chapter7图.ppt
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}ArcCell, //定义弧或边的信息
AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //用矩阵来表示图的顶点之间的关系
11-Apr-20
37
图的C语言描述
typedef struct { VertexType vexs[MAX_VERTEX_NMU]; //表示顶点的数组 AdjMatrix arcs; //表示顶点之间关系的邻接矩阵 GraphKind kind; //表示图的类型 int vexnum, arcnum; //实际的顶点数目、弧或边的数目
32
有向网的邻接矩阵示例
3
V6
1
V1
6
5
V2
8
9 7
4
V3
5
V5
5
V4
5 7
4
8 9
5
6
5
3 1
11-Apr-20
33
邻接矩阵的应用
判定两个顶点之间是否有边或弧存在
计算任意一个顶点的度
在无向图中, 统计邻接矩阵第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i
度优先的原则遍历图 13）BFSTravese(&G, v, visit())；从顶点v开始，根据广度
优先的原则遍历图 }
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7
有向图与无向图示例
V1
V2 有向图
V1
V2
无向图
V3
V4
G1 (V1,{A1})
V1 {v1, v2 , v3 , v4}
A1 { v1, v2 , v1, v3 , v3, v4 , v4, v1 }
的全部顶点，但只有足以生成一棵树的n-1条边。
一棵有n个顶点的生成树，有且仅有n-1条边。 如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则图肯定是非连通图，
如果它的边多于n-1，则必然有环。 但是有n-1条边的图不一定就是生成树
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24
连通图的生成树示例
A C F J
L
B
A
B
D
E
C
G
无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的邻接矩阵可能 是不对称的。
1, 如果 < v,w >VR 或者 (v,w) VR Edge [i][j] 0, 否则
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30
有向图和无向图的邻接矩阵示例
V1
V2
G1
V3
V4
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
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6
基本操作
7）NextAdjVex(G, v, w)；返回图中相对于顶点w的顶点v的 下一个顶点；
8）InsertVex(&G, v)；插入顶点 9）DeleteVex(&G, v)；删除顶点 10）InsertArc(&G, v, w)；在顶点v，w之间插入一条弧 11）DeleteArc(&G, v, w)删除顶点v，w之间的弧 12）DFSTravese(&G, v, visit())；从顶点v开始，根据深
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15
路径长度、简单路径与回路
路径长度
非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。 带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。
简单路径
若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复, 则称这样的路径
为简单路径。
回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合,
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11
子图示例
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12
顶点的度
顶点的度 一个顶点v的度是与它相关联的边的 条数。记作TD(v)。
对于有向图： 顶点 v 的入度是以 v 为头的弧的数目, 记作 ID(v); 顶点 v 的出度是以 v 为尾的弧的数目, 记作 OD(v)。
在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度与出度 之和。
H
F
I
K
J
M
L
M
连通图
一棵生成树
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25
有向图的生成森林
如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的 入度均为1，则是一颗有向树。
一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中 的全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的 弧。
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26
有向图及其生成森林示例
向图需存储空间为n(n+1)/2 该方法对边的操作特别容易。如判断顶点之间是否有边、
插入或删除边，只需要修改数组中对应位置上的值。
该方法易于实现邻接顶点的查找工作。
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邻接矩阵表示法C语言描述
#define INFINITTY INT_MAX //定义INT_MAX为无穷大∞
第七章 图
最复杂的数据结构，数据元素之间存在多对多 的复杂关系
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1
第一节 图的基本概念
图是一种常见的数据结构，通常用来表示元素之间多对 多的关系
比如：通信网络中通信节点之间的关系 中国特有的复杂人际关系
图定义：图是由顶点(vertex)及顶点间的关系集合组 成的一种数据结构：Graph＝( V, VR )
0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
顶点1的出度=第1行的1的个数=2 顶点1的入度=第1列的1的个数=1 顶点1的度=出度+入度=3
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邻接矩阵表示法的特点
有个n顶点的图，邻接矩阵中有n2个元素. 若图中的边数或弧数较小，则这种方法的空间利用率不
高。 该方法适合于稠密图，而不适于稀疏图 无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有n个顶点的无
18
无向图路径、路径长度示例
路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7 简单路径：1，2，5，7，6 回路：1，2，5，7，6，5，2，1 简单回路：1，2，3，1
