2021年中考数学热点冲刺7 坐标几何

考向1 平面直角坐标系内点的坐标特征
1.点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是（）
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(1，2) D．(2，－1)
【答案】B
【解析】根据平面直角坐标系中的点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，故点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是(1，－2)，故选择B．
2.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B(3，n)关于y轴对称，则
A．m=3，n=2 B．m=-3，n=2
C．m=2，n=3 D．m=-2，n=3
【答案】B
【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同，故选B．
3.在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（）
A．（－1，1）B．（3，1）
C．（4，－4）D．（4，0）
【答案】A
【解析】点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到（1－2，－2+3），即B （－1，1）．故选A．
4.在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．
【答案】4
【解析】∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，∴a=3，b=1，∴a+b的值是4．故答案为：4．5.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．
【答案】（-1，1）．
【解析】由题意可以得到如下平面直角坐标系，则“兵”位于点（-1，1），故答案为：（-1，1）
6.在平面直角坐标系中，点P （4，2）关于直线x=1的对称点的坐标是 ． 【答案】（﹣2，2）．
【解析】∵点P （4，2），∴点P 到直线x=1的距离为4﹣1=3， ∴点P 关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3， ∴点P′的横坐标为1﹣3=﹣2，∴对称点P′的坐标为（﹣2，2）． 故答案为：（﹣2，2）．
考向2点的坐标与距离（长度）的计算
1.平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________． 【答案】5
【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求
得点P(－3，4)，因此本题答案为5．
2.在平面直角坐标系中，点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d =00√A 2+B 2
，则点P （3，﹣3）
到直线y =−2
3x +5
3的距离为 ． 【答案】8
13√13．
【解析】∵y =−2
3x +5
3，∴2x+3y ﹣5=0， ∴点P （3，﹣3）到直线y =−2
3x +5
3的距离为：
√22+32
=813√13，故答案为：8
13√13．
3.在平面直角坐标系中，直线l:y=x+1与y 轴交于点A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形C 1A 2B 2C 2，正方形C 2A 3B 3C 3，正方形C 3A 4B 4C 4，……，点A 1，A 2，A 3，A 4，……在直线上，点C 1，C 2，C 3，C 4，……
在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是________.
【答案】2
【解析】∵点A 1是y=x+1与y 轴的交点，∴A 1(0，1)，∵OA 1B 1C 1是正方形，∴C 1(1，0)，A 1C 1
A 2(1，2)，C 1A 2=2，A 2C 2，∴A 3C 2=4，A 3C 3A n C n =2n －n 个正方形对
角线长的和为n
－n －1(1+1+2+4+…+2n －
1－n －1)=2n
4.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A 、B 、C 三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A 、B 两地.
(1)A 、B 间的距离为 km ；
(2)计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A 、C 的距离相等，则C 、D 间的距离为 km.
【答案】（1）20；（2）
34
433
【解析】（1）20812)8(12=+=--=AB ；（2）如图所示，
设AD=CD=x ，则OD=17-x ，OA=12，∵∠AOD=90°，∴2
2212)17(x x =+-，解得x=34
433
. 考向3 坐标与几何图形的位置变换
1.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，√3），以原点为中心，将点A 顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（ ） A ．（√3，1）
B ．（√3，﹣1）
C ．（2，1）
D ．（0，2）
【答案】A
【解析】如图，作AE ⊥x 轴于E ，A′F ⊥x 轴于F ．
∵∠AEO=∠OFA′=90°，∠AOE=∠AOA′=∠A′OF =30°，∴∠AOE=∠A′.
∵OA=OA′，∴△AOE ≌△OA′F （AAS ），∴OF=AE =√3，A′F =OE=1，∴A′（√3，1）．故选A ． 2.在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1
k y x
=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2
k y x
=
上，则12k k +的值为_______. 【答案】0
【解析】∵A 、B 两点关于x 轴对称，∴B 点的坐标为(),a b -. 又∵A ()a b ，、B (),a b -两点分别在又曲线1k y x =
和2k
y x
=上；∴12,ab k ab k =-=.∴120k k +=；故填0. 3.正方形A 1B 1C 1A 2，A 2B 2C 2A 3，A 3B 3C 3A 4，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点B 1，B 2，B 3，…分别在直线y=kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知A 1（0，1），点B 1（1，0），则C 5的坐标是 .
