2015届高考数学第一轮考点分类检测试题1

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考点10变化率与导数、导数的计算

一、选择题

1.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ9）若函数x ax x x f 1)(2++=在),21(+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ）

A.[]-1，0

B.[]-∞1，

C.[]0，3

D.[]3∞，+

【解题指南】先求出)(x f 的导函数)(x f '，利用),21(+∞∈x 时0)(≥'x f 确定a 的取值范围.

【解析】选D.2

12)(x a x x f -

+='，因为)(x f 在),21(+∞∈x 上为增函数，即当),21(+∞∈x 时，0)(≥'x f .即0122≥-+x a x ，则x x

a 212-≥，令x x x g 21)(2-=，而)(x g 在),21(+∞∈x 上为减函数，所以3)(max =x g ，故3≥a . 二、填空题

2.（2013·江西高考理科·Ｔ13）设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(e x )=x+e x ，则f (1)'=__________.

【解题指南】先求出函数f （x ）的解析式，进而可求f (1)'.

【解析】设x t e =，则x l n t =，故f (t )l n t t =+，1f (t)1t

'=+，所以f (1)112'=+=. 【答案】2

3.（2013·江西高考文科·Ｔ11）若曲线y x 1α=+（α∈R ）在点（1，

2）处的切线经过坐标原点，则α=

【解题指南】根据导数的几何意义求出切线方程，再把原点代入.

【解析】因为1y x α-'=α，所以令x=1得切线的斜率为α，故切线方程为y 2(x 1)-=α-，代入（0,0）得2α=.

【答案】2

4. （2013·广东高考理科·Ｔ10）若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k= .

【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识，可先求导.

【解析】对ln y kx x =+求导得1y k x '=+，而x 轴的斜率为0，所以在点(1,)k 处切线的斜率为110x y k ='=+=，解得1k =-.

【答案】-1.

三、解答题

5.（2013·北京高考理科·Ｔ18）设l 为曲线C ：ln x y x =

在点(1，0)处的切线.

(I)求l 的方程.

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方.

【解题指南】（1）先求出切点处的导数，再代入点斜式方程求切线方程.

（2）转化为ln 1x x x ->

，再转化为求()(1)ln (0)f x x x x x =-->的极小值问题.

【解析】（1）21ln 'x y x

-=

，于是1'|1x y ==，因此l 的方程为1y x =-. （2）只需要证明01x x ∀>≠且时，ln 1x x x

->. 设()(1)ln ,0f x x x x x =-->，则1(21)(1)'()21x x f x x x x +-=--=，

当(0,1)

x∈+∞时，'()0

f x>.

f x<；当(1,)

x∈时，'()0

所以()

+∞上单调递增.

f x在（0，1）上单调递减，在(1,)

所以()

x=处取得极小值，也是最小值.

f x在1

所以()(1)0

x≠.

f x f

>=(1)

因此，除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.

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薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。