高等数学无穷级数题目

第十二章 无穷级数
练习一
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1、设级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，和为S ,则级数
∑∞
=+1
1
n n a
收敛，和为（ ）
(A)S ； (B)1a S +； (C)2a S +； (D)1a S -. 2、下列命题中正确的是（ ） (A)若
∑∞
=1
n n
U
收敛，则0lim =∞→n n U ； (B)若
∑∞
=1
n n
U
发散，则0lim ≠∞→n n U ；
(C)若0lim =∞
→n n U ，则
∑∞
=1
n n
U
收敛； (D)若0lim =∞
→n n U ，则
∑∞
=-1
)
1(n n n
U 收敛.
3、下列命题中不正确的是（ ） (A)若
∑∞
=1n n
U
和
∑∞
=1n n
V
均收敛，则
∑∞
=±1)(n n n
V U
也收敛；
(B)若
∑∞
=1n n
U
和
∑∞
=1
n n
V
均发散，则
∑∞
=±1
)(n n n
V U
也发散；
(C)若
∑∞
=1n n
U
收敛，
∑∞
=1n n
V
发散，则
∑∞
=+1)(n n n
V U
发散；
(D)若
∑∞
=1
n n
U
发散，
∑∞
=1
n n
V
收敛，则
∑∞
=-1
)(n n n
V U
发散.
4、若级数
∑∞
=1
n n q a
收敛（a 为常数），则q 应满足的条件是（ ） (A)1=q ； (B)q ＜1； (C)1-=q ； (D)q ＞1. 5、下列级数收敛的是（ ）
(A)∑∞
=⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+13223n n n ； (B)∑∞=1001n n ； (C) ∑∞=+11n n n ； (D) ∑∞=⎪⎭⎫
⎝⎛+1211n n n .
6、设收敛级数
∑∞
=1
n n
U
的和为S ，前1-n 项、n 项、1+n 项和分别为1-n S 、n S 和1+n S ，则
下列结果不正确的是（ ）
(A)S S n n =∞
→lim (B)S S n n =-∞
→1lim (C)S S n n =+∞
→1lim (D)S S n n ≠+∞
→1lim .
7、设
∑∞
=1
n n U 是正项级数，且ρ=+∞→n
n n U U 1
lim
，那么下面结论错误的是（ ）
(A)若ρ＜1，则
∑∞
=1
n n
U
收敛； (B)若ρ＞1，则
∑∞
=1
n n
U
发散；
(C)若
∑∞
=1
n n
U
收敛，则ρ＜1； (D)若
∑∞
=1
n n
U
发散，则ρ≥1.
8、下列级数条件收敛的是（ ） (A)
∑∞
=--11
1
)
1(n n n ； (B)∑∞
=-⎪⎭⎫
⎝⎛-1
132)1(n n
n ； (C)
∑∞
=-⋅-1
21
1
)
1(n n n ； (D)∑∞
=-⋅⋅-1
121)1(n n
n n . 二、填空题（将正确答案填在横线上） 1、设级数
∑∞
=1
n n U 的前n 项和1
+=
n n
S n （n =1，2，…），则该级数的通项n U =__________. 2、级数 +-+-+-
32
11618141211的和S =__________. 3、设n U ＞0（n =1，2，3，…），+∞=∞→n n U lim ，
则级数∑∞
=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-111
1n n n
U U 之和为__________. 4、设级数
∑∞
=+11
1
n p n
收敛，则p 的取值范围是__________.
5、若级数
∑∞=1
n n
U
绝对收敛，则级数
∑∞
=1
n n
U
必定__________；若
∑∞
=1
n n
U
条件收敛，则
∑∞
=1
n n
U
必定__________. 三、解答下列各题
1、根据级数收敛与发散定义判断级数
++-++⋅+⋅+⋅)
12)(12(1751531311n n 的敛散性
2、根据级数收敛基本性质判别下列级数的敛散性： （1） +++++n
31916131； （2）
+++++n 3
13131313.
3、判别下列正项级数的敛散性：
（1）
+⋅++⋅+⋅+⋅n
n
n 232332232133322；
（2）∑∞
=⋅1
!
2n n
n n n ；
（3） ++++++++++2
221131312121n
n
.
4、下列级数是否收敛？如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？
（1）∑∞
=1
2
3sin n n n
；
（2） +⋅
-++-
+
--n
n 1)1(4
13
12
111；
（3）
∑∞
=---1
1
2
)1(3
1)
1(n n n n .
四、证明题： 1、设n
n n n U n ++
+++
+=2
2
2
12
11
1 ，试证级数
∑∞
=1
n n
U
发散.
2、设级数∑∞
=+111
n n
a
,其中a ＞0,证明：当0＜a ≤1时，级数发散；当a ＞1时，级数收敛.
