 】（A ）()()P C P AB =.（B ）()()P C P A B = . （C ）()()()1P C P A P B +-≥.（D ）()()()1P C P A P B +-≤.【解】由于AB C ⊂,故()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B =+-+- ≥≥.即选（C ）.【例1.21】设(),(),()P A a P B b P A B c ==+=,则()P AB 为 【 】 （A ）a b -. （B ）c b -. （C ）(1)a b -.（D ）(1)a c -.【解】利用恒等式 ()()()P A P A B P A B=+, 于是 ()()(),()()()(),P AB P A P AB P A B P A P B P AB =-+=+- 由上面两式有()()().P AB P A B P B c b =+-=-故（B ）入选.【例1.25】设()0,P A >试证()(|)1.()P B P B A P A -≥ 【分析】通常常用逆推法，若不等式成立，则()(|)()(),P A P B A P A P B -≥即()()1().()()() 1.() 1.P AB P A P B P A P B P AB P A B -+⇒+-⇒ ≥≤≤ 【证】因为()1P A B ≤，即()()() 1.P A P B P AB +-≤()()()(|)1P A P B P A P B A ⇒+-≤ ()(|)()[1()]P A P B A P A P B ⇒--≥ ()(|)()()P A P B A P A P B ⇒-≥因为()0P A >，所以()(|)1()P B P B A P A -≥.【例1.27】某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？【解】设A={活到20岁以上}，B={活到25岁以上}，显然A ，B 之间有“先后”关系，即A先发生，B 后发生，故该问题属于条件概率(|)P B A .因为()0.8()0.4P A P B ==，，且,,()()0.4.B A AB B P AB P B ⊂===所以()0.41(|).()0.82P AB P B A P A ===【例1.30】设某公司有7个顾问，每个顾问提供正确意见的百分比为0.6，现为某事可行与否个别征求意见，并按多数人的意见作出决策，试求作出正确决策的概率.【分析】作出正确决策是指某事实际上可行且作出可行决策或某事实际上不可行且作出不可行决策，故所求概率为两个乘积事件的和的概率，而在求积事件概率时通常转化为条件概率，则利用乘法公式.【解】设A 表示“某事实际上可行”，B 表示“多数顾问说可行”，则所求概率为()()()()(|)()(|).P AB AB P AB P AB P A P B A P A P B A +=+=+而7774(|)(|)(0.6)(0.4)0.7102ii i i P B A P B A C -===∑≈，故()[()()](|)0.7102.P AB AB P A P A P B A +=+≈【例1.31】三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，第二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球，现先任取一箱，再从该箱中任取一球，试求：（1）取出的球是白球的概率.（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率.【分析】本题的试验过程是分两个阶段进行的，即先取箱子，然后取球，并且第一阶段的结果，即取哪一个箱子不知道.（1）中是求第二阶段结果发生的概率，于是可用全概率公式计算；（2）中是第二阶段结果已知，追究此结果由第一阶段哪一个结果所引起的概率，故用贝叶斯公式计算.【解】设A i 表示“取出第i 个箱子”，i =1,2,3，B 表示“取出白球”.于是1231()()(),3P A P A P A === 123135(|),(|),(|)568P B A P B A P B A ===，(1) 由全概率公式得 3153()(|)().120i i i P B P B A P A ===∑ (2) 由贝叶斯公式得 222(|)()20(|).()53P B A P A P A B P B ==【例1.34】设一个口袋中有6个求，令123,,A A A 依次表示这6个求分别为4红，2白；3红，3白；2红，4白.设验前概率为123111(),(),().263P A P A P A ===现从这口袋中任取一球，得到白球，求相应的验后概率？【解】令B={任取一球为白球}.由题设123234(|),(|),(|).666P B A P B A P B A ===由Bayes 公式有11111112233()(|)(|)()()(|)()(|)( )(|)()(|)122612131426663 6 .167P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅+===⋅同理可得2338,.1(|)(1|77)P A B P A B ==【例1.35】有两个盒子，第一个盒子中装有2个红球，1个黑球，第二盒中装有2个红球，2个黑球，现从这两盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问 （1） 这个球是红球的概率；（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率.【解】（1）令A={取得一个红球}，B i ={从第i 个盒子取出一个红球}，i =1,2. 于是1212221111221212221()=(|) 1.3432211()=(|).34321211()=(|).3462121()=(|)0.346P B B P A B B P B B P A B B P B B P A B B P B B P A B B ⋅==⋅⋅==⋅⋅==⋅⋅==⋅，，，，由全概公式有2211121211221212()(|)()(|)()(|)()7(|)( ).12P A P A B B P B B P A B B P B B P A B B P B B P A B B P B B =+++=(2)22112112111112222(|)()(|)()6 (|)( .()|)(|7)(|)P A B B P P B A P B B B B A P B B A P B B A B B B P A B A B B P P +++====○注：本题中的完备事件组为21121212,,,B B B B B B B B ，故在求1(|)P B A 时应先转化为完备事件组中的事件的条件概率2121(|)P B B B B A +,再按Bayes 公式进行计算.【例1.37】在伯努利试验中，若A 出现的概率为p ，求在出现m 次A 之前出现k 次A 的概率.【分析】事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”等价于事件“在前k+m-1次试验中出现k 次A ，m-1次A ，且第m+k 次出现A ”.【解】由上面分析即得所求概率为111(1)(1)(1).k k m k m kk mk m P C p p p Cp p -+-+-=-⋅--=【例1.38】一本500页的书，共有100个错字，每个错字等可能地出现在每一页上，按照泊松定理，在给定的一页上至少有2个错字的概率为 【 】（A ）1.（B ）151e-- .（C ）251e-- .（D ）1155115e e ----.【分析】本题的关键是如何建立其概型，由题意，每个错字出现在某页上的概率均为1500，100个错字就可看成做100次伯努利试验，于是问题就迎刃而解了.【解】设A 表示“某页上至少有2个错字”，于是有11110010001009595 1()(1) ()1()1150050011150050050011()51(1)100(1)ii ii P A P A e C e -=--=--=----⨯⨯=--≈-∑由泊松定理所以（D ）为答案.○注：1o 泊松定理：设随机变量X n 服从二项分布B （n ，p n ），（n =1,2，…）如果lim n n np λ→∞=（λ为正常数），则有lim ()(0,1,2,).!kn n P X k k k λ→∞===…2o 也就是当n 很大，p 很小时，二项分布B （n ，p ）近似于泊松分布p （λ），其中λ=np （一般当n >10，p <0.1时可用该定理）.【例1.39】假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可直接出厂；以概率0.30需进一步调式，经调式后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n （n ≥2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：（1）全部能出厂的概率α；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率β；（3）其中至少有两件不能出厂的概率θ.