【答案】（47，16） 【解析】如图，
C 1（2，1），C 2（5，2），C 3（11，4），C 4（23，8），…
∵C 1的横坐标：2=21， 纵坐标：1=20，C 2的横坐标：5=22＋20， 纵坐标：2=21，
C 3的横坐标：11=23＋21＋20， 纵坐标：4=22，C 4的横坐标：23=24＋22＋21＋20， 纵坐标：8=23， …依此类推，C 5的横坐标：25＋23＋22＋21＋20=47， 纵坐标：16=24， ∴C 5（47，16）. 考向4 坐标与几何图形
1.如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，
对角线BD 点(2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )
A
．
10
3
B C ．
163
D ．3
【答案】A
【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF ．
(2,0)E -
，(0,6)F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴= 90FGE ∠=︒，FG EF ∴，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．
如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设2BC a =．
PA PB =，BE EC a ==，//PE AC ∴，BJ JH =，
四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==
BJ = PE BD ∴⊥，90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒，EBJ FEO ∴∠=∠，
BJE EOF ∴∆∆∽，∴BE BJ
EF EO
=，∴6
2=，53a ∴=，10
23
BC a ∴==，故选A ．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π﹣2√3
【解析】连接AB ，∵∠AOB=90°，∴AB 是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，
∵OB=2√3，∴OA=OBtan ∠ABO=OBtan30°
=2√3×√33
=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2， ∴S 阴影=S 半圆﹣S △ABO =
π×222
−1
2×2×
2√3=2π﹣2√3．故答案为：2π﹣2√3． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB ，BC 的长分别是一元二次方程x 2-7x+12=0的两个根（BC>AB ），OA=2OB ，边CD 交y 轴于点E ，动点P 以每秒1个单位长度的速度，从点E 出发沿折线段ED→DA 向点A 运动，运动时间为t （0≤t ＜6）秒，设△BOP 与矩形AOED 重叠部分的面积为S.（1）求点D 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）∵x 2-7x+12=0，∴x 1=3，x 2=4，∵BC ＞AB ，∴BC=4，AB=3，∵OA=2OB ，∴OA=2，OB=1， ∵矩形ABCD ，∴点D 的坐标为（-2，4）.（2）设EP 交y 轴于点F ，当0≤t≤2时，如图1，PE=x ，
∵CD ∥AB ，∴△OBF ∽△EPF ，∴OF OB EF EP =，∴14OF OF t =-，∴OF=41t +，∴S=12OF·PE=1421t t +=21
t
t +， 当
2＜t≤6时，如图2，AP=6-t ，
备用图
备用图
∵OE ∥AD ，∴△OBF ∽△ABP ，∴OF OB AP AB =，∴163OF t =-，∴OF=63
t -，∴S=12OF·OA=16223t
-⨯⨯=1
23
t -+， 综上所述，2(02)
112(26)
3t
t t S t t ⎧⎪⎪+=⎨
⎪-+⎪⎩≤≤＜＜.
（3）存在，P 1(-2，
11
8
); P 2(-2
，); P 3(-2，
理由如下： ①如图3，作BE 的中垂线，交AD 于点P 1，连接P 1B ，P 1E ，设点P 1的坐标为（-2，m ），
在Rt △ABP 1中，由勾股定理得AB 2+AP 12=P 1B 2，即32+m 2=P 1B 2， 在Rt △EDP 1中，由勾股定理得ED 2+DP 12=P 1E 2，即22+(4-m)2=P 1E 2， ∵P 1B=P 1E ，∴32+m 2=22+(4-m)2，解得m=
118
，∴P 1(-2，118);
②如图4，当BE=BP 2时，在Rt △BCE 中，由勾股定理得
BP 2
在Rt △ABP 2中，由勾股定理得AP 2
，∴P 2(-2
，③如图5，当EB=EP 3时，在Rt △DEP 3中，由勾股定理得DP 3
∴AP 3
∴P 3(-2，
综上，点P 的坐标为P 1(-2，
11
8
)或P 2(-2
，)或P 3(-2，
考向5 坐标与 函数中的几何图形
1.已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数的图象交于点A ，与x 轴交于点B(5，0)，若OB=AB ，且S △OAB =
. (1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.
解：(1)过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，则S △OAB ==.
m
y x
=152
12OB AM ⋅15
2
∵B(5，0)，∴OB=5，即=，AM=3.
∵OB=AB ，∴AB=5，在Rt △ABM 中，
， ∴OM=OB+BM=9，∴A(9，3). ∵点A 在反比例函数图象上， ∴，m=27，反比例函数的表达式为:. 设一次函数表达式为y=kx+b ，
∵点A(9，3)，B(5，0)在直线上，∴3=9k+b
，0=5k+b ，
解之，得k=，b=，∴一次函数的表达式为:y=x .
