有理数的减法

1.如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是 -24，-10，10．
填空：AB=
，BC= ；
例1 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离。
-4
-1.5
1
34
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（1）3 与 1 2 （2）3与-1.5 4.5
（3）1与-4 5 （4）4与-1.5 5.5
㈣:两个数大小比较的:作差法（第三方法）
ab0 a b ab0 ab ab0 a b
例4.比较大小:
⑴ 2 与 3 34
⑵－π －3.14
(五).求数轴上点左右移动后的位置 在数轴上,一个点从表示数1的点出发,先向右移动2个单位长度, 再向左移动6个单位长度,到达终点表示的数是多少?
(2) (3-4)-(6-10) 解:原式=[3+(-4)]-[6+(-10)]
=(-1)-(-4) =(-1)+（+4） =3
结论:减法运算不用运算律.
应用: ㈠.求差.
例1. 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海 拔高 度大约是8844米，吐鲁番盆地的海拔大约是－155米 。两处高度相差多少米？
(1) (-37)-(+6);
（2）7.2-(-6.5);
解: （1）(-37)-(+6) =（-37）+（-6）
=-43
减去（+6）等于加上 +6的 相反数-6。
（2）原式= 7.2 + (+6.5) 减去-6.5等于加上-6.5的
=13.7
相反数6.5。
有理数的减法计算步骤: ⑴减法→加法；(减数变为相反数) ⑵用加法法则运算.
字母表示成公式
a-b＝ a +（-b）
减法变为加法
（-8）－(-3)=（-8）+（+3）
减数变为相反数
被减数不变
减法运算的特点：
减法变为加法
（-8）－(-3)=（-8）+（+3）
减数变为相反数
被减数不变
两变一不变。 1. “两变”： 减法变加法；减数变为相反数． 2. “一不变”: 被减数不变
例1 计算下列各题：
的距离是
．数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是
．数轴上有表示x的
点A和表示﹣1的点B，如果|AB|＝2，那么x为
．
（2）点A、B分别表示数a，b,且 a>b,则A、B两点间的距离为
．
⑶数轴上的四点A、B、C、D分别表示数a、b、20、d,若AB=BC=CD,且|a﹣d|=12,
求a、b、d的值.
(4)结合数轴，可得|x-1|+|x+2|的最小值是
减法变为加法
结论：（-8）－(-3)=（-8）+（+3）
减数变为相反数
被减数不变
有理数减法法则(规律)是什么？
减法变为加法
（-8）－(-3)=（-8）+（+3）
减数变为相反数
被减数不变
减法变为加法
8844－（－155）= 8844+155
减数变为相反数
被减数不变
有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 3
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离为 4
（2）数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为 |x-2|
应用二：求形如:|x-a|+|x-b|的最小值
（3）若x表示一个有理数，则|x-1|+|x-3|有最小值吗？ 若有，求出最小值；若没有，请说明理由.
解：|x-1|+|x-3| 它的几何意义： 在数轴上表示x的点与1和3这两个点的距离和
例2.计算下列各题：
(3) (-3)-(-26)
(4) 6-18
解: (3)原式=(-3)+（+26） =23
(4)原式=6+(-18)
=-12
减去（－26）等于加上 －26 的相反数+26。
减去18等于加上18的相 反数－18
例3.
(1) 50-20 ＝ 50+(-20) =30. 结论:在小学，差总是小于或 等于被减数.
若数轴上x点1 P表示的数为 x1 ，点Q表示的数为 x2
则P与Q两点间的距离可表示为 x1 x2 =大-小
x1
x2
1.在数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离是
.
2.数轴上点A表示的数是-1,点B到点A的距离为2个单位长度,则
点B表示的数是
.
3.若a、b互为相反数,且 a b ,求b-1的值
向左运动a个单位，则减小a; 向右运动b个单位，则增大b
已知A是数轴上的一点,若将点A向左移动5个单位长度,再向 右移动3个单位长度,终点表示的数为0,那么点A表示的数是 （）
五.求数轴上两点之间的距离
观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离. 4与2，-2与-4，-3与2．
思考:两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有什么关系？ 答：相等
例4. 计算：
（1） 9 -（-5） （2） 2- 3
（3）(-4.8) – (-4.8)
解:（1） 原式 = 9 +（+ 5）= 14
减去（-5）等于加 -5 的相反数+5
（2）原式 =2+（-3） = -1 减去3等于加 3 的相反数-3
（3）原式 = (-4.8) + (+4.8)=0 减去(-4.8)等于加 (-4.8) 的相反数(+4.8)
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OA|﹣|OB|＝|a|-|b|=-b-(b)=|a﹣b| ． ③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|=(-a)+b =|a﹣b| ．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是
．数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间
解：8844－(－155) ＝8844＋155 ＝8999（米）
答：两处高度相差8999米
例2、根据天水气象台预报：2011年1月9日甘谷的 最高气温是4 ℃，最低气温是–3 ℃ ， 请问这天甘 谷的温差是多少？
解：4-（-3） =4+3 =7（ ℃ ）
答：这天甘谷的温差是7 ℃.