【解】（1）对于新生产的每台仪器，A 表示“仪器需进一步调试”，B 表示“仪器能出厂”，则A 表示“仪器能直接出厂”，AB 表示“仪器需进一步调试且能出厂”，于是,()0.30(|)0.80B A AB P A P B A =+==，，()()(|)0.300.800.24P AB P A P B A ==⨯=，()()()()0.700.240.94.P B P A AB P A P AB =+=+=+=设X 为所生产的的n 台仪器中能出厂的台数，则X 作为n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，X 服从参数p =0.94的n 重伯努利概型，故0={}(0.94)(10.94)(0.94).nn n n P X n C α==-=（2）222{2}(0.94)(0.06).n n P X n C β-==-=（3）{2}1{1}{}P X n P X n P X n θ=-=-=-=-=≤ 110.940.060.94.n n n -=-⨯⨯-【例1.43】假设某段时间内来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求这段时间内，百货公司售出k 台电视机的概率.（设每个顾客至多买一台）【解】设X 表示售出电视机的台数，Y 表示来到百货公司的顾客数，则(|)(1),,1, 0,1,,1,0,k k i k i P X k Y i p p i k k i C k -===-=+=-{故由全概率公式有0(1)! !()! ()(|)()(1)!()[(1)](1)!!()!()().!!ik ki kii i kik i k k i k i kk k p ki k P X k P X k Y i P Y i C p p e i p p p p i k i e e i k i k p p e k k e e k λλλλλλλλλλλλ∞∞--==-∞---=---∞===-===---=-==-=∑∑∑∑○注：（1）本题说明百货公司所售出的电视机的台数仍服从Poisson 分布，这就是Poisson 分布在随机条件下的不变性.（2）本题说明全概公式中条件事件数，即引发结果的“原因”数可以为可列个，且条件概率(|)P X k Y i ==为Bernoulli 概型中的概率.。
历年考研数学概率统计部份试题分析和详解
2016年一 选择题1随机实验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将实验E 独立重复做2次，X 表示2次实验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次实验中结果2A 发生的次数，那么X 与Y 的相关系数为（ ） 【解析】11(2,),(2,)33XB YB24,39EX EY DX DY ====，211(1,1)9EXY P X Y =⋅⋅=== 因此12XY ρ==-2设,A B 为随机事件，0()1,0()1,P A P B <<<<若()1P A B =那么下面正确的选项是（ ）（A ）()1P B A = （B ）()0P A B = （C ）()1P A B += （D ）()1P B A = 【答案】（A ）【解析】依照条件得()()P AB P B =()()1()()1()1()1()P AB P A B P A B P B A P A P A P A +-+====--3设随机变量,X Y 独立，且(1,2),(1,4)X N Y，那么()D XY 为（A ）6（B ）8 （C ）14 （D ）15 【答案】（C ）【解析】因为,X Y 独立，则22222()()()()D XY E XY EXY EX EY EXEY =-=-4 设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，那么（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 【答案】B【解析】2{}{}X P X P μμσσσ-≤+=≤因此概率随着σ的增大而增大。
二 填空题4设12,,...,n x x x 为来自整体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，那么μ的置信度为的双侧置信区间为______. 【答案】()8.10,2.8【解析】0.0250.0250.0250.025{}{}0.95x uP u u P x u u x σ--<<=-<<=因为0.02510.8x +=0.025 1.3,=因此置信下限0.0258.2x u -=.5设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，那么取球次数恰为4的概率为 【答案】29【解析】221331112()23339P A C C ⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭ 三、解答题6设二维随机变量(,)X Y 在区域(){2,01,D x y x xy =<<<<上服从均匀散布，令1,0,X YU X Y ≤⎧=⎨>⎩（I ）写出(,)X Y 的概率密度；（II ）问U 与X 是不是彼此独立？并说明理由； （III ）求Z U X =+的散布函数()F z . 【答案】（I ）()23,01,,0,x x y f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他（II ）U 与X 不独立，因为1111,2222P U X P U P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭； （III ）Z 的散布函数()()233220,03,1213211,12221,2z z z z z F Z z z z z <⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪+---≤<⎪⎪≥⎩0 【解析】（1）区域D 的面积31)()(210=-=⎰x x D s ，因为),(y x f 服从区域D 上的均匀散布，因此23(,)0x y f x y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）X 与U 不独立. 因为11111,==0,=,222212P U X P U X P X Y X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≤>≤=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 1111,2222P U P X ⎧⎫⎧⎫≤=≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因此1111,2222P U X P U P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,故X 与U 不独立。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，记p=P{X≤μ+σ2}，则A．p随着μ的增加而增加．B．p随着σ的增加而增加．C．p随着μ的增加而减少．D．p随着σ的增加而减少．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计2．(97年)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是A．8B．16C．28D．44正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(00年)设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X—Y不相关的充分必要条件为A．E(X)=E(Y)B．E(X2)一[E(X)]2=E(Y2)一[E(Y)]2C．E(X2)=E(Y2)D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计4．(01年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1B．0C．D．1正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计5．(04年)设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=，则A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计6．(07年)设随机变N(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX Y(x|y)为A．fX(x)．B．fY(y)．C．fX(x)fY(y)．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计7．(08年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A．P{Y=一2X—1}=1B．