二项式定理.复习题 普通高中数学复习讲义Word版

1．二项式定理
⑴二项式定理
()
()011222...n
n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
知识内容
高考要求
模块框架
二项式定理
⑵二项式系数、二项式的通项
011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n
a b +的二项展开式，其中的系数
()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，
即通项为展开式的第1r +项：1r n r r
r n
T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式()n
a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．
②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意
①通项1r n r r
r n
T C a b -+=是()n
a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n
b a +的展开式的第1r +项r n r r
n C b a -是有区别的，应用二项式
定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．
③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是()n
a b +这个标准形式下而言的，如()n
a b -的二项展开式的通项公式是
()11r
r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r
r n T C a b -+=是不同的，在这
里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r
r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n
r r
n n
n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r
n
C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：
()
n
a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自
变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01
211,,112
n n n n n n C C C -===
⋅， ()()3
12123
n n n n C --=
⋅⋅，．．．， ()()()
()
112...2123....1k n n n n n k C k ----+=
⋅⋅⋅⋅-，()()()()
()12...21123...1k
n
n n n n k n k C k k
---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，
1n
n C =．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如
,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n n
C ．
当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n
n
C
C
-+=．
③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n n
n n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
024135
1......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
【例1】
(
(
3
5
11+的展开式中x 的系数是
A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】选择
【关键字】2010年，全国高考
【解析】(
(3
5
11+中x 的系数为0
3220
3535(1)210122C
C C C ⋅-⋅+⋅⋅=-+=．
【答案】C ；
【例2】 若9
a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】填空
【关键字】2010，全国高考
典例分析
【答案】1；
【例3】 若()5
54541031x a x a x a x a +=++⋅⋅⋅++，则2a 的值为（ ）
A ．270
B ．2702x
C ． 90
D ．902x
【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】选择
【关键字】2010年，宣武2模
【解析】此题考察二项式定理．容易知道2
225
C 390a =⋅=． 【答案】C
【例4】 64(1(1-+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空
【关键字】2008年，全国高考
【解析】原多项式可化为42(1)(1x -，所以要求的x 的系数分两部分：
4(1)x -的常数项与2(1-的x 项系数的积；4(1)x -的x 项系数与2(1-的常数
项的积．因此所求的x 的系数是141C (1)3+-=-．
【答案】-3；
【例5】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．
【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答
【解析】用排列组合的观点求．13个式子相乘，2x 项为：
128842277418813992222
9849749843942(C )C (1)C C (3)C (1)C C (3)C (1)C (2)C C (1)C (2)C 123x x x x x x
-+⋅-+-+-=-．故所求系数为123-．
【答案】-123
【例6】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用
数字作答）
【考点】求展开式中的指定项 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无
【解析】可以直接将6个式子中的2x 项的系数相加减，然后用组合数的性质来计算．
如果注意到原多项式可化简为56
1(1)1(1)(1)1(1)x x x x x x
+--+--⋅=
+-，只需要求6(1)x -中3x 项的系数即可，不难算出为36C 20-=-．
【答案】-20；
【例7】 求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．
【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无
【解析】看成6个21x x +-相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，
5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到55
6C x ． 3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到313263C C ()x x ⋅⋅-． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到122265C C ()x x ⋅⋅-． 合并同类项为531125566365(C C C C C )6x x -+=，5x 项的系数为6．
【答案】6；
【例8】 64(1(1-+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项 【难度】3星 【题型】填空
【关键字】2008年全国高考
【解析】原多项式可化为42(1)(1x -，所以要求的x 的系数分两部分：
4(1)x -的常数项与2(1-的x 项系数的积；4(1)x -的x 项系数与2(1-的常数
项的积．因此所求的x 的系数是141C (1)3+-=-．
【答案】-3；
【例9】 若12
a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．
【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空
【关键字】2010年，崇文1模
【解析】由二项式定理4
1243
112
12C
C r
r
r r
r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪
⎝⎭
．令44033r r -=⇒=． 于是有33
12
C 2201a a =-⇒=-． 【答案】1-；
【例10】 在6
21x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）
【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空
【关键字】2010年，西城2模
【解析】容易知道2
6
C 15=为所求． 【答案】15；
【例11】 如果1n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中
的常数项的值等于 ．
【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空
【关键字】2010年，朝阳2模
【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为4
8C 70=．
【答案】8，70；
【例12】 若n
x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+3
1的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14
【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择
【关键字】2009年，东城区一模
【解析】通项公式356
1
C C r
n r
r n r r
r n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，
使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．
【答案】A ；
【例13】 若(5
1a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（ ）
A ．45
B ．55
C ．70
D ．80
【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择
【关键字】2009年，北京高考
【解析】(
5
23451141+=++++=+
【答案】C ；
【例14】 已
知(n x +
的展开式中前三项的系数成等差数列．
⑴求n 的值；
⑵求展开式中系数最大的项．
【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略
【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42
n n n +=⨯，即2
980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）
． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22r
r r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)
1129r r r r
⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥
解得2r =或3r =．
所以系数最大的项为7
5
2
3477T x T x ==，
．
【例15】 若231n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为
______．（用数字作答）
【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2008年，北京高考 【解析】令1x =得2325n n =⇒=．
2510515
531C ()
C r
r r
r r r T x x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，于是2r =时，对应常数项2
5C 10=． 【答案】510，；
【例16】 证明：22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．
【考点】证明整除或求余数 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略
【答案】∵22(1(1(4(42[(2(2]n n n n n n n ++=++-=++，
∴只需证(2(2n n ++能被2整除．
而22244
4(2(22[222
]C C n n n n n n n --+-=+⋅⋅+⋅⋅+能被2整除，
因此22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．
【例17】 已知：1x y x y +=∈R ，，，求证：1
1
2n n n x y -+≥
，(*)n ∈N 【考点】证明不等式 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设t x +=
21，t y -=2
1
，则 11
()()22
n n n n x y t t +=++-
0222
112()()22n n n n C C t -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
112n -≥．。