1
5
7
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3
2
4
6
G2
19
连通、连通图与连通分量
连通: 在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶 点v1与v2是连通的。
V1
V2
V3
V4
V5
G2
ห้องสมุดไป่ตู้
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0
31
网的邻接矩阵
带有权值图称为网 在网的邻接矩阵中每个元素值表示弧或边的权值
A[i][ j] wi, j
如果 vi , v j 或(vi , v j ) VR 否则
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ABC FED
有向图G
A
D
FB C
E
生成森林
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顶点和邻接点的位序关系
图的顶点之间不存在次序关系，一个顶点的邻接顶点 之间也不存在次序关系。
为操作方便，我们将图中的顶点人为排序，顶点在图 中的位置是指该顶点在人为序列中的序号。
同理将一个顶点的所有邻接顶点排序
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分量。
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无向图及其连通分量示例
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
无向图
A C F J
L
B DE
GH
I
K
M
三个连通分量
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22
有向图的强连通分量示例
V1
V2
V1
V2
V3
V4
非强连通有向图G
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V3
V4
G的两个强连通分量
23
连通图的生成树
一个连通图的生成树是它的极小连通子图，它包含图中
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13
有向图和无向图中顶点的度示例
1
57
32
46
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
245
1
3
G1
顶点2入度：1 顶点4入度：1
6
出度：3 出度：0
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邻接顶点与路径
邻接顶点：如果 (u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 与 v 互为邻接顶点。
路径：在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些 边经过一些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则 称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到 顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)...(vpm, vj)应是属于E的边。
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V3
V4
V5
G2 (V2 ,{A2})
V2 {v1 , v2 , v3 , v4 , v5}
A2 {(v1, v2 ), (v1, v4 ), (v3, v4 ), (v2 , v3 ), (v3, v5 )}
8
顶点数目与弧或边数目的关系
假定图中的顶点数目用n来表示，图中的边或弧的数目 用e来表示 ，如果不考虑多重图和到自身的弧，则有
则称这样的路径为回路或环。
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16
简单路径、非简单路径以及回路示例
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有向图路径、路径长度示例
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3
2
4
5
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1
3
6
G1
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2
有向图与无向图
O 由有向弧构成的图称为有向图。 O 如果在一个图中，对于任意的一条弧<v,w>必然存在
另外一条弧<w, v>则用（v, w）来表示这两个有序对， 并称（v, w）为顶点v, w之间的一条边(Edge)，此时 的图称为无向图。 O 在有向图中，顶点对<v, w>是有序的 O 在无向图中，顶点对(v,w )是无序的。
连通图：如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是 连通图。
连通分量：非连通图的极大连通子图。
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20
强连通、强连通分量
强在连一通条图从：vi到v在j和有从向vj图到中vi的, 若路对径于, 则每称一此对图顶是点强vi和连v通j, 都图存。 强连通分量：非强连通图的极大强连通子图叫做强连通
2
1
3
无向完全图
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10
稀疏图、网、子图
稀疏图/稠密图: 如果图中只有很少的弧或边，则称该 图为稀疏图，反之则称为稠密图。
权：与图的边或弧相关的数值叫做权 网：带有权值的图称为网 子图：设有两个图 G＝(V, E) 和 G’＝(V’, E’)。若
V’ V 且 E’E, 则称 图G’是 图G 的子图。
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3
有向图和无向图示例
(a),(b)无向图
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(c),(d)有向图
4
本课程不讨论的图
在本课程中我们不讨论下列两种图：
有自环的图 多重图
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5
图的抽象数据类型定义
ADT Graph { 数据对象V：
v是具有相同属性的数据元素的集合(顶点集合)。
对于无向图有：0≤e≤n(n-1)/2 对于有向图有：0≤e≤n(n-1)
完全图与有向完全图
有 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 则此图为完全图。 有 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 则此图为有向完全图
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9
有向完全图与无向完全图示例
2
1
3
有向完全图
#define MAX_VERTEX_NUM 20 //定义顶点的最大数目为20