P{Y=2X一1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(09年)设随机变量X的分布函数为F(x)=0．3φ(x)+其中φ(x)为标准正态分布的分布函数，则EX=A．0．B．0．3．C．0．7．D．1．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(11年)设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{X，Y)，V=min{X，Y)，则E(UV)=A．EU.EV．B．EX.EY．C．EU.EY．D．EX.EV．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(87年)已知连续型随机变量X的概率密度为则EX=______，DX=________．正确答案：1；涉及知识点：概率论与数理统计11．(90年)已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z=3X 一2，则EZ=______．正确答案：4．涉及知识点：概率论与数理统计12．(91年)设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布，且P{2＜X＜4}=0．3，则P{X＜0}=_______．正确答案：0．2．涉及知识点：概率论与数理统计13．(92年)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=__________．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．(95年)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则E(X2)=_______正确答案：18．4．涉及知识点：概率论与数理统计15．(96年)设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，)的随机变量，则E(|ξ-η|)=________正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计16．(04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则=_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计18．(10年)设随机变量X的概率分布为P{X=k}=k=0，1，2，…，则EX2=_________．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计19．(11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．正确答案：μ3+μσ2．涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学概率论练习及解答
解题步骤：①正确理解题意 ②分析考核点（重点，涉及） ③适当选择方法 ④作题格式一、概率论部分1.“几何概型”问题例1 在长l 的线段AB 上任意投掷两个质点M 和N ，则点A 离点M 比离点N 近的概率为( )A ．81 B ．41 C ．21D ．1解 事件A ＝{点A 离点M 比离点N 近}，并且设|AM |＝x ，|AN |＝y ，则0≤x ≤l ，0≤y ≤l ，因此Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤l ，0≤y ≤l }， A ＝{(x ，y )|0≤x ≤y ≤l }，⋅==Ω=2121)()()(22l lL A L A P 故选择C .例2 设平面区域D 是由x ＝1，y ＝0，y ＝x 所围成，今向D 内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的区域D 1内的概率．解 分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D 1的概率．根据几何概型，有11()123()1()32L A P A L Ω-===⋅第二步：设X ＝{落入D 1内的点数}，有),31,10(~B X 于是P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1).)32)(31()32(1911010C --=例3 设随机变量X 和Y 的联合分布在正方形G ＝{(x ，y )：1≤x ≤3，1≤y ≤3}上均匀分布，试求随机变量U ＝|X －Y |的概率密度p (u).解 由条件知X 和Y 的联合密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,0,31,31,41),(其他若y x y x f以F (u )＝P (U ≤u )(－∞＜u ＜∞)表示随机变量U 的分布函数.显然，当u ≤0时，F (u )＝0；当u ≥2时，F (u )＝1. 设0＜u ＜2，则{||}1()(,)d d d d 4x y ux y u GF u f x y x y x y -≤-≤==⎰⎰⎰⎰ ,)2(411])2(4[4122u u --=--= 于是，随机变量的密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,20),2(21)(其他若u u u p例4 在长为l 的线段上，任意选取两点M 和N ，求E |M －N |，D |M －N|解 令Z ＝|M －N |，先求p (z )F (z )＝P (Z ≤z )＝P (|M －N |≤z )＝222)(l z l l --， p (z )＝F ′(z )再求E (Z )和D (Z ).例5（1） 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则 P {max {X ，Y }≤1}＝______.答案是：91. 分析 本题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计算问题.由题设，可知(X ，Y )～U (D )，其中D ＝{(x ，y )|0≤x ≤3，0≤y ≤3}. 解法1P {max (X ，Y )≤1}＝P (X ≤1，Y ≤1)＝P (X ≤1)·P (Y ≤1)⋅==⎰⎰91)d 31()d 31(1010y x 解法2 由几何概型可知.911}1,1{}1),{max(==≤≤=≤D S Y X P Y X P（2） 在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为____. 答案是：43. 分析 本题主要考查“二维均匀分布或几何概型”.解 设随机取到的两个数为X 与Y ，则(X ，Y )服从正方形区域上的均匀分布.一方面我们可以利用二重积分计算⎰⎰=<-Dy x f Y X p .d ),()21|(|σ另一方面我们也可以根据几何概型来计算，如图，即⋅=⨯⨯⨯-Ω=<-=43121212121)()()21|(|)(L A L Y X P A P 2.“图解法”问题例1 设事件A 、B 、C 满足P (B )＝2P (A )，P (C )＝3P (A )，并且P (AB )＝P (BC )，则P (A )的取值范围是( )A ．]1,0[B ．]21,0[C ．]31,0[ D ．]41,0[解 由于A ⊃AB ，于是有x ＝P (A )≥P (AB )＝y ＝P (BC )利用加法公式，有1≥P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )－P (BC )＝3x ＋2x －y ≥3x ＋2x －x ＝4x ≥0 即0≤4x ≤1 ⇒0≤x ≤41. 故选择D .例2 设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为41，仅有B 发生的概率为41，则P (A )＝_______.解 ()()P A P B =1()()()()[1()]()[1()].4P AB P A P B P A P B P A P A ==-=-=所以 1()2P A =例3 设X ～N (2，σ2)，并且P (2＜X ＜4)＝0.3，则P (X ＜0)＝______.例4 设随机变量X 服从正态分布N (0，1)，对给定的α(0＜α＜1)，数αu 满足P {X ＞αu }＝α.若P {|X |＜x }＝α，则x 等于(A )2αu (B )21α-u(C )21αu - (D )u 1－α解 由题设，可知u α满足P (X ＞u α)＝α.可见，若要P (|X |＜x )＝α， 即P (|X |≥x )＝1－α， 而P (X ＞x )＝21α-，因此⋅=-21αu x 故选择C .3.“事件独立性”问题①定义相互独立()()(),()()(),()()(),()()()(),P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C ⎧=⎫⎪⎪=⎪⎬⎨⎪=⎭⎪⎪=⎩两两独立②等价定义A. 