1.1 二次函数(课件)九年级数学上册(浙教版)

2．y=(m-1)
是二次函数，则m的值是（ ）
A．m=0
B．m=-1
C．m=1
D．m=±1
2 +1

【详解】解：y=(m-1)
∴2 + 1=2，m-1≠0，
解得m=±1，m≠1，
∴m=-1．
故选：B．
是二次函数，
当堂检测
3．线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB
运动至点B．以点A为圆心、线段AP长为半径作圆心角为90°的扇形PAC，

③y=4x2-3x+1是二次函数，故③是二次函数；
④y=(m-1)x2+bx+c，时，该式不是二次函数；
⑤y=(x-3)2-x2，该式不是二次函数；
故答案为：③．
讲授新课
知识点二 列二次函数关系式
典例精析
【例3】一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降
价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x
2 +2−1

1)
+3是二次函数时，
【详解】（1）解：(1)当y=( −
−1≠0
有 2
，
+ 2 − 1 = 2
解得m=-3，
∴当m=-3时，此函数是二次函数；
2 +2−1

（2）当y=( − 1)
+3是一次函数时，
−1≠0
有 2
，
+ 2 − 1 = 1
解得,=-1+ 3或-1- 3，
数学（浙教版）
九年级 上册
第1章 二次函数
1.1 二次函数
学习目标
1．掌握二次函数的概念与一般形式，注意二次函数的字母系数
要求；
2．会利用二次函数的概念解决问题；
3、根据实际问题列出二次函数表达式解决问题；
导入新课
问题 回忆一下，我们之前学过哪些函数？
y=kx+b (k≠0)
一次函数
函
数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能
没有二次项；
讲授新课
二次函数自变量的取值范围
问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？
① y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
② s=6a2
③S x 20 x = x 2 20 x
(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？
(100+x)(600-5x)=60320 解得， x1 4, x2 16
(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
y=(100+x)(600-5x)
=-5x²+100x+60000.
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，
一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树
所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会
少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？
哪些是因变量？
讲授新课
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.
②a>0.
③∵20-x>0，∴0<x<20.
讲授新课
典例精析
【例1】下列函数是y关于x的二次函数的是（ ）
1
A．y=2x
B．y= 2 −

C．y=x3-2x2-x
D．y=-3x2-4
【详解】解：A.y=2x ，是一次函数，故该选项不符合题意；
当堂检测
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
3
A．y=3x+1 B．y=
C．y= 2 + 1
D．y=2x2+1

【答案】D
【分析】根据二次函数的定义判断解答即可．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指
数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键．
当堂检测
2 +1
量关系是解题的关键．
讲授新课
【例4】正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，
表面积为y，则y是x的函数，它们的关系式为（
）
A．y=2x
B．y=6x
C．y=2x2
D．y=6x2
【详解】解：正方体的每一个面都是面积为x2的小正方形，
∵展开后由六个全等的小正方形组成，
∴正方体表面积为y=6x2．
故选：D．
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练一练
1．下列函数一定是二次函数的是__________．
2
2
①y=ax +bx+c；②y=− ；③y=4x2-3x+1；④y=(m-1)x2+bx+c；

⑤y=(x-3)2-x2
【详解】解：①y=ax2+bx+c，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一
定是二次函数；
2
②y=− 等号右边为分式，故②不是二次函数；
【详解】解：依题意，y=200(1+x)2，
当堂检测
5．已知函数y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二次函数，则一次函数
y=mx-m的图像不经过第_______象限．
【详解】∵函数y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二次函数，
∴|m|+1=2且m+1≠0，
解得：m=1，
∴一次函数y=mx-m的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
1
B. y= 2 − ，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符

合题意；
C. y=x3-2x2-x，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不
符合题意；
D. y=-3x2-4，是二次函数，故该选项符合题意．
故选：D．
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【例2】下列函数关系中，是二次函数的是（
）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
以线段PB为边作等边△PBD．设点P的运动时间为t，扇形PAC的弧CP的
长为y，等边△PBD的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是
（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函
数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系
当堂检测
【详解】解：设点P的运动时间为t，则AP=t，BP=5-t，
90
1
则y= × = ��，
180
S=
3
3
2
��） = t2- t+
，
4
2
4
∴y与t，S与t满足的函数关系分别是正比例函数关系，二次函数关
系，
故选：B．
当堂检测
4．某化工厂1月份生产某种产品200t，3月份生产这种产品yt，则y与
产品产量的月平均增长率x之间的函数关系式是________．
的区域，用来养鸡.你能列出矩形区域的面积关于矩形矩形的边长的关
系式吗？
设围成的矩形区域的一边长为x m,那么，矩形区域的另一边长
应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
S x 20 x
S x 20 x
2
思考：观察这三个问题的式子，你发现有什么规律了吗？
函数都是用自变量的二次整式表示的
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
【详解】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；

B、关系式为：t= ，是反比例函数，不符合题意；

C、关系式为：C=3a，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为：S=πR2，是二次函数，符合题意．
∴∠BEH=∠CFG=45°，
∴BH=EH=CG=GF
∵BC=20，EF=x，
∴BC-HG=BC-EF=20-x，
1
∴BH=EH=CG=GF=10- ，
2
1
1 2
y=x(10- )=- + 10
2
2
1 2
故答案为：y=- + 10.
2
讲授新课
知识点三 根据二次函数的定义求参数
典例精析
故答案选：D
讲授新课
练一练
1．如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形EFGH是△ABC的内接矩
形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为
____．
讲授新课
【详解】∵∠A=90°，AB=AC，，
∴∠B=∠C=45°
∵四边形EFGH是△ABC的内接矩形，
∴∠EHB=∠FGC=90°，EH=FG，EF=HG，
故答案为：二
当堂检测
2 −��
6．已知函数y=(a-2)
+ ( − 3)．
(1)当a为何值时，此函数是二次函数；
(2)当a为何值时，此函数是正比例函数．
【详解】（1）解：由题意得：2 − =2且a-2≠0，解得：a=-1，
∴当a=-1时，此函数是二次函数；
（2）解：由题意得：2 − =1且a-2+a-3≠0，
k
y k 0
反比例函数
x
思考 一个边长为x的正方形，其面积y为多少？请用x表示y；
y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函
数.这个函数不是我们学过的函数.
讲授新课
知识点一 二次函数的定义
合作探究
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种
讲授新课
归纳总结
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
注意
a为二次项系数，ax2叫做二次项；这里的a不能为0；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
讲授新课
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
即y是x的函数
讲授新课
问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 a，表面积
2
s=6a
为 s，则 s 关于a 的关系式为
.
此式表示了正方体表面积s与正方
体棱长a之间的关系，对于a的每一个
值，s都有唯一的一个对应值，即s是a
的函数.
讲授新课
问题3 某养鸡大户在一块空地用长40m的围网，在空地中围一块矩形
之间的函数关系式是（ ）
A．y=4000(1-x) B．y=4000(1-x)2 C．y=8000(1-x) D．y=8000(1-x)2
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系
式是y=4000(1-x)2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等
或2 − ≠1，a-2=0且a-3≠0，
1+ 5 1− 5
解得：a=
或
或2，
2
2
1+ 5 1− 5
当a=
或
或2，此函数是正比例函数．
2
2
课堂小结
右边是整式；
定
义
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
二次函数
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
y=ax2；
特殊形式
y=ax2+bx；
【例5】已知y=mx|m-2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（
A．0
B．1
C．4
D．0或4
【详解】由题意得：|m-2|=2，且m≠0，
解得：m=4．
故选：C．
）
讲授新课
练一练
2 +2−1

1)
+3．
1．若y=( −
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？