typedef enum {DG, DN, UDG,UDN} GraphKind; //定义图的类别为一种枚举类型 //DG=有向图 DN=有向网 //UDG=无向图 UDN=无向网
typedef stuct ArcCell { VRType adj; InfoType *info;
数据关系R：R是图中弧或边的集合。 图的操作：
1）CreateGraph(&G, V, VR)根据顶点和弧创建图 2）DestoryGraph(&G)；如果图存在，则销毁图 3) LocateVex(G, u)在图中寻找特性为u的顶点。 4）GetVex(G, v)；返回图中顶点v的值 5）PutVex(&G, v, value)；给图中的顶点v赋值； 6）FirstAdjVex(G, v)；寻找图中顶点v的第一个邻接顶点；
28
第二节 图的存储结构
常用的图的表示方法有：
邻接矩阵（数组） 邻接表 邻接多重表 十字链表
邻接矩阵（数组）表示法
一个数组存储顶点的信息，另一个数组存储数据元素之间的关系信息
记录各个顶点信息的顶点表 表示各个顶点之间关系的邻接矩阵
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图的邻接矩阵表示法
设图 A = (V, R)是一个有 n 个顶点的图，则图的 邻接矩阵是一个二维数组 edge[n][n]，定义：
的度
在有向图中, 统计邻接矩阵第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出 度，统计第 j 列 1 的个数可得顶点 j 的入度。
顶点的度等于入度与出度之和
n 1
n 1
TD(vk ) A[k][ j] A[i][k]
j0
i0
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利用邻接矩阵计算顶点的度举例
V1
V2
V3
V4
0 1 1 0
V = { x | x 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； VR = {<v, w> | v, w V } 是顶点之间关系的有穷集合.
<v,w>表示从v到w的一条弧(Arc)。v被称为弧尾或初始点(Tail)， w被称为弧头(head)或终端点，这样的弧称为有向弧。
说明：
图中的数据元素通常称为顶点（Vextex） 顶点之间的关系称为弧（Arc）或边
AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //用矩阵来表示图的顶点之间的关系
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图的C语言描述
typedef struct { VertexType vexs[MAX_VERTEX_NMU]; //表示顶点的数组 AdjMatrix arcs; //表示顶点之间关系的邻接矩阵 GraphKind kind; //表示图的类型 int vexnum, arcnum; //实际的顶点数目、弧或边的数目
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有向网的邻接矩阵示例
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V6
1
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V2
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9 7
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V3
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5 7
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6
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邻接矩阵的应用
判定两个顶点之间是否有边或弧存在
计算任意一个顶点的度
在无向图中, 统计邻接矩阵第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i
度优先的原则遍历图 13）BFSTravese(&G, v, visit())；从顶点v开始，根据广度
优先的原则遍历图 }
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有向图与无向图示例
V1
V2 有向图
V1
V2
无向图
V3
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G1 (V1,{A1})
V1 {v1, v2 , v3 , v4}
A1 { v1, v2 , v1, v3 , v3, v4 , v4, v1 }
的全部顶点，但只有足以生成一棵树的n-1条边。
一棵有n个顶点的生成树，有且仅有n-1条边。 如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则图肯定是非连通图，
如果它的边多于n-1，则必然有环。 但是有n-1条边的图不一定就是生成树
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连通图的生成树示例
A C F J
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无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的邻接矩阵可能 是不对称的。
1, 如果 < v,w >VR 或者 (v,w) VR Edge [i][j] 0, 否则
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有向图和无向图的邻接矩阵示例
V1
V2
G1
V3
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0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
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基本操作
7）NextAdjVex(G, v, w)；返回图中相对于顶点w的顶点v的 下一个顶点；
8）InsertVex(&G, v)；插入顶点 9）DeleteVex(&G, v)；删除顶点 10）InsertArc(&G, v, w)；在顶点v，w之间插入一条弧 11）DeleteArc(&G, v, w)删除顶点v，w之间的弧 12）DFSTravese(&G, v, visit())；从顶点v开始，根据深
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路径长度、简单路径与回路
路径长度
非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。 带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。
简单路径
若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复, 则称这样的路径