两两独立+A BA B AB+-与C 独立（三者之一）B. ()()()P AB P A P B = + ()0P C =或1例 设事件A 、B 、C 满足P (AB )＝P (A )P (B )，并且P (C )＝[P (C )]2，则A 、B 、C ( ) A ．一定不是两两独立； B ．不一定是两两独立； C ．一定是相互独立； D ．一定不是相互独立. 解 由P (C )＝[P (C )]2，我们有P (C )＝0或1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒⎩⎨⎧==)()()()()()()()()()()()()(10)()()()(C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P C P B P A P AB P 或 故选择C .证明：(1)对于任意的A ，由于AC ⊂C ，P (AC )≤P (C )＝0 P (AC )＝0＝P (A )P (C )，即A 与C 相互独立 (2)(C ＋C )A ＝A ，P (C A )＝P (A )－P (AC )＝P (A )－P (A )P (C )＝P (A )(1－P (C ))＝P (A )P (C ) 结论：零(或1)概率事件与任何事件都是相互独立的.4.“全概公式”问题例1 袋中装有n 只球，每次从中随意取出一球，并放入一个白球，如此交换共进行n 次.已知袋中白球数的数学期望为a ，那么第n ＋1次从袋中任取一球为白球的概率是______.解 依题意袋中白球数X 是个随机变量，X 可取1，2，…，n ，且∑=nk 1kP {X ＝k }＝a .若记B ＝“第n ＋1次从袋中任取一球为白球”，A k “第n 次交换后袋中有k 个白球”(k ＝1，2，…，n ).由全概率公式，得n k k X P A B P A P B P nk k k n k }{)|()()(11===∑∑==.){11n ak X kP n n k ===∑=例2（1） 有两个箱子，第一个箱子中有3个白球2个红球，第二个箱子中有4个白球4个红球，先从第一箱当中随机取一个球放入第二个箱子当中.再从第二箱当中取1个球，问它是白球的概率是多少？解 i A 表示第i 次从第i 个箱子取出的白球.53)(1=A P 52)(1=A P 95)|(12=A A P 94)|(12=A A P4523)|()()|()()(1211212=+=A A P A P A A P A P A P . （2）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ， 而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .分析 离散型随机变量X 和一个连续型随机变量Y 的和是不能确定的，但是本题已知随机变量X 与Y 独立，并且X 只有两个正概率点，这时可以利用全概率公式求U X Y =+的概率密度解 为求出概率密度()g u ，一般应先求分布函数(){}{}G u P U u P X Y u =≤=+≤， 先验概率：()10.3P X ==，()20.7P X == 所以U X Y =+的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+=()()1{1}2{2}P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3{1}0.7{2}P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤= 0.3{11}0.7{22}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=. 由于X 和Y 相互独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-又因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-例3 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则{2}P Y == ___________ .解 由全概率公式：}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P X 表示从数1,2,3,4中任取一个数，故X 是等可能取到1,2,3,4。
概率论考研题目及答案解析
概率论考研题目及答案解析题目：设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，求 \( X \) 的期望值和方差，并证明 \( X \) 的分布律。
答案解析：首先，我们知道泊松分布的概率质量函数（probability mass function, PMF）为：\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]其中 \( k = 0, 1, 2, \ldots \)。
求期望值：期望值 \( E(X) \) 定义为：\[ E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X = k) \]将泊松分布的 PMF 代入上式，得到：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^j}{j!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \]\[ = \lambda \]求方差：方差 \( Var(X) \) 定义为 \( E(X^2) \) 减去 \( (E(X))^2 \)：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]计算 \( E(X^2) \)：\[ E(X^2) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \cdot P(X = k) \]\[ = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]\[ = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2} k^2}{(k-2)!} \]\[ = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^j j^2}{j!} \]\[ = \lambda^2 \left( 1 + \lambda \right) \]代入 \( E(X) \) 的结果，得到方差：\[ Var(X) = \lambda^2 (1 + \lambda) - \lambda^2 \]\[ = \lambda \]证明泊松分布律：我们已经知道 \( E(X) = \lambda \) 和 \( Var(X) = \lambda \)。
(完整版)概率练习题(含答案)
概率练习题（含答案）1解答题有两颗正四周体的玩具，其四个面上分别标有数字1， 2， 3 ， 4 ，下边做扔掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x， y）表示结果，此中x 表示第 1 颗正四周体玩具出现的点数，y 表示第 2 颗正四周体玩具出现的点数.试写出：（1）试验的基本领件；（2）事件“出现点数之和大于3 ”；（3）事件“出现点数相等” .答案（1）这个试验的基本领件为：（1，1），（ 1 ，2），（ 1 ，3 ），（ 1，4 ），（2，1），（ 2 ，2），（ 2 ，3 ），（ 2，4 ），（3，1），（ 3 ，2），（ 3 ，3 ），（ 3，4 ），（4，1），（ 4 ，2），（ 4 ，3 ），（ 4，4 ）（2）事件“出现点数之和大于 3”包括以下 13 个基本领件：（1，3），（ 1 ，4），（ 2 ，2 ），（ 2，3 ），（ 2， 4 ），（ 3， 1 ），（ 3， 2），（ 3，3 ），（3，4），（ 4 ，1），（ 4 ，2 ），（ 4，3 ），（ 4， 4 ）（3）事件“出现点数相等”包括以下 4 个基本领件：（1，1），（ 2 ，2），（ 3 ，3 ），（ 4，4 ）2单项选择题“概率”的英文单词是“Probability”，假如在构成该单词的所有字母中随意拿出一个字母，则取到字母“ b ”的概率是1. A.2. B.3. C.4. D.1答案C分析剖析：先数出单词的所有字母数，再让字母“ b ”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．解答：“ Probability”中共11个字母，此中共 2 个“ b”，随意拿出一个字母，有11 种状况可能出现，取到字母“ b ”的可能性有两种，故其概率是；应选 C．评论：本题考察概率的求法：假如一个事件有n 种可能，并且这些事件的可能性同样，此中事件 A 出现m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ） =．3解答题一只口袋内装有大小同样的 5 只球，此中 3 只白球， 2 只黑球 .现从口袋中每次任取一球，每次拿出不放回，连续取两次 .问：（1）拿出的两只球都是白球的概率是多少？（2）拿出的两只球起码有一个白球的概率是多少？答案（1 ）拿出的两只球都是白球的概率为3/10 ；（2 ）以拿出的两只球中起码有一个白球的概率为9/10 。