㈡.已知和及一个加数求另一个加数（解方程）
• 解下列方程：
• (1)x+8=5；
(2)x-(-7)=-3；
• (3)x-11=-4；
(4)6+x=-10．
㈢.高(低) 多(少)多少的计算.
3. 填空： (1)温度3℃比-8℃高 11 ℃； (2)温度-9℃比-1℃低 8℃ ； (3)海拔高度-20m比-180m高160m ； (4)从海拔22m到-50m，下降了 72m .
A
B
思考：
a0
b
（1）你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系？
数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝对值。
（2）若点A表示数a,点B表示数b,则A、B之间 的距离是 |a-b| .
点A、B在数轴上分别表示有理数a,b, A,B两点之间的距离表示为AB， 则AB=|a-b|.
A
B
a0
b
应用一：求数轴上两点间的距离
复习计算
（1） 4 + 16
= 20
（2）（–2）+（–27）= –29
（3） （–9）+ 10 = 1
（4） 45 + （–60） = –15
（5） （–7）+ 7 = 0
（6） 16 + 0 = 16
（7） 0 + （–8） = –8
（1）同号相加取同号，
再把绝对值相加。
（2)异号相加取大号，再
把绝对大减小 (3)一对相反数的和为0。
(4)任何数加0仍得这个数。
例1.世界上 最高的山峰是珠 穆朗玛峰，其海 拔高度大约是 8844米，吐鲁番 盆地的海拔高度 大约是－155 米．珠穆朗玛峰 比吐鲁番盆地高 多少米？
珠穆朗玛峰 8844
方法一:8844－（－155） 方法二:8844+155
减法变为加法
是
.
(5)结合数轴，可得|x-1|-|x+2|时x的取值范围 ，取得最大值时x的取值范
若|a|＝21，|b|＝27，且|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值．
海平面 结论:8844－（－155）= 8844+155 0
吐鲁番盆地
减数变为相反数
被减数不变
－155
例2. 计算（-8）-（-3）=?
根据减法的意义，这就是要求一个数“？”使 （？）+（-3）= -8
根据有理数的加法运算，有 （-5）+（-3）= -8
所以 （-8）-（-3）=-5
试一试 （-8）+（_+_3_） =-5
结论:小学有“减不够”的问题,初中不存在. ⑴大－小＝正 ⑵小－大＝负（减不够，差为负）
③a-a=0
例5.计算下列各式，根据结果能得出哪些结论？
30 – 0 = 30
0.3 – 0 = 0.3
–15 –0 = -15
–1.5 –0 = -1.5
任何数减零仍得原数
a-0=a
互为相反数
0-（+59）= -59
例6.用“＞”或“＜”号填空： (2)如果a＜0，b＞0，那么a-b_＜__0； (3)如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|， 那么a-b_＜_0；
(4)如果a＜0，b＜0，那么a-(-b)_＜__0．
例5、计算：
(1）3-[(-3)-12] 解:原式=3-[(-3)+(-12)]
=3-(-15) =3+（+15） =18
(2) 50-10 ＝ 50+(-10) = 40. 在中学，差与被减数的大小关系 不定 ①减去一个正数,差小于被减数.
(3) 50-0 ＝ 50+ 0 =50. ②减去一个负数,差大于被减数． (4) 50-(-10)＝ 50+10 =60. ③减去0,差等于被减数．
(5) 50-(-20)＝ 50+20 =70.
4
-1 0 1 2 3 当-1≤x≤3时 有最小值，是4.
数轴上两点之间的距离等于对应两数 之差的绝对值。
A
B
a0
b
AB=|a-b|
点A，B在数轴上分别表示有理数a，b（不妨设A点在B点左侧），A，B两点间的距离 表示为|AB|，设点O表示原点，当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点， 如图（1），|AB|＝|OB|＝|b| =|a﹣b| ，当A，B两点都不在原点时： ①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|=b-a =|a﹣b| ．
-1 0 当1≤x≤3时
2
123
有最小值，是2
应用二：求形如:|x-a|+|x-b|的最值
（3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x-3|有最小值吗？ 若有，求出最小值；若没有，请说明理由.
解：|x+1|+|x-3| =|x-(-1)|+|x-3|
它的几何意义： 在数轴上表示x的点与-1和3这两个点的距离和
互为相反数
0-（-1.39）= 1.39
0减去一个数，就得到这个数的相反数
0 - a= - a
例6.用“＞”或“＜”号填空： (1)如果a＞0，b＜0，那么a-b_＞_0；
两个数差的正负性的判断方法
方法一: a-b＝ a +（-b）
方法二: ⑴大－小＝正 ⑵小－大＝负（减不够，差为负）
③a-a=0