为简单路径。
回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合,
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子图示例
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顶点的度
顶点的度 一个顶点v的度是与它相关联的边的 条数。记作TD(v)。
对于有向图： 顶点 v 的入度是以 v 为头的弧的数目, 记作 ID(v); 顶点 v 的出度是以 v 为尾的弧的数目, 记作 OD(v)。
在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度与出度 之和。
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连通图
一棵生成树
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有向图的生成森林
如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的 入度均为1，则是一颗有向树。
一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中 的全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的 弧。
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有向图及其生成森林示例
向图需存储空间为n(n+1)/2 该方法对边的操作特别容易。如判断顶点之间是否有边、
插入或删除边，只需要修改数组中对应位置上的值。
该方法易于实现邻接顶点的查找工作。
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邻接矩阵表示法C语言描述
#define INFINITTY INT_MAX //定义INT_MAX为无穷大∞
第七章 图
最复杂的数据结构，数据元素之间存在多对多 的复杂关系
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1
第一节 图的基本概念
图是一种常见的数据结构，通常用来表示元素之间多对 多的关系
比如：通信网络中通信节点之间的关系 中国特有的复杂人际关系
图定义：图是由顶点(vertex)及顶点间的关系集合组 成的一种数据结构：Graph＝( V, VR )
0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
顶点1的出度=第1行的1的个数=2 顶点1的入度=第1列的1的个数=1 顶点1的度=出度+入度=3
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邻接矩阵表示法的特点
有个n顶点的图，邻接矩阵中有n2个元素. 若图中的边数或弧数较小，则这种方法的空间利用率不
高。 该方法适合于稠密图，而不适于稀疏图 无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有n个顶点的无
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无向图路径、路径长度示例
路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7 简单路径：1，2，5，7，6 回路：1，2，5，7，6，5，2，1 简单回路：1，2，3，1
1
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G2
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连通、连通图与连通分量
连通: 在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶 点v1与v2是连通的。
V1
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ห้องสมุดไป่ตู้
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0
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网的邻接矩阵
带有权值图称为网 在网的邻接矩阵中每个元素值表示弧或边的权值
A[i][ j] wi, j
如果 vi , v j 或(vi , v j ) VR 否则
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ABC FED
有向图G
A
D
FB C
E
生成森林
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顶点和邻接点的位序关系
图的顶点之间不存在次序关系，一个顶点的邻接顶点 之间也不存在次序关系。
为操作方便，我们将图中的顶点人为排序，顶点在图 中的位置是指该顶点在人为序列中的序号。
同理将一个顶点的所有邻接顶点排序
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分量。
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无向图及其连通分量示例
A
B
C
D
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F
G
H
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K
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无向图
A C F J
L
B DE
GH
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三个连通分量
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有向图的强连通分量示例
V1
V2
V1
V2
V3
V4
非强连通有向图G
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V3
V4
G的两个强连通分量
23
连通图的生成树
一个连通图的生成树是它的极小连通子图，它包含图中
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有向图和无向图中顶点的度示例
1
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G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
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1
3
G1
顶点2入度：1 顶点4入度：1
6
出度：3 出度：0
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邻接顶点与路径
邻接顶点：如果 (u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 与 v 互为邻接顶点。