概率考研真题
概率考研真题一、简答题1. 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
它用来表示某个事件发生的可能性大小，通常以0到1之间的数值表示，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
2. 什么是条件概率？条件概率是指在一定条件下，某个事件发生的概率。
如果事件B已经发生，那么在B发生的前提下，事件A发生的概率就是条件概率。
3. 什么是独立事件？独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，一个事件的发生与否不会对其他事件的发生概率产生影响。
4. 什么是贝叶斯公式？贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，用于计算在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
公式表达为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
二、计算题1. 有一个标准52张扑克牌的扑克牌组合，请计算从中随机抽取5张牌，得到一个顺子（即五张牌的大小连续）的概率。
解：首先计算顺子可能的情况数。
顺子包含10种可能的组合，即A2345、23456、34567、45678、56789、678910、78910J、8910JQ、910JQK、10JQKA。
然后计算从52张扑克牌中随机抽取5张的组合数。
由于每张扑克牌只能抽取一次，故组合数为C(52, 5)。
所以，顺子的概率为10 / C(52, 5) ≈ 0.0039。
2. 甲、乙两个商店在同一天同时举行促销活动，吸引了大量顾客。
调查显示，70%的顾客参加了甲店的促销活动，60%的顾客参加了乙店的促销活动，50%的顾客同时参加了两家店的促销活动。
请计算一个顾客是通过甲店购物的概率。
解：设事件A表示顾客通过甲店购物，事件B表示顾客通过乙店购物。
根据题意，已知P(A∩B) = 0.5，P(A∪B) = 0.7，P(B) = 0.6，我们的目标是计算P(A)。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率论考研题目及答案
概率论考研题目及答案题目一：概率论基本概念问题：某工厂生产的零件，合格率为0.95。
求：1. 随机抽取一个零件，它是合格品的概率。
2. 随机抽取两个零件，至少有一个是合格品的概率。
答案：1. 由于合格率为0.95，随机抽取一个零件是合格品的概率即为合格率，即 P(合格) = 0.95。
2. 抽取两个零件至少有一个是合格品的概率可以通过计算两个零件都不合格的概率，然后用1减去这个概率来得到。
两个零件都不合格的概率是 (1 - 0.95) * (1 - 0.95) = 0.0025。
因此，至少有一个是合格品的概率为 1 - 0.0025 = 0.9975。
题目二：条件概率问题：某地区有两家医院，A医院的产妇数量占70%，B医院占30%。
在A医院出生的婴儿中，男孩的比例是60%，在B医院出生的婴儿中，男孩的比例是70%。
现在随机选择了一个男孩，求这个男孩是在A医院出生的概率。
答案：设事件A为在A医院出生，事件B为在B医院出生，事件M为是男孩。
根据题意，我们有：- P(A) = 0.7- P(B) = 0.3- P(M|A) = 0.6- P(M|B) = 0.7使用全概率公式，我们可以计算出P(M)：\[ P(M) = P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) = 0.7 \times 0.6 + 0.3\times 0.7 = 0.63 \]现在我们要求的是P(A|M)，即在已知是男孩的条件下，这个男孩是在A医院出生的概率。
使用贝叶斯公式：\[ P(A|M) = \frac{P(M|A)P(A)}{P(M)} = \frac{0.6 \times0.7}{0.63} \approx 0.6985 \]题目三：随机变量及其分布问题：一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布。
求：1. X的期望值和方差。
2. X=k的概率，其中k是一个给定的正整数。
答案：1. 泊松分布的期望值（E[X]）和方差（Var(X)）都等于参数λ。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y＝．则A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n－1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：由X～t(n)，得X2～F(1，n)，故Y＝～F(n，1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计2．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(0．1)的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则A．n～N(0，1)B．nS2～χ2(n)C．～t(n－1)D．～F(1，n－1)正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．设随机变量X～t(n)，Y～F(1．n)，给定α(0＜α＜0．5)．常数c满足P{X＞c}＝α．则P{Y＞c2}＝A．α．B．1－α．C．2α．D．1－2α．正确答案：C解析：由题意，X2与Y同分布，即｜X｜与同分布，且由0＜α＜0．5，可见c＞0，故P(Y＞c2)＝P(＞c)＝P(｜X｜＞c) ＝P(X＞c)＋P(X＜－c)＝α＋α＝2α．知识模块：概率论与数理统计4．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是A．(Xi－μ)2服从χ2分布．B．2(Xn－X1)2服从χ2分布．C．服从χ2分布．D．n(－μ)2服从χ2分布．正确答案：B解析：由题意，Xn－X1～N(0，2)，所以～N(0，1) 得(Xn－X1)2～χ(1)，可见选项B结论“不正确”，就选B．知识模块：概率论与数理统计5．设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，χ1，χ2，…，χn是来自总体X 的简单随机样本，据此样本检验假设：H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0，则A．如果在检验水平α＝0．05下拒绝H0，那么在检验水平α＝0．01下必拒绝H0．B．如果在检验水平α＝0．05下拒绝H0，那么在检验水平α＝0．01下必接受H0．C．如果在检验水平α＝0．05下接受H0，那么在检验水平α＝0．01下必拒绝H0．D．如果在检验水平α＝0．05下接受H0，那么在检验水平α＝0．01下必接受H0．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计填空题6．设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{｜X－E(X)｜≥2}≤_______．正确答案：解析：切比雪夫不等式为：P{｜X－E(X)｜≥ε2}≤．故P{｜X－E(X)｜≥2}≤．知识模块：概率论与数理统计7．已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则μ的置信度为0．95的置信区间是_______．(注：标准正态分布函数值Ф(1．96)＝0．975，Ф(1．645)＝0．95)正确答案：(39．51，40．49) 涉及知识点：概率论与数理统计8．设X1，X2，…，Xm为来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差．若＋kS2为np2的无偏估计量，则k＝_______．正确答案：－1解析：设总体为X，则知X～B(n，p)，EX＝np，DX＝np(1－p)．∴E ＝np，ES2＝np(1－p) 由题意得np2＝E(＋kS2)＝E＋kES2＝np＋knp(1－p) 故得k＝－1．知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．若cXi2是θ2的无偏估计，则c＝_______．正确答案：解析：由题意得：θ2＝＝ncE(X12) ＝nc∫－∞＋∞χ2f(χ；θ)dχ＝故c＝．知识模块：概率论与数理统计10．设χ1，χ2，…，χn为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值＝9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为________．正确答案：(8．2，10．8) 涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率与数理统计历年考研试题及解答(数一、数三、数四).