(2)设点P(x ，0)，∵A(9，3)，B(5，0)，∴AB 2=(9－5)2+32=25，AP 2=(9－x)2+32=x 2－18x+90，BP 2=(5－x)2=x 2－10x+25，根据等腰三角形的两边相等，分类讨论:
①令AB 2=AP 2，得25=x 2－18x+90，解之，得:x 1=5，x 2=13，当x=5时，点P 与点B 重合，故舍去，P 1(13，0);
②令AB 2=BP 2，得25=x 2－10x+25，解之，得:x 3=0，x 4=10，当x=0时，点P 与原点重合，故P 2(0，0)，P 3(10，0);
③令AP 2=BP 2，得x 2－18x+90=x 2－10x+25，解之，得:x=
，∴P 4(，0); 综上所述，使△ABP 是等腰三角形的点P 的坐标为:P 1(13，0)，P 2(0，0)，P 3(10，0)，P 4(
，0). 152AM ⨯⋅15
2
m
y x
=39m =
27
y x
=
34154-34154
-65865
8
65
8
2.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）的图像上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD=2． （1）点A 是否在该反比例函数的图像上？请说明理由． （2）若该反比例函数图像与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，试描述平移过程．
【解题过程】（1）连结PC ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，∵在正六边形ABCDEF 中，点B 在y 轴上， ∴△OBD 和△PCH 都含有30°角的直角三角形，BC=PC=CD=2． ∴OC=CH=1，
P 的坐标为（2
∴反比例函数的表达式为
x ＞0）．连结AC ，过点
B 作BG ⊥A
C 于点
G ， ∵∠ABC=120°
，AB=BC=2
，∴BG=1，
∴点A 的坐标为（1，x=1时，A 该反比例函数的图像上．
k
x
（2）过点Q 作QM ⊥x 轴于点M ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠EDM=60°． 设DM=b ，则
．∴点Q 的坐标为（
b ＋3
（b ＋
3） 解得b 1
b 2
∴b ＋
Q
（3）连结AP ．∵AP=BC=EF
，
AP ∥BC ∥EF ，
∴平移过程：将正六边形ABCDEF 先向右平移1ABCDEF 向左平移2个单位．
3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P （﹣1，2），AB ⊥x 轴于点E ，正比例函数y=mx 的图象与反比例函数y =
n−3x
的图象相交于A ，P 两点．
（1）求m ，n 的值与点A 的坐标；（2）求证：△CPD ∽△AEO ；（3）求sin ∠CDB 的值．
【解题过程】解：将点P （﹣1，2）代入y=mx ，得：2=﹣m ，解得：m=﹣2，
∴正比例函数解析式为y=﹣2x ； 将点P （﹣1，2）代入y =
n−3x
，得：2=﹣（n ﹣3），解得：n=1，
∴反比例函数解析式为y =−2
x ．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：{
y =−2x
y =−
2x
， 解得：{x 1=−1y 1=2，{x 2=1
y 2=−2，∴点A 的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ， ∴∠DCP=∠BAP ，即∠DCP=∠OAE ．
∵AB ⊥x 轴，∴∠AEO=∠CPD=90°，∴△CPD ∽△AEO ． （3）解：∵点A 的坐标为（1，﹣2）， ∴AE=2，OE=1，AO =√AE 2+OE 2=√5．
∵△CPD ∽△AEO ，∴∠CDP=∠AOE ， ∴sin ∠CDB=sin ∠AOE =AE AO
=
√5
=
2√5
5
． 4．综合与探究
如图，抛物线y=ax 2+bx+6经过点A （－2，0），B(4，0)两点，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m(1<m<4).连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的
3
4
时，求m 的值; (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.
【解题过程】(1)∵抛物线y=ax 2+bx+6经过点A （－2，0），B(4，0)两点，∴4260
16460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得:
34
3
2
a b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为:233642y x x =-++; (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为点F ，∵点A 的坐标为(－2，0)，∴OA=2，由x=0，得y=6，∴点C 的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S △AOC =
12OA·OC=6，∴S △BCD =34S △AOC =9
2
.设直线BC 的函数表达式为y=kx+n ，由B ，C 两点的坐标得:406k n n +=⎧⎨=⎩，解之，得:326
k n ⎧
=-
⎪⎨
⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为:y=－
32x+6.∴点G 的坐标为(m ，－32m+6)，∴DG=233642m m -++－(－32m+6)=23
34
m m -+.∵点B 的坐标为(4，0)，∴OB=4，∴S △BCD =S △CDG +S △BDG =2364m m -+.∴2364m m -+=9
2
，解之，得m 1=3，
m 2=1，
∴m 的值为3.
(3)
存在点M，其坐标为:M1(8，0)，M2(0，0)，M30)，M4(0).。