路径：在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些 边经过一些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则 称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到 顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)...(vpm, vj)应是属于E的边。
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V3
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V5
G2 (V2 ,{A2})
V2 {v1 , v2 , v3 , v4 , v5}
A2 {(v1, v2 ), (v1, v4 ), (v3, v4 ), (v2 , v3 ), (v3, v5 )}
8
顶点数目与弧或边数目的关系
假定图中的顶点数目用n来表示，图中的边或弧的数目 用e来表示 ，如果不考虑多重图和到自身的弧，则有
则称这样的路径为回路或环。
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简单路径、非简单路径以及回路示例
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有向图路径、路径长度示例
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3
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G1
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有向图与无向图
O 由有向弧构成的图称为有向图。 O 如果在一个图中，对于任意的一条弧<v,w>必然存在
另外一条弧<w, v>则用（v, w）来表示这两个有序对， 并称（v, w）为顶点v, w之间的一条边(Edge)，此时 的图称为无向图。 O 在有向图中，顶点对<v, w>是有序的 O 在无向图中，顶点对(v,w )是无序的。
连通图：如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是 连通图。
连通分量：非连通图的极大连通子图。
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强连通、强连通分量
强在连一通条图从：vi到v在j和有从向vj图到中vi的, 若路对径于, 则每称一此对图顶是点强vi和连v通j, 都图存。 强连通分量：非强连通图的极大强连通子图叫做强连通
2
1
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无向完全图
11-Apr-20
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稀疏图、网、子图
稀疏图/稠密图: 如果图中只有很少的弧或边，则称该 图为稀疏图，反之则称为稠密图。
权：与图的边或弧相关的数值叫做权 网：带有权值的图称为网 子图：设有两个图 G＝(V, E) 和 G’＝(V’, E’)。若
V’ V 且 E’E, 则称 图G’是 图G 的子图。
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3
有向图和无向图示例
(a),(b)无向图
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(c),(d)有向图
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本课程不讨论的图
在本课程中我们不讨论下列两种图：
有自环的图 多重图
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图的抽象数据类型定义
ADT Graph { 数据对象V：
v是具有相同属性的数据元素的集合(顶点集合)。
对于无向图有：0≤e≤n(n-1)/2 对于有向图有：0≤e≤n(n-1)
完全图与有向完全图
有 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 则此图为完全图。 有 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 则此图为有向完全图
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有向完全图与无向完全图示例
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有向完全图
#define MAX_VERTEX_NUM 20 //定义顶点的最大数目为20
typedef enum {DG, DN, UDG,UDN} GraphKind; //定义图的类别为一种枚举类型 //DG=有向图 DN=有向网 //UDG=无向图 UDN=无向网
typedef stuct ArcCell { VRType adj; InfoType *info;
数据关系R：R是图中弧或边的集合。 图的操作：
1）CreateGraph(&G, V, VR)根据顶点和弧创建图 2）DestoryGraph(&G)；如果图存在，则销毁图 3) LocateVex(G, u)在图中寻找特性为u的顶点。 4）GetVex(G, v)；返回图中顶点v的值 5）PutVex(&G, v, value)；给图中的顶点v赋值； 6）FirstAdjVex(G, v)；寻找图中顶点v的第一个邻接顶点；
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第二节 图的存储结构
常用的图的表示方法有：
邻接矩阵（数组） 邻接表 邻接多重表 十字链表
邻接矩阵（数组）表示法
一个数组存储顶点的信息，另一个数组存储数据元素之间的关系信息
记录各个顶点信息的顶点表 表示各个顶点之间关系的邻接矩阵
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图的邻接矩阵表示法
设图 A = (V, R)是一个有 n 个顶点的图，则图的 邻接矩阵是一个二维数组 edge[n][n]，定义：
的度
在有向图中, 统计邻接矩阵第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出 度，统计第 j 列 1 的个数可得顶点 j 的入度。
顶点的度等于入度与出度之和
n 1
n 1
TD(vk ) A[k][ j] A[i][k]
j0
i0
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利用邻接矩阵计算顶点的度举例
V1
V2
V3
V4
0 1 1 0
V = { x | x 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； VR = {<v, w> | v, w V } 是顶点之间关系的有穷集合.
<v,w>表示从v到w的一条弧(Arc)。v被称为弧尾或初始点(Tail)， w被称为弧头(head)或终端点，这样的弧称为有向弧。
说明：
图中的数据元素通常称为顶点（Vextex） 顶点之间的关系称为弧（Arc）或边