概率与数理统计历届真题第一章 随机事件和概率数学一：1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。
2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
3（88，2分）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为。
4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为。
5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。
6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。
7（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）=。
8（91，3分）随机地向半圆0<y <22x ax -(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。
则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 。
9（92，3分）已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=161)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 。
10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。
概率答案解析归纳.doc
第一章习题1.1（P6）1、写出下列随机试验的样本空间（1）同时抛掷三枚骰子，记录三颗骰子点数之和{3,4,5,6,7,….16,17,18}（2）单位圆内任取一点，记录其坐标{(x,y)|x²+y²＜1}（3）生产新产品直至有10件合格品为止，记录生产的总件数{x|x≥10且x∈N}3、一名射手连续向某个目标射击三次，事件A i表示第i次射击时击中目标（i=1,2,3）。
试用文字叙述下列事件：（1）A1∪A2=“前两次至少有一次击中目标”;（2）A=“第二次未击中目标”;2（3）A1A2A3=“前三次均击中目标”;（4）A1⋃A2⋃A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;（5）A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”;（6）A32A=“第三次击中但第二次未击中”;（7）A A=“前两次均未击中”;12（8）12A A=“前两次均未击中”;（9）(A1A2)⋃(A2A3)⋃(A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”. 4、设A,B,C表示三个事件，利用A,B,C表示下列事件。
（1）A发生，B,C都不发生ABC（2）A,B 发生，C 不发生ABC（3）三个事件，A,B,C 均发生ABC（4）三个事件，A,B,C 至少有一个发生A ∪B ∪C（5）三个事件，A,B,C 都不发生ABC（6）三个事件中不多于一个事件发生AB BC AC（7）三个事件中不多于两个事件发生AB C（8）三个事件中至少有两个发生AB+AC+BC习题1.2（P 11）6、一口袋中有5个白球，3个黑球。
求从中任取两只球为颜色不同的球的概率。
设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/28C C C7、一批产品由37件正品，3件次品组成，从中任取3件，求(1)3件中恰有意见次品的概率组成实验的样本点总数为340C ,组成事件(1)所包含的样本点数为12337C C ,所以P 1=12337340C C C ⋅ ≈0.2022 (2)3件全为次品的概率组成事件(2)所包含的样本点数为33C ,所以P 2=33340C C ≈0.0001 (3)3件全为正品的概率组成事件(3)所包含的样本点数为237C ，所以P 3=237340C C ≈0.7864 （4）3件中至少有一件次品的概率事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ，所以P 4=1-P(A)=1-337340C C ≈0.2136（5）3件中至少有两件次品的概率组成事件(5)所包含的样本点数为2133373C C C ⋅+，所以P 5=2133373340C C C C ⋅+ ≈0.01134 8、从0至9这10个数字钟，不重复地任取4个，求（1）能组成一个4位奇数的概率； （2）能组成一个4位偶数的概率。
考研数学一(概率与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为( )A．与σ及n都有关B．与σ及n都无关C．与σ无关，与n有关D．与σ有关，与n无关正确答案：C解析：由题设，(0，1)，于是所以比值与σ无关，与n有关．知识模块：概率与数理统计2．设X1，X2，…，Xn(n＞1)是来自总体N(0，1)的简单随机样本，记，则( )A．B．C．D．正确答案：C解析：，Q2～γ2(n)．因此本题选C．知识模块：概率与数理统计3．设X1，X2，…，X8是来自总体N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从( )A．χ2(2)B．χ2(3)C．t(2)D．t(3)正确答案：C解析：知识模块：概率与数理统计4．设X1，X2，…，Xn是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，则统计量服从( )A．Y～χ2(n一1)B．Y～t(n一1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n一1)正确答案：B解析：由总体X～N(0，1)知，且它们相互独立，所以因此本题选B．知识模块：概率与数理统计5．设随机变量X～F(n，n)，记p1=P{X≥1)，p2=P{X≤1}，则( ) A．p1＜p2B．p1＞p2C．p1=p2D．p1，p2大小无法比较正确答案：C解析：由X～F(n，n)知，所以因此本题选C．知识模块：概率与数理统计6．设X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分别是来自正态总体N(-1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S12，S22分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因此本题选D．知识模块：概率与数理统计7．设总体X~N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)相互独立．分别从X和Y中各抽取容量为9和10的简单随机样本，记它们的方差为SY2和SY2，并记则这四个统计量SX2，SY2，S122，SXY2中，方差最小者是( )A．SX2B．SY2C．S122D．SXY2正确答案：D解析：所以，方差最小者为SXY2．因此本题选D．知识模块：概率与数理统计8．设x1，x2，…，xn是来自总体X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：在μ未知时，σ2的最大似然估计值为，因此本题选B．知识模块：概率与数理统计9．设总体X~P(λ)(λ为未知参数)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值与方差分别为是λ的无偏估计量，常数a应为( ) A．-1B．0C．D．1正确答案：C解析：要使是λ的无偏估计量，应有，．因此本题选C．知识模块：概率与数理统计填空题10．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y，V=一X 的协方差Cov([U，V)为_________．正确答案：解析：知识模块：概率与数理统计11．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量Z=X—Y的方差DZ 为_________．正确答案：解析：知识模块：概率与数理统计12．设随机变量X的数学期望．EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估计得P{｜X一75｜≥k}≤0．05，则k=________．正确答案：10解析：即K=10．知识模块：概率与数理统计13．设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为λ的泊松分布，则正确答案：φ(x)解析：由列维一林德伯格中心极限定理即得．知识模块：概率与数理统计14．设总体X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是来自X的简单随机样本，它的均值和方差分别为和S2，则和E(S2)分别为______．正确答案：解析：知识模块：概率与数理统计15．设总体X和y相互独立，且分别服从正态分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量的数学期望和方差分别为________．正确答案：解析：知识模块：概率与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研概率面试题目及答案
考研概率面试题目及答案题目：某工厂生产一种零件，该零件在生产过程中出现次品的概率为0.01，若生产出次品，则该次品被误检为正品的概率为0.05。
现在从这批零件中随机抽取一个进行检查，结果被检查为正品，请根据这些信息回答以下问题：1. 该零件实际上是次品的概率是多少？2. 该零件实际上是正品的概率是多少？答案：1. 要求该零件实际上是次品的概率，我们可以利用全概率公式来解决这个问题。
设事件A表示零件是次品，事件B表示零件被检查为正品。
根据题意，我们有：- P(A) = 0.01，即零件是次品的概率为0.01。
- P(B|A) = 0.05，即零件是次品但被误检为正品的概率为0.05。
由于零件如果不是次品，那么它被正确检查为正品的概率为1，我们可以计算出零件实际上是次品且被检查为正品的概率为：\( P(B|A) = P(A) \times P(B|A) = 0.01 \times 0.05 = 0.0005 \)接下来，我们需要计算零件实际上是次品的概率，即P(A|B)，根据贝叶斯定理：\( P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} \)其中，P(B)是零件被检查为正品的总概率，可以通过全概率公式计算：\( P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|\overline{A}) \times P(\overline{A}) \)其中，P(B|\overline{A})是零件如果不是次品（即是正品）被正确检查为正品的概率，这个概率是1，P(\overline{A})是零件是正品的概率，即1 - P(A) = 1 - 0.01 = 0.99。
代入计算得：\( P(B) = 0.01 \times 0.05 + 1 \times 0.99 = 0.9995 \)现在我们可以计算P(A|B)：\( P(A|B) = \frac{0.0005}{0.9995} \approx 0.0005005 \)所以，该零件实际上是次品的概率约为0.0005%。
最新文登考研数学--概率--习题及其答案
第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B511)()()()()|(2102621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1 3.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________.解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________.解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++=1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________.解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____. 解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P .P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ⋃B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ⋃B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是(A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率. 解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率. 解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率:i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求:i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i -=, 31239)|(c c B A P i i -=)()(1)()|()()(36033937132938231939330923123023123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=146.0484007056)201843533656398411()220(12==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=⨯⨯==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率.解. 球的情况: 白球 红球甲袋 n m 乙袋 N M假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)n m mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时 0)(=x X ϕ 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++= 服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 (A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y 解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是 (A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是 (A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是 (A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2(C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(mi n (1))2,(mi n ()()(y X P y XP y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(mi n (1)(=-=>-=y XP y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(mi n (1)(y y X y XP y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(mi n (1)(y y X y XP y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度.