练习二
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1、函数项级数 ++++x x x n
ln ln ln 2
的收敛域为（ ） (A)x ＞e ； (B)kx ＜e ； (C)
e 1 ＜x ＜e ； (D) e
1
≤x ≤e . 2、设幂级数
∑∞
=0
n n
n
x a
，当0x x =时收敛，则（ ） (A)对 适合不等式x ≤0x 的一切x ，幂级数绝对收敛； (B)对 适合不等式x ＜0x 的一切x ，幂级数绝对收敛； (C)对 适合不等式x ＜0x 的一切x ，幂级数条件收敛； (D)对 适合不等式x ＞0x 的一切x ，幂级数发散. 3、设x =2是幂级数
n n n
x a
∑∞
=0
的收敛点，那么（ ）
(A) x =1是该级数的收敛点； (B) x =-2是该级数的收敛点；
(C) x =3是该级数的发散点； (D) x =-2是该级数的发散点. 4、设幂级数
n n n
x a
∑∞
=0
在点x =1处条件收敛，则该幂级数的收敛半径R 满足（ ）
(A) R ＜1； (B) R =1； (C) R ＞1； (D) R ≠1. 二、填空题（将正确答案填在横线上） 1、设幂级数
n n n
x a
∑∞
=0
的收敛半径为1，则该级数的收敛区间为__________.
2、设幂级数
n n n
x a
∑∞
=0
的收敛半径为4，则幂级数n n x a 2∑的收敛半径为__________.
3、函数x
e 的麦克劳林级数展开式为__________. 4、函数)1ln(x +的麦克劳林级数展开式为__________. 5、函数x sin 的麦克劳林级数展开式为__________. 三、解答题
1、求幂级数2
1
)1(n x n
n n
∑∞
=-的收敛半径和收敛区间.
2、求幂级数∑
∞
=-1
)5(n n
n
x 的收敛域.
3、 求幂级数∑∞
=1
n n
n x 的收敛区间及和函数.
4、求幂级数∑∞
=-1
1
n n nx
的收敛区间及和函数.
5、将函数2
)(x
x e e x f --=展成x 的幂级数.
6、将)ln()(a x x f +=（a ＞0）展开成x 的幂级数.
7、将x
x f 1
)(=展开成x -1的幂级数
8、将x x f arctan )(=展开成x 的幂级数.
练习三
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1、设级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，和为S ，则级数
∑∞
=++-+1
21)(n n n n
a a a
收敛于（ ）
(A)1a S +； (B)2a S +； (C)21a a S -+； (D)12a a S -+. 2、级数
∑∞
=1
n n
U
绝对收敛是级数
∑∞
=1
2n n
U
收敛的（ ）
(A)充分必要条件； (B)充分非必要条件；
(C)必要非充分条件； (D)既非充分又非必要的条件. 3、
∑∞
=1
2n n
U
与
∑∞
=-1
1
2n n U
均收敛是
∑∞
=1
n n
U
收敛的（ ）
(A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件；
(C) 充分必要条件； (D)既非充分又非必要的条件. 4、使级数
∑∞
=-1)
1(n n n
U 收敛的条件是（ ）
(A)
∑∞
=1
2n n
U
收敛； (B)
∑∞
=1
n n
U
收敛；
(C){
}n U 单调减少且趋于零； (D) ∑∞
=1
2
n n
U
收敛.
5、设幂级数
n
n n
x a
)2(0
-∑∞
=在x =-2处收敛，则此级数在x =4处（ ） (A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)敛散性不能确定.
6、若81
lim
1=+∞→n
n n a a ，则幂函数n n n x a 30∑∞
=（ ） (A)当x ＜2时收敛； (B)当x ＜8时收敛； (C)当x ＞
81时发散； (D)当x ＞2
1
时发散. 二、填空题（将正确答案填在横线上） 1、设∞=∞
→n n U lim ，0≠n U ，则级数
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+∞
=∑1111)1(n n
n n U U 收敛于__________.
2、如果幂级数
n n n
x a
)1(0
-∑∞
=的收敛半径是1，则该级数的收敛区间为__________.
3、幂级数
n n n x n )32(1
21
)
1(0
1
--⋅
-∑∞
=-的收敛域为__________. 4、函数x
xe
x f -=)(的麦克劳林级数展开式为__________.
5、级数
∑∞
=+0
!1
n n n 的和S =__________. 三、解答题：
1、判别级数∑∞
=++11
)!
1(n n n n 的敛散性.
2、讨论级数∑∞
=1n s n
n
a （a ＞0，s ＞0）的敛散性
3、设级数∑∞
=1n n U 收敛，且1lim
=∞→n
n
n U V ，问级数∑∞
=1n n V 是否收敛？试说明理由
4、求幂级数n
n n n x n ∑∞
=+1
53的收敛区间。

5、求幂级数∑∞
=+1
)1(n n
n n x 的和函数
6、将函数)1ln()(2++=x x x f 展开成x 的幂级数.
四、证明题 1、设正项级数∑∞
=1
n n
U
与
∑∞
=1
n n
V
均收敛，证明级数
∑∞
=+1
2)(n n n
V U
也收敛.
2、设级数n a n
∑2
3收敛，证明∑∞
=1
n n a 绝对收敛。