人教版九年级下册数学课件 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例(共30张PPT)

F
G
A
D
E
B
C
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D 作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
B
C
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平 行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
A. AC BD B. AC BD
CE DF
AE BF
C. CE DF D. AE BD
AE BF
BF AC
A
C E
B l1 D l2
F l3
平行线分线段成比例定理的推论
如图，直线l1∥l2∥ l3，由平行线分线段成比例
的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线 n 向左或向右
任意平移，这些线段
AD AE DE ，而除 DE 外，其他的线段都在 AB AC BC
△ABC 的边上，要想利用前面学
到的结论来证明三角形相似， 需要怎样做呢？
A
D
E
可以将 DE 平移到
BC 边上去
B
C
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
A
证明：
D
E
在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
m
l1
B2 l2 B3 l3 n
A1 B1
A2(B2)
A3
B3
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说 图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得
到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
B2
A1 B1 A2(B2)
A3
B3
A3
B3
归纳：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两 边的延长线），所得的对应线段成比例.
A
C. 3
D. 4
B
CE
F
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，
BC = 4 cm，EF 长
(A)
A. 1cm C. 3cm
B. 4 cm 3
D. 2cm
A EF
B
C
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，则△_A_D_E_∽△_A_B_C_，
对应边的比例式为 AD ＝ AE ＝ DE AB —A—C —BC—．
C
E
F
∴ △DEF ∽ △DAB，
∴ DE EF ，即 2 4 ， A
B
AD AB 5 AB
解得 AB = 10.
又 ∵ 四边形 ABCD 为□，
∴ CD = AB = 10.
6. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
FC
如图，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F.
∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ AD AE ，AD CF .
AB AC AB CB
∵ 四边形DFCE为平行四边形，∴ DE=FC，
∴ AD AE = DE ，∴△ADE∽△ABC. AB AC BC
平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似.
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
A
ห้องสมุดไป่ตู้
D
E
B
C
想一想：
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要
证明什么？
由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？
A
D
E
B
C
由前面的结论可得 AD AE ，需要证明的是 AB AC
如图，DE∥BC， AE 2 ，则 AD
AC 5
AB
FG∥BC，AG 2，则 AF
CG
AB
2 3
.
E
2 5；
D
A
F
G
B
C
例题 如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7，
FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
解：∵ AE AF ， BE FC
E C
O F D
3. 若 △ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm， 与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm， 那么 A′B′C′ 的最大边长是_2_4_c_m__.
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1，
则 EF 的长为
( B)
A. 1
D
B. 2
∴CD∥AB，
A
∴ CD DF . AE AF
B
D
设菱形的边长为 x cm，则CD E = AD = x cm，DF = (4－x) cm，
CF
∴ x 4 x ，解得 x = 20 . ∴菱形的边长为 20 cm.
54
9
9
成平 比行 例线
分 线 段
◑基本事实
小结
两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例
第1课时 平行线分线段成比例
平行线分线段成比例（基本事实）
A1
B1
A2
B2
A3 m
计算
A1 A2 ，B1B2 A2 A3 B2 B3
l1 l2
B3 n
l3
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
想一想：
1. 如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 (D)
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
D
E
A
B
C
B
“A ”型
C “X ”型
1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有_3__对相似
三角形.
相似具有传递性
A
B
2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似， 一组对应边的长为AB =3 cm， A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比是_4_︰__3_.
A
D
E
B
C
4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1:4，△A1B1C1 ∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的 相似比为 1:20 .
5. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3，
EF = 4，求 CD 的长．
解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3， D
A1
依然成比例.
A2
B1
l1
B2 l2
A3
B3 l3
m
n
A1 ( )
A2 A3
m
B1
l1
B2 l2
B3 l3 n
A1(B1)
A2
B2
A3
B3
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说 图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得
到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1 B1
A2 ( ) A3
∴ 7 AF ， 74
A
E
F
B
C
解得 AF = 4.
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多
少？
解：∵ AE AF ，∴ 6 5 ， AB AC 10 AC
解得 AC = 25 .
A
3
E
∴ FC = AC－AF = 25 5 10 .
F
3
3B
C
如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则 AC= 7.5 ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= 6 .
◑推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例
◑相似三角形判定的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似