解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii.13)()1(1===A P X P1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率.解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xcdx x3162|a r c s i n 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ⎰⎰∞--=-==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x t d t dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x x ϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 =54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时 1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度. 解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅(i = 1, 2, …, n) 又设∑==ni i X X 1, 则27)()()(11nX E X E X E ni i ni i ===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______.解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 000<=>X X X , 则方差D(Y) = _______.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤-xY因为 33)0()1(20==>==⎰dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P3131)0()1(01==<=-=⎰-dx X P Y P于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=-=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010, 则∑==31i i X X 服从_______分布, E(X) =_______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______. 解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0.8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为: ⎩⎨⎧=02)(xx ϕ 其它10≤≤x , ⎩⎨⎧=--0)()5(y e y ϕ 其它5>y ,则E(XY) = ________. 解. 322)()(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞-dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______.解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-==4639441262=⨯+⨯+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y, 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(22=-=Y E X E UV E .所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为 (A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=--=--++=++=p p p p p p p x p x p x X E 7.0221=+p p9.5)1(94)(21213232221212=--++=++=p p p p p x p x p x X E 1.35821=+p p解得 p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X . X 的分布律为157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y ≥ μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2 (C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2 解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ-=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) =)()()])([(22Y E X E Y X Y X E -=-+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E - 所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑∑∞=∞=-∞=+ 2222)11()1()1(a aa a a a a f =+-+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+-+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E ∑∑∑∞=∞=+∞=+-+++=+-++=11111)1()1(11)1()1()1(k kkk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=-∞=23)1(2)11(12)1(a a a a a aa a f +=+-+=+,所以2222)1(211)(a a a a a aX E +=-+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=-+=-=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2x x πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===⎰⎰-∞+∞-πππϕxdx xdx x x X E⎰-=-=222222c o s 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 1222202-=+=⎰πππdx x x3. 设随机变量X 和求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 25.015.0)1(40.0145.002)(sin =⨯-+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X的概率分布, ii.⎪⎭⎫⎝⎛+XE 11 解. 假设X P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =2P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321 P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =321 9667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+-04),()(22y xxye y x ϕ其它0,0>>y x求)(22Y X E +. 解. ⎰⎰⎰⎰>>+-∞+∞-∞+∞-+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=⎰⎰∞+-rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ 其它l x ≤≤0, Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0(X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ 其它l y x ≤≤,0.又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤ x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l }⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=∞+∞-∞+∞-21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ ⎰⎰⎰⎰-+-=l y lxdy dx x y l dx dy y x l 02002])([1])([13212122022ldy y l dx x ll l=+=⎰⎰ 6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =-=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =-=-=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<-∞=--x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+∞--dt te t ||21+μμμ==⎰⎰∞+-∞+∞--0||21dt e dt e tt⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+-02dt e t t +20022μμμ+==⎰⎰∞+-∞+-dt e dt e t t所以 22)]([)()(2222=-+=-=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x 其它122≤+y x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).解. 01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41s i n 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=-=X E X E X D , 41)]([)()(22=-=Y E Y E Y D 0)()()()()(=-=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少?解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8)33.0)8.0()0(5===X P , 41.0)8.0(2.05)1(4=⨯⨯==X P20.0)8.0(2.0)2(3225=⨯⨯==c X P , 06.020.041.033.01)3(=---=≥X P又设Y 为该企业的利润, Y 的分布律为Y 10 5 0 －2p 0.33 0.41 0.20 0.06E(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度)(t f 、数学期望和方差. 解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=-05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y.X 、Y 的联合密度: ⎩⎨⎧≥≥=+-,00,0,25),()(5y x e y x f y x关于T 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)(当 0<t 时⎰⎰⎰⎰≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)(当 0≥t 时⎰⎰⎰⎰≥≥≤++-≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy e dxdy y x f t Y X P t T P t F t t t x t y x x t y t x te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525----------=-==⎰⎰⎰所以 ⎩⎨⎧<≥--=--0,00,51)(55t t te e t F t t T 所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==-0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ⎰⎰∞+∞-∞+-===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以⎰⎰∞+∞-∞+-=-=-=-=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT第四章 大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________.解. =⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1－011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X －Y| ≥ 6) ≤_______.解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XY ρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理: )(2198.002.040002.0400lim 22x dt ex X P xt n Φ==⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯-⎰∞--∞→π所以 ⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯--=≤-=≥98.002.0400798.002.040081)1(1)2(X P X P X P≈ 1－Φ(－2.5) = Φ(2.5) = 0.9938.2. 设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解. 假设X 表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X ～B(10000, 0.7) 由棣莫佛－拉普拉斯定理:)(217.03.010*******lim 22x dt ex X P xt n Φ==⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯-⎰∞--∞→π所以 )72006800(≤≤X P⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯-≤⨯⨯-=7.03.010000700072007.03.010********.03.01000070006800X P。
考研概率论试题及答案
考研概率论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1)的值是：A. 0.1587B. 0.8413C. 0.3446D. 0.5000答案：B2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P(X=1)=0.2，则λ的值是：A. 0.5B. 1C. 2D. 5答案：A3. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，则E(X)的值是：A. 3B. 2.1C. 2.7D. 3.3答案：B4. 设随机变量X服从均匀分布U(0,θ)，若P(X > θ/2)=1/4，则θ的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，若P(X >μ+2σ)=0.0228，则P(X < μ-2σ)=_________。
答案：0.02282. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，若n=20，p=0.4，则P(X ≥ 10)=_________。
答案：0.95123. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x;λ)=λe^(-λx)，x≥0，则E(X)=_________。
答案：1/λ4. 设随机变量X服从几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=p(1-p)^(k-1)，k=1,2,...，若p=0.3，则P(X=3)=_________。
答案：0.0243三、计算题（每题10分，共20分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P(X=2)=0.3456，求λ的值。
答案：λ=32. 设随机变量X服从参数为θ的均匀分布U(0,θ)，已知P(X >θ/3)=1/6，求θ的值。
答案：θ=3四、解答题（每题15分，共30分）1. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，已知n=30，p=0.2，求P(X ≥ 5)。
答案：P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - (C(30,0)*0.2^0*0.8^30 + C(30,1)*0.2^1*0.8^29 + C(30,2)*0.2^2*0.8^28 +C(30,3)*0.2^3*0.8^27 + C(30,4)*0.2^4*0.8^26) ≈ 0.84682. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，已知μ=50，σ=10，求P(40 < X < 60)。
考研数学一概率与数理统计-试卷12_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（概率与数理统计）-试卷12(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.若，则必有：( )SSS_SINGLE_SELA P(C)≤P(A)+P(B)-1B P(C)≥P(A)+P(B)-1C P(C)=P(AB)D P(C)=P(A∪B)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：由1≥P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，∴P(C)≥P(AB)≥P(A)+P(B)-1，可见应选(B)．2.对事件A，B，已知P(A)=1，则必有：( )SSS_SINGLE_SELA A=ΩBC A与B独立D P(B)＜P(A)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：“概率为0或1的事件与任一事件独立”，可见应选(C)．注意由“P(A)=1”推不出“A=Ω”，而有可能B=Ω呢!故另3个选项不行。
3.设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1 (x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( ) SSS_SINGLE_SELAf1 (x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度Bf1 (x)．f2(x)必为某一随机变量的概率密度CF1 (x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数DF1 (x)．F2(x)必为某一随机变量的分布函数该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由已知，∫-∞+∞ f1(x)dx=∫-∞+∞ f2(x)dx=1，故∫-∞+∞ [f1(x)+f2(x)]dx=∫-∞+∞ f1(x)dx+∫-∞+∞ f2(x)dx=2≠1，所以不选(A)，若设f1 (x)=f2(x)= 则即∫-∞+∞ f1(x)f2(x)dx有可能非1，故不选(B)．又由分布函数的性质和F1(+∞)=F2(+∞)=1，故[F1 (x)+F2(x)]=2，故不选(C)。
若令g(x)=F2(x)．F2(x)，由F1(-∞)=F2 (-∞)=0、F1(+∞)=F2(+∞)=1，可得g(-∞)=0，g(+∞)=1；又由F1(x)和F2 (x)均非降，可得g(x)非降(设x1＜x2，由0≤F1(x1)≤F1(x2 )，0≤F2(x1)≤F2(x2)，可得g(x2)≤g(x2))；再由F1(x)和F2(x)右连续(本题由于X1和X2为连续型随机变量，所以F1(x)和F2(x)是连续的)，可见g(x)也是右连续的(本题中g(x)是连续的)，故证得g(x)=F1 (x)．F2(x)是分布函数，故选(D)。
近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案
解：（1）设 B 表示先抽到的一份是女生表， A1 , A2 , A3 分别表示抽到每一个地区的报名表，
则
p
=
P(B)
=
P( A1 )P(B
|
A1
)
+
P(
A2
)P(B
|
A2
)
+
P( A3
)P(B
|
A3
)
=
1 3
×
3 10
+
1 3
×
7 15
+
1 3
×
5 25
=
29 90
；
3
（2）又设 C 表示后抽到的一份是男生表，有 q = P(B | C) = P(BC) =
p) 2
⋅
p
=
3 p 2 (1 −
p) 2
，
选择（C）．
11．（09）设事件 A 与事件 B 互不相容，则（
）
（A） P( AB) = 0 ．
（B） P( AB) = P( A)P(B) ．
（C） P( A) = 1 − P(B) ．
（D） P( A U B ) = 1 ．
2
解：因事件 A 与 B 互不相容，有 P( AB) = 0 ，则 P( AB) = P( A U B ) = 1，
（B） AB 与 A U C 独立．
（C） AB 与 AC 独立．
（D） A U B 与 A U C 独立．
解：相互独立即互不影响，只有答案（A）中的两个事件 A 与 BC 互不影响，
选择：（A）．
5． （00）在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷16(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷16(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若事件A和B同时出现的概率P(AB)=0，则( )A．A和B不相容(互斥)。
B．AB是不可能事件。
C．AB未必是不可能事件。
D．P(A)=0或P(B)=0。
正确答案：C解析：不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。
由P(AB)=0不能推出AB是不可能事件，故选C。
知识模块：概率论与数理统计2．设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B｜A)=1不等价于( )A．P(A-B)=0。
B．P(B-A)=0。
C．P(AB)=P(A)。
D．P(A∪B)=P(B)。
正确答案：B解析：P(B｜A)==P(A)，然而P(B-A)=P(B)-P(AB)，所以选项B正确。
容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上：A选项P(A-B)=P(A)-P(AB)=0P(AB)=P(A)。
C选项P(AB)=P(A)P(B｜A)=1。
D 选项P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)P(A)=P(AB)。
知识模块：概率论与数理统计3．连续抛掷一枚硬币，第k(k≤n)次正面向上在第n次抛掷时出现的概率为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：依据题意，总共抛掷n次，其中有k次出现正面，余下的为n-k次反面。
第n次必是正面向上，前n-1次中有n-k次反面，k-1次正面(如上图所示)。
根据伯努利公式，所以概率为知识模块：概率论与数理统计4．设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )A．f1(x)f2(x)。
B．2f2(x)F1(x)。
C．f1(x)F2(x)。
D．f1(x)F2(x)+f2(x)F2(x)。
正确答案：D解析：因为f1(x)与f2(x)均为连续函数，故它们的分布函数F1(x)与F2(x)也连续。
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,第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= － =2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______. 》解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B511)()()()()|(2102621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则 121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= ~假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域} πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A B 的概率分别是, , , 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P + － = 3.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .5. 某市有50住户订日报, 有65住户订晚报, 有85住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________.解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = , P(B) = , P(C) = . *所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = + － = .6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为, , , 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________.解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = , P(A 2) = , P(A 3) = ,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++=1－××=.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为, , , 则电路断路的概率是________.解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好. 、P(A) = , P(B) = , P(C) = . 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = × +×－×× = . 所以 P(电路断路) = 1－ = .8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为, , 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) （= P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c= + + + + + = .9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____. 解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P .{P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” （解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(, 所以(D)是答案.3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(AB)P(AB)≤P(A)P(B)(C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) 《=－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则 |(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设A, B 为任意二个事件, 且A B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是(A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = 时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)）(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品) 、=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率. 解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率:i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率; ;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i.P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=！iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012 v. P(免修英语男生) =10032 4． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求:i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i -=, 31239)|(c c B A P i i -=`)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=146.0484007056)201843533656398411()220(12==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=⨯⨯==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率.解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} }C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X 1) =95, 则P(Y 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 。